Простая математика для решения непростых задач

При рассмотрении статьи, посвященной системе приоритезации обращений в техническую службу ^[1] АО «Инфовотч», может возникнуть логичный вопрос: каким образом проводился расчет весовых коэффициентов? «Уложить» алгоритм расчета в комментарий к статье с учетом его объема будет, мягко говоря, трудновато. Поэтому, предвидя подобные вопросы, мы решили дополнить предыдущую статью поэтапным рассмотрением алгоритмов расчета данных весовых коэффициентов.

В первую очередь стоит отметить, что весь расчет основывается на инструментарии, используемом в методе анализа иерархий (МАИ). МАИ — математический инструмент принятия управленческих решений экспертным путем. Краткий смысл данного метода, в теории, заключается в представлении проблемы в виде иерархии. Вершиной данной иерархии является наша цель. Нижний уровень содержит альтернативы, промежуточный — критерии оценки данных альтернатив.

Рисунок 1. Расчетные данные по базовому показателю

Вид иерархии напрямую зависит от задачи, которую мы ставим перед собой при принятии решений. В нашем случае иерархии будут двухуровневые, так как здесь мы не решаем задачу выбора, а используем данный инструмент для расчета весов экспертным путем. В целях упрощения рассмотрения расчетного алгоритма, детально рассмотрим все расчеты на примере определения весов по базовому показателю. Аналогично производится расчет по плавающим показателям.

Рисунок 2. Расчетные данные по базовому показателю

В теории МАИ алгоритм расчета реализуется в пять этапов. Однако мы будем использовать только два этапа, направленные на построение матриц парных сравнений и расчет соответствующего вектора приоритетов, содержащего искомый вес.

Стоит отметить, что представление задачи в виде иерархии на практике является необязательным. Наша иерархия на первом уровне содержит «Базовый показатель», второй уровень иерархии содержит компоненты «Медиа-эскалация», «Высшее руководство», «Маркетинг», а также три программы поддержки.

Следующим этапом является определение приоритетов компонент, которые отражают вес той или иной компоненты в рассматриваемой группе. Также необходимо отметить, что приоритет находится в диапазоне от нуля до единицы. Сумма приоритетов всех компонентов, подчиненных базовому показателю, равна единице. Чтобы рассчитать данные приоритеты, проведем парные сравнения компонент по отношению к базовому показателю. На данном этапе рассчитывается обратно-симметричная матрица по свойству:

где индексы i и j – это номер строки и номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
При сравнении компоненты с самой собой выставляем единицу. Формализация задачи имеет вид:

Матрицы строятся следующим образом. В левом верхнем углу записывается элемент, по отношению к которому проводится сравнение по степени важности. Заглавия столбцов и строк содержат сравниваемые элементы. Для нашей задачи мы строили пять матриц, одну для базового показателя, и четыре по плавающим показателям и их классификационным признакам.

Теперь давайте посмотрим, что представляет матрица для расчета весов по базовому показателю в общем виде.

Таблица 1. Матрица 2 уровня иерархии

Если с диагональю все понятно (как мы уже говорили, при сравнении элемента с самим собой выставляется единица), то откуда брать оценки относительной важности для всех остальных клеток? Для данных целей разработана универсальная шкала относительной важности.

Таблица 2. Шкала относительной важности

Таким образом, эксперт, сравнивая элементы в строках с элементами в столбцах по степени важности с точки зрения базового показателя, постепенно заполнил данную матрицу с использованием свойства обратной симметрии.

Например, из матрицы можно видеть, что «Медиа эскалация» превосходит уровень поддержки «Basic» по отношению к базовому показателю очень сильно, о чем свидетельствует проставленная экспертом интенсивность относительной важности «9».

Стоит отметить, что если между экспертами возникают разногласия, определяется геометрическое среднее разных оценок в качестве общей оценки суждений:

Следующим этапом является синтез приоритетов, который позволяет объединить полученные результаты с целью определения искомых весов.

Для определения относительной ценности каждого элемента нашей матрицы необходимо найти геометрическое среднее и с этой целью перемножить n элементы каждой строки, и из полученного результата извлечь корни n-й степени.

_____________________________________________________________________
Для рассматриваемой матрицы получим (размерность ):

Для нормализации полученных чисел определяем нормирующий множитель r.

И каждое из чисел делим на r.

В результате получаем вектор приоритетов:

где индекс «2» означает, что вектор приоритетов относится ко второму уровню иерархии.
_____________________________________________________________________
Для рассматриваемого примера нормирующий коэффициент равен:

А вектор приоритетов:

Числа

являются компонентами вектора приоритетов компонент

Подобную процедуру проделываем для всех матриц парных сравнений и получаем результат по всем требуемым весам. В завершении стоит отметить, что данный расчетный алгоритм легко реализуется средствами MS Excel.

Автор: InfoWatch

Источник ^[2]