Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана»)

в 4:25, , рубрики: diy или сделай сам, лазеры, матан, оптоволокно, уравнения максвелла, физика, метки:

Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана») - 1
Как-то мне понадобилась "собственная мода оптоволокна". Но я нигде не нашел аналитического выражения электромагнитного поля. Ну и «сделал сам», раз не нашел, и оформил для всех тут, в статье. Так что, скорее всего, нигде больше вы такого не встретите — уникальнейшая вещь! В книжках это не пишут, потому что оно длинное — обычно пишут самое простое, а про общий случай упоминают вскользь. Ну вот он, общий случай, под катом.

Постановка задачи

Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана») - 2
Решить уравнения Максвелла с условиями:
— оптоволокно состоит из сердцевины радиуса $a$ с диэлектрической проницаемостью $varepsilon_1$ и оболочки бесконечного внешнего радиуса с диэлектрической проницаемостью $varepsilon_2$,
— поле периодично по $z$, пространственная частота всех компонент поля едина: $k_z$,
— компоненты поля на оси $O_z$ — без особенностей,
— компоненты поля при $r rightarrowinfty$ интегрируемы с квадратом,
— тангенциальные компоненты поля на поверхности цилиндра $r=a$ — непрерывны:

$E_{z,1}bigg|_{r=a}=E_{z,2}bigg|_{r=a},$

$E_{varphi,1}bigg|_{r=a}=E_{varphi,2}bigg|_{r=a},$

$H_{z,1}bigg|_{r=a}=H_{z,2}bigg|_{r=a},$

$H_{varphi,1}bigg|_{r=a}=H_{varphi,2}bigg|_{r=a}$

1. Преобразование уравнений Максвелла, вызванное периодичностью по $z$

Подставив в уравнения Максвелла периодическую зависимость по $z$:

$textbf{E}(x,y,z,t)=left( begin{array}{c} e_x(x,y)\ e_y(x,y)\ e_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace, quad textbf{B}(x,y,z,t)=left( begin{array}{c} b_x(x,y)\ b_y(x,y)\ b_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace,$

получаются уравнения на $z$-компоненты поля:

$Delta_{bot}e_z + gamma^2e_z=0,,Delta_{bot}b_z + gamma^2b_z=0,,text{где }Delta_{bot}=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2},quad gamma^2=varepsilonmufrac{omega^2}{c^2}-k^2_z.$

При этом остальные компоненты выражаются через $z$-компоненты по закону:

$textbf{b}_{bot}=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}b_z + varepsilonmufrac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}e_zright] rightrbrace, , textbf{e}_{bot}=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}e_z - frac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}b_zright] rightrbrace,$

где $hat{textbf{z}}$ — единичный вектор вдоль оси $O_z$, $operatorname{grad}_{bot}=hat{textbf{x}} partial_x+hat{textbf{y}}partial_y$, $textbf{e}_{bot}=hat{textbf{x}}e_x + hat{textbf{y}} e_y,,textbf{b}_{bot}=hat{textbf{x}}b_x +hat{textbf{y}}b_y$.

2. Уравнения на $z$-компоненты в полярных координатах

Уравнения на $e_z,,b_z$ имеют один вид, решения одинаковы, поэтому естественно переобозначение искомой функции:

$Delta_{bot}psi + gamma^2psi=0.$

В полярных координатах уравнение имеет вид:

$r^2frac{partial^2}{partial r^2}psi + rfrac{partial}{partial r}psi + frac{partial^2 }{partial varphi^2}psi + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right) psi=0.$

3. Разделение переменных в уравнении

Подстановкой в уравнение зависимости $psi(r,varphi)=u(r)v(varphi)$ переменные разделяются:

$frac{1}{u(r)}r^2frac{partial^2}{partial r^2}u(r) + frac{1}{u(r)}rfrac{partial}{partial r}u(r) + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right)=- frac{1}{v(varphi)}frac{partial^2 }{partial varphi^2}v(varphi).$

Обозначив константу равенства символом $nu^2$ выписываются обе части равенства:

$$display$$- frac{1}{v(varphi)}frac{partial^2 }{partial varphi^2}v(varphi) = nu^2,$$display$$

$frac{1}{u(r)}r^2frac{partial^2}{partial r^2}u(r) + frac{1}{u(r)}rfrac{partial}{partial r}u(r) + r^2left( frac{varepsilonmu}{c^2}omega^2 - k_z^2 right)=nu^2.$

4. Решение первого уравнения

Первое уравнение имеет решения: $v=С_1expleftlbrace inu varphi rightrbrace$.

Из периодического граничного условия $v(varphi)=v(varphi+2pi)$, следует, что $nu$ — целое: $expleftlbrace inu varphi rightrbrace=expleftlbrace inu (varphi+2pi) rightrbracerightarrow 1=expleftlbrace inu2pi rightrbrace=cos(2pinu)+ isin(2pinu) Rightarrow$ $Rightarrowcos(2pinu)=1, sin(2pinu)=0 Rightarrow nu=ldots -2,-1,0,1,2ldots$

5. Решение второго уравнения

Второе уравнение сводится либо к уравнению Бесселя, либо к модифицированному уравнению Бесселя:
1. Уравнение Бесселя:

$rho_1^2frac{d^2u}{drho_1^2} + rho_1frac{du}{drho_1} + (rho_1^2 - nu^2)u=0,text{ при }rho_1=r sqrt{ frac{varepsilon_1mu}{c^2}omega^2 - k_z^2 },$

2. Модифицированное уравнение Бесселя:

$rho_2^2frac{d^2u}{drho_2^2} + rho_2frac{du}{drho_2} - (rho_2^2 + nu^2)u=0,text{ при }rho_2=r sqrt{ k_z^2 - frac{varepsilon_2mu}{c^2}omega^2 }.$

Уравнению Бесселя удовлетворяют функции Бесселя $J_{nu}(rho_1)$ и функции Неймана $Y_{nu}(rho_1)$. Модифицированному уравнению Бесселя удовлетворяют функции Инфельда $I_{nu}(rho_2)$ и функции Макдональда $K_{nu}(rho_2)$.

В силу граничных условий: при $r=0$ — функция без особенностей, при $r=infty$ — функция интегрируема с квадратом, при $r=a$ — тангенциальные компоненты поля непрерывны, — в качестве решения предлагается следующая комбинация: при $r < a$ — функция Бесселя $J_{nu}(rho_1)$, при $r > a$ — функция Макдональда $K_{nu}(rho_2)$.

Из предложенной комбинации следует, что сердцевина должна быть более оптически плотной, чем оболочка, $varepsilon_1 > varepsilon_2$:

$ frac{varepsilon_1mu}{c^2}omega^2 - k_z^2 > 0, , k_z^2 - frac{varepsilon_2mu}{c^2}omega^2 > 0,$

$ frac{varepsilon_1mu}{c^2}omega^2 > k_z^2, , k_z^2 > frac{varepsilon_2mu}{c^2}omega^2,$

$ frac{varepsilon_1mu}{c^2}omega^2 > frac{varepsilon_2mu}{c^2}omega^2,$

$ varepsilon_1 > varepsilon_2.$

6. Общий вид компонент $e_z,,b_z$

Введя обозначения: $gamma^2=frac{varepsilon_1mu_1}{c^2}omega^2 - k_z^2, , kappa^2=k_z^2 - frac{varepsilon_2mu_2}{c^2}omega^2,$ компоненты $e_z,,b_z$ записываются в виде:

$e_{z,1}=A_eJ_{|nu|}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a,$

$e_{z,2}=B_eK_{|nu|}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a,$

$b_{z,1}=A_bJ_{|nu|}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a, $

$b_{z,2}=B_bK_{|nu|}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a. $

Здесь полагается, что $nu=ldots -2,-1,0,1,2ldots$ (может принимать отрицательные значения), потому в индексах функций присутствует знак модуля (в уравнении Бесселя имеет место $nu^2$, знак индекса предполагается неотрицательный). Далее знак модуля в индексах функций опускается, но подразумевается.

Кроме того, введен индекс для магнитной проницаемости: $mu_1$ — в сердцевине, $mu_2$ — в оболочке.

7. Соотношения на константы $A_e,,A_b,,B_e,,B_b$

Используя закон

$textbf{b}_{bot}=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}b_z + varepsilonmufrac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}e_zright] rightrbrace, , textbf{e}_{bot}=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z operatorname{grad}_{bot}e_z - frac{omega}{c}left[ hat{textbf{z}}timesoperatorname{grad}_{bot}b_zright] rightrbrace,$

находятся компоненты $e_{varphi,1},,e_{varphi,2},,h_{varphi,1},,h_{varphi,2}$, имея при этом в виду, что $textbf{h}=textbf{b}/mu$.
Компоненты подставляются в граничное условие непрерывности тангенциальных компонент:

$e_{z,1}bigg|_{r=a}=e_{z,2}bigg|_{r=a},$

$e_{varphi,1}bigg|_{r=a}=e_{varphi,2}bigg|_{r=a},$

$h_{z,1}bigg|_{r=a}=h_{z,2}bigg|_{r=a},$

$h_{varphi,1}bigg|_{r=a}=h_{varphi,2}bigg|_{r=a}.$

Получается система линейных уравнений, суть соотношения на константы $A_e,,A_b,,B_e,,B_b$, которая имеет вид:

$left( begin{array}{cccc} J_{nu}(gamma a) & -K_{nu}(kappa a) & 0 & 0 \ 0 & 0 & frac{1}{mu_1}J_{nu}(gamma a) & -frac{1}{mu_2}K_{nu}(kappa a) \ frac{nu k_z}{agamma^2} J_{nu}(gamma a) & frac{nu k_z}{akappa^2} K_{nu}(kappa a) & frac{i}{gamma^2}frac{omega}{c}gamma J^{prime}_{nu}(gamma a) & frac{i}{kappa^2} frac{omega}{c} kappa K^{prime}_{nu}(kappa a) \ ifrac{varepsilonmu}{gamma^2mu_1}frac{omega}{c}gamma J^{prime}_{nu}(gamma a) & frac{i}{mu_2kappa^2}varepsilonmufrac{omega}{c}kappa K^{prime}_{nu}(kappa a) & -frac{k_z nu}{agamma^2 mu_1} J_{nu}(gamma a) & - frac{nu k_z}{mu_2akappa^2}K_{nu}(kappa a) end{array} right) left( begin{array}{c} A_e\ B_e\ A_b\ B_b end{array} right)=0,$

8. Дисперсионное соотношение

Для существования нетривиального решения системы линейных уравнений, определитель матрицы должен равняться нулю:

$left( frac{varepsilon_1mu_1}{x^2}+frac{varepsilon_2mu_2}{y^2}right) left( frac{1}{x^2} + frac{1}{y^2}right)nu^2=left[ mu_2 g(y)+mu_1 f(x)right] left[ varepsilon_2g(y) + varepsilon_1 f(x)right] .$

В этой записи нулевого детерминанта использованы обозначения: $f(x)=frac{J^{prime}_{nu}(x)}{xJ_{nu}(x)}, , g(y)=frac{K^{prime}_{nu}(y)}{yK_{nu}(y)},$ $x=gamma a,,y=kappa a$ и соотношения: $frac{omega^2}{c^2}=frac{kappa^2+gamma^2}{varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2},,k_z^2=frac{varepsilon_1mu_1kappa^2+varepsilon_2mu_2gamma^2}{varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2}$, которые следуют из введенных ранее определений: $gamma^2=frac{varepsilon_1mu_1}{c^2}omega^2 - k_z^2, , kappa^2=k_z^2 - frac{varepsilon_2mu_2}{c^2}omega^2$.

Величины $x,,y$ — связаны еще одним равенством, следующим из двух последних определений и утверждения, что $k_z$ — едина для всех компонент:

$x^2+y^2=(varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2)a^2frac{omega^2}{c^2}.$

9. Моды

Для нахождения $x,,y$ из системы уравнений:

$left( frac{varepsilon_1mu_1}{x^2}+frac{varepsilon_2mu_2}{y^2}right) left( frac{1}{x^2} + frac{1}{y^2}right)nu^2=left[ mu_2 g(y)+mu_1 f(x)right] left[ varepsilon_2g(y) + varepsilon_1 f(x)right],$

$x^2+y^2=(varepsilon_1mu_1 - varepsilon_2mu_2)a^2frac{omega^2}{c^2},$

необходимо задать: $nu,,omega,,varepsilon_1,,mu_1,,varepsilon_2,,mu_2,,a$.

Связь $x$ и $y$ первым уравнением представляет собой серию линий на плоскости (граница раздела между синим и красным цветами, см. рис. ниже). Характер линий зависит от $nu$.

Связь $x$ и $y$ вторым уравнением представляет собой окружность с радиусом, линейно зависящим от $a$. Точки пересечения линий являются решениями системы уравнений.
Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана») - 96

Набор решений составляет конечное число пар чисел $(x_i,y_i)$. Каждой такой паре чисел соответствует конфигурация электромагнитного поля, называемой «собственной модой».

Моду оптоволокна принято обозначать следующим образом: две буквы ($E,,H$) — на первом месте буква с наибольшей $z$-компонентой и два индекса: на первом месте $nu$, на втором номер ветви (на рисунке обозначена синим цветом).

Примеры обозначения:
$HE_{11}$ говорит о том, что $H_z$ больше, чем $E_z$, $nu=1$, выбрана пара (см.рис. выше) $(x_1,y_1)$,
$EH_{13}$ говорит о том, что $E_z$ больше, чем $H_z$, $nu=1$, выбрана пара (см.рис. выше) $(x_5,y_5)$ (третья синяя ветвь).

10. Порядок построения компонент поля

Подготовительные вычисления:

01. Задать $nu,,omega,,varepsilon_1,,mu_1,,varepsilon_2,,mu_2,,a$;
02. Найти наборы $(x,y)$, выбрать один, (п.9);
03. Вычислить $k_z,,gamma,,kappa$, (п.8);
04. Вычислить $A_e,,A_b,,B_e,,B_b$, (п.7).

Выражения в цилиндрических координатах компонент поля:

$e_z=A_eJ_{nu}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a, $

$e_z=B_eK_{nu}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a, $

$b_z=A_bJ_{nu}(gamma r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r<a, $

$b_z=B_bK_{nu}(kappa r)expleftlbrace inu varphi rightrbrace,text{ при }r>a. $

Далее, при $r < a$:

$left( begin{array}{c} b_r\ b_{varphi} end{array} right)=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} A_b gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) \ frac{1}{r} i nu A_b J_{nu}(gamma r) end{array} right) + varepsilonmufrac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r} inu A_e J_{nu}(gamma r)\ A_e gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi) ,$

$left( begin{array}{c} e_r\ e_{varphi} end{array} right)=frac{i}{gamma^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} A_e gamma J^{prime}_{nu}(gamma r)\ frac{1}{r} inu A_e J_{nu}(gamma r) end{array} right) - frac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r}A_b inu J_{nu}(gamma r)\ A_b gamma J^{prime}_{nu}(gamma r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi).$

При $r > a$:

$left( begin{array}{c} b_r\ b_{varphi} end{array} right)=-frac{i}{kappa^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} B_b kappa K^{prime}_{nu}(kappa r) \ frac{1}{r} i nu B_b K_{nu}(kappa r) end{array} right) + varepsilonmufrac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r} inu B_e K_{nu}(kappa r)\ B_e kappa K^{prime}_{nu}(kappa r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi) ,$

$left( begin{array}{c} e_r\ e_{varphi} end{array} right)=-frac{i}{kappa^2}leftlbrace k_z left( begin{array}{c} B_e kappa K^{prime}_{nu}(kappa r)\ frac{1}{r} inu B_e K_{nu}(kappa r) end{array} right) - frac{omega}{c} left( begin{array}{c} -frac{1}{r}B_b inu K_{nu}(kappa r)\ B_b kappa K^{prime}_{nu}(kappa r) end{array} right) rightrbrace exp(inu varphi).$

Далее

$textbf{E}(x,y,z,t)=left( begin{array}{c} e_r(x,y)\ e_{varphi}(x,y)\ e_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace, quad textbf{B}(x,y,z,t)=left( begin{array}{c} b_r(x,y)\ b_{varphi}(x,y)\ b_z(x,y) end{array} right) expleftlbrace ik_zz - iomega t rightrbrace.$

При этом замыкающие соотношения стандартные:$textbf{D}=varepsilon_{1,2} textbf{E},, textbf{B}=mu_{1,2} textbf{H}$(индексы указывают на соответствующие среды).

Выражение поля в декартовой системе координат через цилиндрические для электрических компонент:

$left( begin{array}{c} E_x\ E_y\ E_z end{array} right)=left( begin{array}{ccc} cosvarphi & -sinvarphi & 0\ sinvarphi & cosvarphi & 0\ 0 & 0 & 1 end{array} right) left( begin{array}{c} E_r\ E_{varphi}\ E_z end{array} right).$

Для магнитных компонент матрица та же.

11. Замечания

Выбирая $a$ можно добиться единственности решения:
Аналитическое решение уравнений Максвелла: собственные моды оптоволокна (любителям «матана») - 129
Такое оптоволокно называется одномодовым. Однако следует заметить, что «одномодовость» зависит от частоты — более высокие частоты распространяются в «одномодовом» волокне в виде набора мод.

Иногда говорят о сохранении поляризации в оптоволокне, имея в виду перпендикулярные компоненты поля моды $HE_{11}$: векторы компонент поля в плоскости практически соправлены. Однако, общая картина вращается во времени (см. видео ниже), — о сохранении поляризации в таком оптоволокне говорить не приходится.

Для интереса ниже показана эволюция в течении временного периода моды $HE_{11}$

и моды $HE_{31}$

Автор: FransuaMaryDelone

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля