Спросите Итана №22: парадокс с отсутствием дня рождения

в 22:02, , рубрики: спросите итана, теория вероятностей, Читальный зал

image

Есть 364 дня, когда ты можешь получить подарок не на день рождения, и только один – для подарков на день рождения, знаешь ли.
— Льюис Кэрролл

Читатель спрашивает:

Среди моих 1434 фейсбучных френдов сегодня ни у кого нет дня рождения. Каковы шансы такого события, если в году 365,25 дней?

Предположим, что все ваши друзья родились после 1 марта 1900 года.

image

За последние 114 лет каждые 4 года случался високосный год. Предположив, что все знакомые родились в совершенно случайные дни и года, получим, что есть 4 шанса из 1461, что они родились в любой день, кроме 29 февраля, и 1 шанс из 1461, что они родились 29 февраля.

Давайте посчитаем шансы того, что у произвольного количества ваших друзей сегодня нет дня рождения. Начнём с одного.

image

Если у вас один друг, и сегодня не 29 февраля, значит шансы того, что у него нет дня рождения, составляют 1457 из 1461, или 99,73%. И это верно для любого из ваших друзей.

Значит, и у второго друга шансы того, что у него нет дня рождения сегодня, составляют 99,73%, и у третьего, и у сотого, и т.д. Для простоты возьмём 6 друзей – какие будут тогда шансы, что ни у кого из них нет сегодня ДР?

image

98,37%, поскольку необходимо, чтобы у первого человека не было ДР, и у второго не было, и т.д. Иначе всё пропало.

Забава в том, что эту формулу можно расширить на любое количество людей.

Количество друзей Шансы для каждого Общие шансы В процентах
1 друг 0.99726215 (0.99726215)^1 99.73%
2 друга 0.99726215 (0.99726215)^2 99.45%
5 друзей 0.99726215 (0.99726215)^5 98.64%
10 друзей 0.99726215 (0.99726215)^10 97.30%
50 друзей 0.99726215 (0.99726215)^50 87.19%
150 друзей 0.99726215 (0.99726215)^150 66.28%
253 друга 0.99726215 (0.99726215)^253 49.98%
365 друзей 0.99726215 (0.99726215)^365 36.76%
500 друзей 0.99726215 (0.99726215)^500 25.39%
1000 друзей 0.99726215 (0.99726215)^1000 6.447%
1434 друзей 0.99726215 (0.99726215)^1434 1.961%
1680 друзей 0.99726215 (0.99726215)^1680 0.9993%
2000 друзей 0.99726215 (0.99726215)^2000 0.4156%
2500 друзей 0.99726215 (0.99726215)^2500 0.1055%
3000 друзей 0.99726215 (0.99726215)^3000 0.02679%
5000 друзей 0.99726215 (0.99726215)^5000 0.0001113%

Для небольшого количества друзей шансы велики. Они падают до 50-50 по достижению количества друзей в 253 человека, и после этого быстро уменьшаются. Для 1434 друзей шансы уже менее 2%. Имея 5000 друзей вы получите шансы в 0,0001113%, или 1 к 900000.

А как насчёт более общего подхода? Если мы хотим узнать шансы того, что существует хотя бы один день в году, когда ни у кого нет ДР? Это посложнее.

image

Если мы посчитаем шансы того, что сегодня ни у кого нет ДР, и вычтем это из 100%, то мы получим шансы того, что у кого-то сегодня есть ДР. Чтобы сложилась ситуация, в которой ни у кого нет ДР, можно вычесть из 100% шансы того, что у кого-то есть ДР в любой из дней года. Это, конечно, будет возможно только при наличии не менее 365 друзей.

Число друзей Шансы отсутствия ДР Шансы наличия ДР Шансы ДР каждый день Вычтем из 100%
365 друзей 36.76% 63.24% (0.6324)^365 100% – 2.3 × 10^-71%
500 друзей 25.39% 74.51% (0.7451)^365 100% – 2.3 × 10^-45%
1000 друзей 6.447% 93.553% (0.93553)^365 99.9999999973%
1434 друзей 1.961% 98.039% (0.98039)^365 99.927%
1680 друзей 0.9993% 99.0007% (0.990007)^365 99.927%
2000 друзей 0.4156% 99.5834% (0.995834)^365 97.44%
2500 друзей 0.1055% 99.8945% (0.998945)^365 31.97%
3000 друзей 0.02679% 99.97321% (0.9997321)^365 9.32%
5000 друзей 0.0001113% 99.9998887% (0.999998887)^365 0.0406%

Получается, что если у вас менее 2000 друзей, почти однозначно в году будет хотя бы один день, когда ни у кого нет ДР, а если более 4000 – то для этого практически не останется шансов.

image

Автор: SLY_G

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля