Главная

Рубрика «теорема бошерницана»

Теорема Бошерницана

2018-07-15 в 8:34, admin, рубрики: Блог компании Trinity Digital & Баласс Group, Занимательные задачки, изометрия, компакт, математика, метрическое пространство, расстояние, репетитор математика, теорема, теорема бошерницана

В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.

Отображение $f:Erightarrow E$

метрического пространства с метрикой $rho (cdot ,cdot )$

называют изометрией, если для любых $x,yin E$

справедливо равенство $rho (x,y)=rho (f(x),f(y))$

. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

для любых , то отображение — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$ .

Для $xin E$ и $varepsilon >0$ множество $Q_{x,varepsilon }={y:yin E,rho (x,y)<varepsilon }$ назовем $varepsilon$ -окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом ).

Конечное множество $Asubset E$ назовём $varepsilon$ -сетью в $E$ (или просто -сетью), если для любой точки $xin E$ найдётся точка $yin A$ такая, что $rho (x,y)<varepsilon$ . Множество $Bsubset E$ назовём -разреженным, если $rho (x,y)geq varepsilon$ для любых $x,yin B$ , таких, что $xneq y$ .

Для любого конечного множества $A=left{a_1,ldots ,a_mright}subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $sum _{ileq j} rho left(a_i,a_jright)$ . Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$ .
Читать полностью »