Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

в 9:43, , рубрики: Lessons In Electric Circuits, Научно-популярное, электричество, Электроника для начинающих, метки: ,

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Эта статья — перевод. Начало здесь.
Источник.

В программе:
1) Провода болтаются в воздухе, но источник тока/напряжения видит короткое замыкание.
2) На одном конце провода амплитуда равна 0 Вольт, а на другом — 1 Вольт. Как это возможно?
3) Согласование 75 Ом источника сигнала с 300 Ом нагрузкой при помощи правильно подобранного кабеля.

Стоячие волны и резонанс

Всегда, когда есть несоотвествие между сопротивлением линии передачи и нагрузкой, происходит отражение. Если падающий сигнал имеет одну частоту, то этот сигнал будет накладываться на отражённые волны, и возникнет стоячая волна.

На рисунке показано, как треугольная падающая волна зеркально отражается от открытого конца линии. Для простоты, линия передачи в этом примере показана как единая жирная линия, а не как пара проводов. Падающая волна идёт слева направо, а отражённая – справа налево.

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Если мы сложим эти два сигнала, то увидим что третий, стационарный сигнал, создаётся по всей длине линии: красная линия на рисунке ниже – сумма падающей и отражённой волн:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Эта третья волна является суммой падающей и отражённой волны. Она не распространяется по кабелю, как падающая или отражённая волна. Обратите внимание на точки вдоль линии, где падающая и отражённая волна всегда гасят друг друга: эти точки никогда не меняют позицию.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Стоячие волны распространены и в физическом мире. Рассмотрим верёвку, привязанную за один конец, и потрясём её:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Узлы (с точками где нет вибрации) и пучности (точки максимальной вибрации) остаются неизменными по всей длине верёвки. Струнные инструменты также создают стоячую волну, с узлами максимальной и минимальной вибрации вдоль их длины. Основное отличие между верёвкой и струнным инструментом в том, что инструмент уже настроен на правильную частоту вибрации:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Ветер, дующий через открытые трубы, также производит стоячие волны. В этом случае, колеблются молекулы воздуха в трубе, а не твёрдое тело. Стоячая волна может заканчиваться в узле (минимальная амплитуда) или в пучности(максимальная амплитуда) и это зависит от того, открыт или закрыт другой конец трубки:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Закрытый конец трубы создаёт узел, а открытый – пучность. По аналогии, якорь струны – это узел, а свободный конец (если он есть) – пучность.

Обратите внимание, что внутри трубы могут возникать стоячие волны разных частот. Есть несколько резонансных частот для любой системы, поддерживающей стоячие волны.

Более высокие частоты должны быть кратны базовой частоте.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Фактические частоты для любой из этих гармоник (обертонов) зависят от физического размера трубы и скорости распространения волн (в данном случае — скорости распространения звука).

В линиях связи также возможно создать стоячие волны, и их частота будет зависеть от типа нагрузки на конце линии, от скорости распространения и физической длины. Резонанс в линиях передачи более сложен, чем резонанс струн или воздуха в трубах, потому что мы должны учитывать напряжение и ток волн.

Резонанс в линиях передачи легче понять, используя компьютерное моделирование. Для начала, рассмотрим согласованную линию на 75 Ом:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Используя SPICE для имитации схемы, мы укажем для линии T1 волновое сопротивление 75 Ом(z0 = 75) и задержку распространения 1 мкс. Это удобный способ для выражения физической длины линии передачи – количество времени на распространение сигнала. Для реального кабеля RG-59B/U это будет длина 198 метров. 1 мкс соответствует частоте 1МГц. Я буду выбирать частоты от нуля до этой частоты, чтобы показать, как система реагирует на разные частоты.
Вот SPICE модель:

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 75
.ac lin 101 1m 1meg
* Using «Nutmeg» program to plot analysis
.end

Выполним это моделирование и построим график падения напряжения на сопротивлении источника (Zsource) – это будет индикатор тока, и график напряжения на конце линии (напряжение на нагрузке). Мы увидим, что источник напряжения – на графике показано как vm(1) (величина напряжения между узлом 1 и точкой заземления 0) ровно 1 Вольт. Напряжения в точке 2 и 3 будут 0,5Вольт. Напряжение на резисторе – как индикатор тока – будет 0,5 Вольт:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

В системе, где все сопротивления идеально согласованы, не может быть никаких стоячих волн, и нет резонансов на графике Боде.
Теперь давайте изменим сопротивление на 999 Ом, чтобы имитировать открытую линию передачи. Мы определённо должны получить отражённые волны на каких то частотах, от 1мГц до 1МГц:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 999meg
.ac lin 101 1m 1meg
* Using «Nutmeg» program to plot analysis
.end

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Здесь напряжение питания линии vm(1) и напряжение на нагрузке остаются на прежнем уровне – 1Вольт. Другие падения напряжения зависят от частоты(так же от 1мГц до 1 МГц). Есть пять примечательных частот вдоль горизонтальной линии: 0Гц, 250кГц, 500кГц, 750кГц, 1МГц. Изучим каждую точку с учётом напряжения и тока в различных точках схемы.

• 0Гц (на самом деле 1мГц) – сигнал практически постоянного тока, и цепь ведёт себя так же, как если бы было подано 1Вольт постоянного тока. Ток не течёт, так как указано нулевое падение напряжения на резисторе Zsource, график vm(1,2), и напряжение на источнике равно напряжение в конце линии vm(2) (напряжение между точкой 2 и точкой 0).
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

• На 250кГц мы видим нулевое напряжение в точке 2, максимальный ток от источника и полное напряжение на конце линии.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Вы можете быть удивлены, как это может быть? Как мы можем получить полное напряжение на открытом конце линии, если на входе нулевое напряжение? Ответ можно найти в парадоксе стоячей волны. На частоте 250кГц длина линии точно равна ¼ длины волны. Так как конец линии разомкнут, то не может быть никакого тока, но напряжение – будет. Таким образом, на конце провода будет узел для тока (ток равен нулю) и пучность для напряжения(максимальная амплитуда):
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

• На частоте 500кГц в линию укладывается ровно половина волны, и здесь мы видим ещё одну точку в которой ток равен нулю, а напряжение вновь имеет полную амплитуду:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

• На частоте 750 кГц картина похожа на частоту 250кГц: напряжение на источнике равно нулю, и максимальный ток. ¾ волны укладывается в линии, в результате чего источник видит короткое замыкание в точке подключения к линии передачи даже не смотря на то, что на другом конце линии обрыв:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

• Когда частота доходит до 1МГц, в линии укладывается один полный период волны. На данный момент, и ток, и напряжение в начале линии равны таковым в конце линии. И если в конце линии ток равен нулю (сопротивление равно 999 МОм), то и в начале линии ток тоже равен нулю. Напряжение на источнике равно напряжению на нагрузке. Фактически, источник видит разомкнутую цепь.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Аналогично короткое замыкание на конце линии генерирует стоячие волны, хотя узлы и пучности по току и напряжению меняются местами: На короткозамкнутом конце линии не будет напряжения (узел), но будет максимальный ток (пучность). Далее идёт моделирование SPICE и иллюстрации того, что происходит на всех интересных частотах: 0Гц, 250 кГц, 500кГц, 750кГц, 1 МГц. Короткое замыкание моделируется сопротивлением нагрузки 0 мкОм.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 1u
.ac lin 101 1m 1meg
* Using «Nutmeg» program to plot analysis
.end

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

В обоих примерах(разомкнутая и короткозамкнутая линия) отражается вся энергия. 100 процентов падающей волны достигает конца линии и отражается обратно к источнику. Если, однако, линия передачи нагружена каким-то сопротивлением, будет разница между максимальными и минимальными значениями напряжения и тока вдоль линии.

Предположим, что мы нагрузили линию резистором 100 Ом вместо 75:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Построим модель для этого случая:

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 100
.ac lin 101 1m 1meg
* Using «Nutmeg» program to plot analysis
.end

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Если мы запустим другой SPICE анализ с выводом текстовых значений вместо графика мы можем обнаружить, что все интересные частоты остались теми же самими (Постоянный ток, 250кГц, 500кГц, 750кГц, и 1МГц):

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 100
.ac lin 5 1m 1meg
.print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3)
.end
freq v(1,2) v(1) v(2) v(3)
1.000E-03 4.286E-01 1.000E+00 5.714E-01 5.714E-01
2.500E+05 5.714E-01 1.000E+00 4.286E-01 5.714E-01
5.000E+05 4.286E-01 1.000E+00 5.714E-01 5.714E-01
7.500E+05 5.714E-01 1.000E+00 4.286E-01 5.714E-01
1.000E+06 4.286E-01 1.000E+00 5.714E-01 5.714E-01

На всех частотах напряжение на источнике в точке 1 равно 1Вольт, как и положено. Напряжение на нагрузке также остаётся постоянным, но имеет меньшую амплитуду (0,5714 Вольт). Однако, напряжение питания линии (точка 2, график v(2)) и ток (график v(1,2)) указывает, что ток от источника меняется в зависимости от частоты.
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

На нечётных гармониках основной частоты(250кГц и 750кГц) мы видим разные уровни напряжения в начале и конце линии, поскольку на этих частотах стоячие волны создают узел с одной стороны линии и пучность – с другой. В отличие от разомкнутой и короткозамкнутой линии, максимальные значения не достигают ни нуля, ни 100% от исходного сигнала. Но мы всё так же имеем точки с минимумом и максимумом напряжения. То же самое справедливо и для тока. Если нагрузочное сопротивление линии не соответствует волновому сопротивлению линии, мы будем иметь точки максимального и минимального тока на некоторых фиксированных точках линии передачи, соответствующие узлам и пучностям.

Один из способов выражения уровня стоячих волн – отношение максимальной амплитуды (в точке пучности) к минимальной амплитуде для напряжения или тока. Это отношение называется КСВ – коэффициент стоячей волны. Если на линии обрыв или короткое замыкание, то КСВ равен бесконечности, так как минимальная амплитуда будет равна нулю. В примере 75 Ом линии с нагрузкой 100 Ом КСВ будет равен 1,333: максимальное напряжение линии на 250 или 750кГц(0,5714 В) делённое на минимальное напряжение линии (0,4286 В).

КСВ также можно рассчитать, зная нагрузочное сопротивление и волновое сопротивление линии, делением большего значения на меньшее. В нашем примере 100Ω /75Ω = 1,333.

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Линия с идеально согласованной нагрузкой будет иметь КСВ равный 1. Это считается идеалом не только из-за того, что отражённые волны – это энергия не достигшая нагрузки, но из-за высоких значений напряжения и тока: высокое напряжение может создать пробой в изоляции, а высокий ток повредить проводники.

Также, линия с плохим КСВ выступает в качестве антенны. Это нежелательно: такая антенна может навести помехи на близлежащие провода. Интересно, что антенны – это открытые линии передач, и работают они при КСВ как можно ближе к 1. Это значит, что вся энергия излучается.

Следующая фотография показывает точку соединения в линии связи радиопередатчика. Большие медные трубы с керамическим изолятором представляют из себя жёсткую коаксиальную линию с волновым сопротивлением 50 Ом.

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Гибкий коаксиальный кабель с волновым сопротивлением 50 Ом. Белая пластиковая труба соединяет газ внутри труб: они запечатаны для защиты от влаги. Обратите внимание на плоские провода для соединения линий. Почему они не круглые? Это сделано из-за скин-эффекта, который делает бесполезной большую площадь поперечного сечения на больших частотах.

Как и многие линии связи, они работают на низком КСВ. Как мы увидим в следующем разделе, явление стоячих волн в линиях связи не всегда вредны, так как они могут быть использованы для полезной функции: преобразования импеданса.

Преобразование импеданса

Стоячие волны в резонансных точках короткозамкнутых или открытых линиях могут производить необычные эффекты. При длине линии ½ длины волны (и в кратное число раз больше) источник видит нагрузку как есть. На следующих иллюстрациях это показано:

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

В обоих случаях на концах линии пучность для напряжения и узел для тока. Линия имитирует нагрузку – бесконечное сопротивление, источник видит обрыв.
То же верно, если на линии короткое замыкание: в точке подключения источника будет минимум напряжения и максимум тока.

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Однако, если длина линии равна четверти длины волны, источник при коротком замыкании на конце линии увидит обрыв, а оборванную линию будет видеть как короткозамкнутую.

Линия разомкнута, а источник видит короткое замыкание:

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Линия замкнута, а источник видит обрыв:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

На этих частотах линия передачи ведёт себя как трансформатор сопротивления, превращая бесконечное сопротивление в нуль и наоборот. Это происходит только в резонансных точках, когда в линию укладывается четверть волны и кратно больше(3/4, 5/4, 7/4, 9/4 …), но если частота известна и неизменна, то это явление может быть использовано для согласования разных волновых сопротивлений друг с другом.
Возьмём в качестве примера линию передачи 75Ω с нагрузкой 100Ω. Из численного моделирования SPICE определим какое сопротивление видит источник:

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Простое уравнение связывает волновое сопротивление линии(Z0), импеданс нагрузки(Zload) и входной импеданс(Zinput) для несогласованной линии на нечётной гармоники:
Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Рассмотрим практический пример, когда надо согласовать нагрузку 300Ω и источник 75Ω. Всё, что нам нужно сделать, так это вычислить правильное волновое сопротивление линии и длину для четверти длины волны на 50МГц.
Во-первых, рассчитаем сопротивление линии. Z0 = Sqrt(75*300) = 150Ω.

Во-вторых, надо рассчитать длину линии. Предположим, коэффициент укорочения 0,85, скорость света 300 тысяч км/сек, скорость сигнала будет 255 тысяч км/сек. Делим эту скорость на частоту сигнала и получаем длину волны 5,1 метр. Нам нужно четверть длину волны – это будет 1,275м.

Вот схема для SPICE анализа:

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Мы можем указать длину линии по задержке сигнала. При частоте 50МГц период будет 20нс. Время задержки на четверть длины волны будет 5нс.

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=150 td=5n
rload 3 0 300
.ac lin 1 50meg 50meg
.print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3)
.end
freq v(1,2) v(1) v(2) v(3)
5.000E+07 5.000E-01 1.000E+00 5.000E-01 1.000E+00

На частоте 50МГц в точке 1-2 падает ровно половина – 0,5В, а вторая половина напряжения падает на линии связи в цепи 2-0. Это означает, что источник видит в нагрузке 75Ω. Нагрузка, однако, получает не половину, а 1 Вольт (напряжение v(3)). На сопротивлении 75Ω падает 0,5В или 3,333мВт – столько же, сколько и на нагрузке 300 Ом при напряжении 1В. В соответствии с теоремой максимальной мощности (теоремой Якоби) на нагрузке рассеивается максимальная возможная мощность. Линия передачи длиной в четверть волны, волновым сопротивлением 150Ω и нагрузкой 300Ω ведёт себя как 75Ωнагрузка.

Конечно, это всё будет работать лишь на 50МГц и нечётных гармониках. Для других частот линию передачи придётся удлинять или укорачивать.

Как ни странно, линия той же длины будет согласовывать 300Ω источник и 75Ω нагрузку. Это показывает, что явление преобразования импеданса в корне отличается от принципа работы трансформатора с двумя обмотками.

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 300
t1 2 0 3 0 z0=150 td=5n
rload 3 0 75
.ac lin 1 50meg 50meg
.print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3)
.end

freq v(1,2) v(1) v(2) v(3)
5.000E+07 5.000E-01 1.000E+00 5.000E-01 2.500E-01

В этом случае на внутреннем сопротивлении источника упадёт 0,5В, или 833мкВт. На нагрузке будет 0,25В – те же 833мкВт.

Этот метод часто используется для согласования линий передачи и антенны в радиопередачиках, так как там частота часто известна и неизменна. Минимальная длина преобразователь импеданса соответствует ¼ длины волны.

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Автор: zirus

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля