Электромагнетизм для самых маленьких, и не только

в 23:28, , рубрики: Научно-популярное, физика, электромагнитное излучение, электромагнитные поля

Если говорить об «электромагнетизме Максвелла», то народ в целом делится на две группы: первые считают, что знают на эту тему если не всё, то вполне достаточно. Потому что ничего сложного там нет. Вторые не совсем знают эту тему и не хотят знать. Так как непонятные формулы и вообще.

Натыкаясь в разных местах на то, как объясняются некоторые моменты: с одной стороны убедительно, с другой сомнительно, с третьей неверно, с четвертой, в принципе и верно… думаю, стоит на всякий случай приглядеться им, а так как начать придется от оснований, то и «самые маленькие» могут поднянуться без боязни формул.

Прежде всего нас будет интересовать, как образуются и распространяются электромагнитные волны от «электрических» и «магнитных» полей, а посему сразу лакмусовая бумажка:
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 1

Если эта схема вам прекрасно знакома и не вызывает рефлекса кое-что пояснить и дополнить, чтобы не ввела других в заблуждение, то прошу под кат. Если она вам прекрасно знакома, и вы поняли, что там требуется допояснять, то гуляйте дальше) Пост не для вас.
Если схема не очень знакома или понятна, можете заглянуть.

Чтобы идти по порядку, начнем с далека, а именно — возьмем и рассмотрим окружность. Казалось бы, о чем тут говорить, фигуры проще не бывает. С детства мы привыкли рисовать, взяв точку-центр на бумаге и очертив все точки на одинаковом от центра расстоянии.
Потом мы узнаем другие способы «нарисовать» круг. Казалось бы, совсем разные принципы, а ведут к одному и тому же.

Возьмем один из них, один из полезнейших на мой взгляд:

Секрет вселенной
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 2

Что это было? Ничто иное, как дифференциальное уравнение окружности. Смысл которого звучит так:
«Есть две взаимодействующие сущности. Первая прикладывает силы, чтобы усилить вторую. Вторая, по мере сил, пытается ослабить первую.»

Эту динамику мы можем записать в форме самой простой системы дифф. уравнений в мире (не считая экспоненты)

Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 3

Образно говоря, в любой момент очень короткого периода одинаковой длины «dt», изменение «у» (т.е. «dy») зависит от величины «x».
При этом в этот же момент изменение «x» (т.е. «dx») зависит от величины «y».
Оба уравнения аналогичны уравнению механики макромасштабов — «расстояние = скорость * время». Только в данном случае отрезки «dt» очень малы (а точнее, бесконечно малы, но сути не меняет).

заметка насчет записи
Обычно дифф. ур. записывают, чтобы продемонстрировать дифференциал, в данном случае производную по времени, поэтому типичная запись:
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 4

При чем все эти зависимости линейные, и об окружности им ничего не известно. А принцип инь-ян проявляется в противостоящих знаках воздействия одного элемента на другой.
Если система находится не в равновесии, т.е. «x» и «y» не равны нулю, это взаимодействие, складывая все микро-отрезки времени, приведет к бесконечному циклу колебаний.

Код html для примера
<html>
<body>
  <canvas height='300' width='300' id='cnv' style="border: 1px solid black"></canvas>
  <canvas height='300' width='200' id='cnv2' style="border: 1px solid black"></canvas>
  <script>
        var cnv = document.getElementById("cnv");
        var cx = cnv.getContext('2d');
        var cnv2 = document.getElementById("cnv2");
        var cx2 = cnv2.getContext('2d');
        var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));
        var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
        var h2 = parseInt(cnv2.getAttribute("height"));
        var w2 = parseInt(cnv2.getAttribute("width"));
        var id = cx.createImageData(w, h);
        var id2 = cx2.createImageData(w2, h);
        var rd = Math.round;
       
        var x = 0, y = 1, x1, y1;
        var dt = 0.0001;
        var t=0;
        i=1000000; while (i--) {
		dx = -y;
		dy = x;

                x1 = x + dx*dt;
                y1 = y + dy*dt;
                
		t = t + dt;
                x = x1; y = y1;   
                
		// draw (x, y)
                drawOn(id, rd(100*x + 150), rd(100*y + 150), w, h, 0, 0, 0);
                // draw x(t), y(t)
                drawOn(id2, rd(10*t), rd(100*y + 150), w2, h2, 255, 0, 0);
                drawOn(id2, rd(10*t), rd(100*x + 150), w2, h2, 0, 0, 255);
               
        }
        drawHorizLine(id, 0, w, h/2, w, h);
        drawHorizLine(id2, 0, w2, h2/2, w2, h2);
        
        cx.putImageData(id, 0, 0);
        cx2.putImageData(id2, 0, 0);
       
        function drawOn(id, x, y, w, h, red, green, blue) {           
            if (x < w && y < h && x >=0 && y >=0) {
                var idx = 4*(x + y*w);
                id.data[idx] = red;
                id.data[idx+1] = green;
                id.data[idx+2] = blue;
                id.data[idx+3] = 255;
            }
        }
        
        function drawHorizLine(id, xFrom, xTo, y, w, h) {
            for (var x = xFrom; x < xTo; x++) {
                drawOn(id, x, y, w, h, 0, 0, 0);
            }
        }
        
  </script>
</body>
</html> 

Из этого же представления мы получаем как результат — функции синус и косинус, т.к. «х» и «у» ими соответственно и являются (с точностью до масштаба).
Отсюда же сразу понятно, почему производная синуса — косинус, косинуса — минус синус… и почему цепочка производных зацикливается. И тянется в бесконечность…

Если посмотреть на «x» и «y» (синус и косинус) на одной оси, то они конечно сдвинуты на пи/2
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 5

Итак, к чему все это.

Вернемся к электромагнитным волнам. Пустое 3-хмерное пространство. Как известно, два вида полей, электрическое и магнитное, проявляют схожую зависимость между собой.
Грубо говоря, изменение интенсивности магнитного поля порождает разницу электрического потенциала (закон Фарадея). И так же изменение электрического потенциала в точке пространства порождает магнитное поле (закон Ампера).
В уравнениях Максвелла эти зависимости между «E» (электрическое поле) и «B» (магнитное поле) выглядят так
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 6
(еще два дополнительных уравнения сводятся к «закону сохранения энергии», и нам не будут интересны)

Прежде чем вникать в детали, следует заметить, что эта система дифф.ур. очень похожа на дифф. ур. инь-яна. Главные элементы здесь — «E», «B» и «t», на остальные параметры можно не обращать внимания, например «J» это внешнее электрическое воздействие, которое не будем рассматривать, а остальное можно принять за константы и забыть.
Кроме этого надо заметить, что и «Е», и «B», это не просто два числа, а поля трехмерных векторов в каждой точке трехмерного пространства. Но это тоже в данном случае ничего кардинально не меняет.

Зато важный элемент — треугольник с крестиком перед «Е» и «B», т.н. «ротор» поля. Из-за него как раз рождаются определенные сомнения и вопросы. К ротору вернемся чуть позже, посмотрим, что за вопросы и неясности вызывает.

Итак, мы видели, что круговая динамика это две связанные величины, которые на одном графике от времени, представляют собой две волны со сдвигом пи/2.
Таким же образом из начального возмущения распространяется электромагнитная волна, через зацикленность интенсивностей и их изменений. Изменение электрического поля порождает магнитное поле, которое, увеличиваясь (=изменяясь), порождает обратное электрическое поле, которое… и т.д. Это классическое (и верное) объяснение, известное наверное каждому.
Но… посмотрим на схему с которой все началось:
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 7

Сдвиг… где тут сдвиг? Векторы, обозначающие интенсивности полей, колеблются в одной фазе!
Ошибка? Смотрим на вики. Там то же самое. Ошибка на вики? Смотрим гугл. Что там у нас?
Какие-то непонятные споры… Должен быть сдвиг или нет? Консенсуса нет. Одни говорят «сдвиг должен быть, там везде все неправильно». Другие «доказывают», что правильно. Шок, как так? Идеальная и элегантная теория, которой 300 лет в обед, и еще какие-то неясности?

Например объяснение: www.sciforums.com/threads/luminiferous-ether.57402

Hi BillyT,

From my understanding Vern is correct. Your citation of Maxwell's equation is a good idea, but you are incomplete. In free space you have no currents and no charges so Maxwell's 4 equations simplify down to 2 equations (considering a single spatial dimension):

dE/dx = -dB/dt
dE/dt = -c2 dB/dx

So when the temporal derivative of one is maximal the spatial derivative of the other is minimal (maximally negative). If you consider a simple single-frequency sinusoidal plane wave you find that this happens for E and B in phase. In the above equations:

E = Emax cos(kx-wt)
B = Bmax cos(kx-wt)

Вот, вышло, что должны быть в фазе. И еще в разных местах в интернете другие вариации на эту тему.

Правильно ли? Нет, неправильно.

Почему неправильно? Потому что ротор поля это не его производная по пространству!
dE/dx — так нельзя.

В других местах «упрощают» пространство до двумерного другими способами и получают тот же результат. Так тоже нельзя, ротору нужны 3 измерения (не меньше).

Посмотрим, что за это несчастный ротор. Думаю, вещь знакомая со школы.
Дело в том, что изменение электрического поля порождает не абы какое магнитное поле, а «закрученное». Типичный пример, изначальный ток по проводу, порождающий изменение электропотенциала вдоль линии провода, создает закрученное вокруг провода магнитное поле.
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 8
То же самое с изменяющимся потенциалом магнитного поля, если изменение имеет векторную направленность, электрическое напряжение будет закручено вокруг него.
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 9

Поэтому ротор поля это не дифференциал, это специальный способ выразить его значение (наподобие смены системы координат), иначе говоря, ротор — это и есть значение поля.

Как в итоге выглядит каскадная зацикленная волна таких закрученностей?
Довольно сложно описать…
Совсем упрощенная схема выглядит так
Электромагнетизм для самых маленьких, и не только - 10
Но это большое упрощение, такой картинки с колечками вообще не возникает, т.к. все находится во вращении и это скорее спирали, вращающиеся вокруг друг друга. Но при этом и не спирали, т.к. расходятся в пространстве, и взаимосложение даст еще более дивную картину.

Однако в любом случае… сдвиг на пи/2 есть.

Что же насчет классического рисунка? Классический рисунок представляет собой пример однонаправленной волны линейной поляризации… Что-то похожее на лазер. Такую поляризованную волну можно получить, прибавляя к электро- волне круговой поляризации ее зеркальное отражение (стереоизомер). Получится ли после такого сложения волна с колебаниями электропотенциала и магнитной интенсивности в одной фазе?

Следует помнить, что стереоизомеры вращательно-поляризованных волн не симметричны, т.к. векторы сопуствующего магнитного поля всегда повернуты под прямым углом в одну и ту же сторону.

А поэтому… вполне возможно? Или вполне возможно нет?

Автор: mkovalevich

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля