Рубрика «многочлен»

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть $f(x)$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $xin R$ найдется натуральное $n$ такое, что $f^{(n)}(x)=0$. Тогда $f(x)$ многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть $H$ и $F_{1},F_{2},...,F_{n},...$ замкнутые подмножества прямой, причем $H neq varnothing$ и $Hsubset bigcup limits_{n} F_{n}$. Тогда в $H$ найдется точка, которая содержится в одном из $F_{n}$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка $xin H$, натуральное $n$ и $varepsilon >0$ такие, что $(x-varepsilon;x+varepsilon)cap H subset F_{n}$.

Действительно (от противного), выберем точку $x_{1} in H$ и окружим ее окрестностью $Delta_{1}=(x-varepsilon_{1};x+varepsilon_{1})$, где $varepsilon_{1}<1$. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $Delta_{1} cap H not subset F_{1}$. Выберем в $Delta_{1} cap H$ точку $x_{2}notin F_{1}$. Окружим $x_{2}$ интервалом $Delta_{2}=(x_{2}-varepsilon_{2};x_{2}+varepsilon_{2})$ таким, что концы этого интервала — точки $x_{2}-varepsilon_{2}$ и $x_{2}+varepsilon_{2}$ лежат в $Delta_{1}$, а $varepsilon_{2}<frac{1}{2}$. По предположению $Delta_{2}cap Hnotin F_{2}$. Это позволяет выбрать в $Delta_{2} cap H$ некоторую точку $x_{3} notin F_{2},...$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $Delta_{1}supset Delta_{2}supset ...$ Ясно, что

$x_{1}-varepsilon_{1}< x_{2}-varepsilon_{2}<...<x_{n}-varepsilon_{n}...$, (1)
$x_{1}+varepsilon_{1}>x_{2}+varepsilon_{2}>...>x_{n}+varepsilon_{n}...$ (2)

Так как каждый промежуток $Delta_{i}cap Hneq varnothing$, то $lim _{ito infty}(x_{i}-varepsilon_{i})=lim_{itoinfty} (x_{i}+varepsilon_{i})=y, yin H$, а из (1) и (2) следует, что $yin Delta_{i}$ для каждого $i$. Таким образом мы нашли точку $y in H$, но не лежащую ни в одном из множеств
$F_{i} phantom{1} (i=1,2,...)$.

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $f(x)$ — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $E$. Множество $E'$, дополнительное к $E$ обозначим через $F$ и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $xin F$, то $x$ — неправильная точка).

Читать полностью »

Введение

Приветствую, уважаемые читатели! Сегодня предлагаю поразмышлять о следующей задачке:

Дано $n$ пар точек на плоскости $(x_1;y_1),...,(x_n;y_n)$. Все $x_i$ различны. Необходимо найти многочлен $M(x)$ такой, что $M(x_i)=y_i$, где $iin{1,...,n}$

Переводя на русский язык имеем: Иван загадал $n$ точек на плоскости, а Мария, имея эту информацию, должна придумать функцию, которая (по меньшей мере) будет проходить через все эти точки. В рамках текущей статьи наша задача сводится к помощи Марии окольными путями.

«Почему окольными путями?» — спросите вы. Ответ традиционный: это статья является продолжением серии статей дилетантского характера про математику, целью которых является популяризация математического мира.
Читать полностью »

Алгоритм нахождения эквивалентных точек оси абсцисс функции многочлена - 1
Уважаемыее, приветствую! Продолжаем цикл околоматематических статей, предыдущая расположена тут. Напомню, что я лишь дилетант математики, занимающийся её морально-эстетической стороной, и мои идеи могут показаться вам неинтересными/бесполезными/etc. Итак:
Для начала верным шагом будет введение аксиоматики на счет термина «эквивалентности» в данном контексте:

  • Если некоторая координата оси абсцисс image из числового множества удовлетворяет следующему условию:
    image
    То считается, что image (то есть image эквивалентна image)

Такая аксиоматика в рамках этой статьи удобства ради, и, строго говоря, не совсем корректна.
И сразу бы неплохо ответить на традиционный вопрос: «извините, а зачем это надо?». Отвечаю — как минимум, для поиска остальных корней уравнения многочлена (перейдя от уравнения к функции), зная лишь один корень. А также многообразие менее очевидных вещей. Сейчас мы и займемся разрешением этой задачи, а затем приведем алгоритм в общем виде. Для заинтересовавшихся милости прошу под кат.Читать полностью »


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js