Разбираемся в физике частиц: 8) как частицы взаимодействуют с полями

в 18:35, , рубрики: Matt Strassler, квантовая физика, Кванты, поля, физика

1. Шар на пружине, ньютоновская версия
2. Квантовый шар на пружине
3. Волны, классический вид
4. Волны, классическое уравнение движения
5. Квантовые волны
6. Поля
7. Частицы – это кванты

В предыдущей статье серии я объяснил, что частицы природы – это кванты релятивистских полей, удовлетворяющие уравнениям движения класса 0 и класса 1. Но чего я пока не сказал, так что это утверждение, к счастью, верно лишь отчасти. Реальные уравнения всегда чуть более сложные, таким образом, что взаимосвязь частиц и полей остаётся, но при этом становятся возможными гораздо более разнообразные явления и процессы, включая появление частиц после столкновения других частиц, распад частиц на другие частицы, и рассеяние частиц друг с друга, а также формирование таких интересных объектов, как протоны и нейтроны, атомные ядра и атомы. Я не смогу объяснить всё это подробно, но в этой статье дам вам вводную того, как всё это работает.

Ключевое различие между уравнениями, которые я называл «классом 0» и «классом 1», и уравнениями, значимыми для реальной физики, в том, что в реальных уравнениях есть дополнительные члены, зависящие от двух или большего количество полей, а не только от одного. То есть, допустим, вместо уравнения класса 0 для релятивистского поля Z(x,t), выглядящего, как

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=0 $

для реальных полей уравнения выглядят больше похожими на это:

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=y’ Z(x,t)^3 + y A(x,t) B(x,t) $

Где y и y' – числа (обычно меньше 1), Z – краткая запись Z(x,t), а A(x,t) и B(x,t) – пара других полей. В таких уравнениях можно ожидать появления таких членов, как A(x,t)Z(x,t), или A(x,t)2 Z(x,t), или Z(x,t) 2, или даже A(x,t)d2Z/dt2, и т.д. Какие члены могут, а какие не могут появляться, зависит от подробностей участвующих в процессе полей. Правила строгие, но довольно запутанные, так что не будем пока в них углубляться. В целом из экспериментов мы установили (и поняли с теоретической точки зрения), что в природе:

• Любой допустимый в принципе член (сохранение электрического заряда или соответствие относительности Эйнштейна) появляется в уравнениях,
• но члены со многими полями обычно очень малы и незначительны по сравнению с членами с одним, двумя, и иногда тремя полями (члены с производными времени или пространства тоже обычно малы).

Следовательно, в большинстве интересных физических процессов можно сфокусироваться на всех допустимых членах с одним, двумя или тремя полями.

Немного терминологии. Члены в уравнениях с полями в первой степени называются линейными. Все члены в наших уравнениях класса 0 или 1 были линейными. Члены с двумя или тремя полями называются квадратичными или кубическими; в общем, они называются нелинейными. Все интересные явления нашего мира появляются из-за нелинейных членов в уравнениях движения – а именно, взаимодействия полей друг с другом и с самими собой. Давайте изучим одно из них.

Появление новой волны из резонанса двух других

Чтобы получить представление о том, насколько интересным всё может стать, возьмём три поля, A(x,t), B(x,t), C(x,t), и упрощённую ситуацию. Допустим, поля A и B примерно удовлетворяют уравнениям класса 0 (и содержат безмассовые кванты), а поле C удовлетворяет уравнениям класса 1 (содержит волны с минимальной частотой νmin, и соответственно, кванты массой m = h νmin / c 2, где h – постоянная Планка). А ещё мы добавим в их уравнения нелинейные члены. Конкретно вот так (для краткости будем писать «A» вместо «A(x, t)», и так далее, c – скорость света, y – число, обычно меньшее 1):

$ d^2A/dt^2 - c^2 d^2A/dx^2=y B C \ d^2B/dt^2 - c^2 d^2B/dx^2=y A C \ d^2C/dt^2 - c^2 d^2C/dx^2=(2 pi nu_{min})^2 C + y A B $

Мелкий шрифт: я добавил нелинейные члены во все три уравнения потому, что наличие таких членов в одном из уравнений и отсутствие их в других приведёт к противоречиям; к примеру, энергия не будет сохраняться. Для описываемого мною процесса нам нужно будет рассмотреть только нелинейные члены в уравнениях движения поля С.

Посмотрим, что произойдёт с таким набором уравнений, если волна поля А встретится с волной поля В. В принципе мы можем догадаться об этом, применив метод пристального разглядывания. Если в поле А есть волна, тогда A(x,t) ненулевое вблизи её. Когда волны полей А и В перекрывают друг друга, то результат умножения A(x,t) и В(x,t) становится ненулевым. Теперь обратимся к уравнению для С: изменения поля С во времени и в пространстве (два члена в левой части) связаны с произведением А и В (один из членов в правой части).

$ d^2C/dt^2 - c^2 d^2C/dx^2=(2 pi nu_{min})^2 C + y A B $

Так что даже если поле С нулевое, когда A(x,t)B(x,t) становится ненулевым, то и C(x,t) вскоре станет ненулевым на том же участке. Короче, в результате встречи волн А и В произойдёт некое малое возмущение поля С.

Мелкий шрифт: вас может заинтересовать – после того, как С станет ненулевым, станет ли член A(x,t) C(x,t) в уравнении движения для поля В причиной дополнительного возмущения поля В. Ответ – да, но этот эффект будет ещё меньшим. Пока мы его проигнорируем, а позже узнаем, почему так стоило поступить.

На рис. 1 показана волна с частотой ν в поле А (зелёная), встречающаяся с волной частоты ν поля В (синяя). Я уравнял частоты для простоты и симметрии. Позже мы увидим, почему другие случаи сводятся к этому. Скорость ν можно оценить, наблюдая за зелёной волной и за вертикальной чертой, находящейся в одной точке пространства и колеблющейся вместе с волной.

Ниже оранжевым показано произведение A(x,t)B(x,t); видно, что оно становится ненулевым при наложении двух волн. Также видно, что оно колеблется во времени. Можно увидеть (сравнивая её с колеблющейся вертикальной чертой), что A(x,t)B(x,t) колеблется в два раза быстрее. Запомните этот важный факт. В общем случае, если волна частоты ν1 встречается с волной частоты ν2, то их произведение будет колебаться с частотой ν1 + ν2. И ещё одно: можно заметить, что колебания АВ не двигаются вправо или влево, они остаются на месте. Позже мы увидим, почему это важно.

image
Рис. 1

Как же ненулевое значение АВ влияет на С? Ответ сильно зависит от частоты ν. Сначала я дам вам готовый ответ, а потом примерное объяснение причины. Это, по сути, резонанс. Резонанс – неотъемлемое явление всех колебаний (вибраций), включая волны. Я уже описывал, как шар на пружине колеблется с естественной частотой, и как колебательная сила, толкающая шар, может привести к резонансу, если частота колебаний силы совпадёт с естественной частотой шара на пружине.

Поняв резонанс, вы увидите, что поле С, колеблясь с минимальной частотой и нулевой горизонтальной скоростью, ведёт себя, как шар на пружине, а АВ ведёт себя как колебательная сила, пытающаяся заставить мяч колебаться. Поэтому, явление резонанса возникает, если частота колебаний АВ — 2ν – оказывается минимальной частотой поля С – νmin. Конкретнее:

• Если 2 ν не равно νmin — если силы не в резонансе – тогда на участке, где АВ не равно нулю, С начнёт колебаться нерегулярно, с небольшой амплитудой.
• Если 2 ν = νmin — если сила в резонансе – тогда С будет колебаться плавно, с большой амплитудой, на участке, где АВ не равно нулю, и продолжит колебаться даже тогда, когда АВ снова станет равным нулю.

Рис. 1 показывает только резонансную ситуацию 2 ν = νmin. Видно, что когда волна А проходит волну В, они оставляют после себя стационарную волну С, колеблющуюся с частотой νmin. Мелкий шрифт: на рис. показан набросок, не точное решение уравнений. У точного решения будет множество мелких сложных особенностей, которые затмят основной физический смысл, так что я удалил их для ясности. Позже мы рассмотрим ситуацию без резонанса, которая гораздо сложнее, но и важнее для физики.

Появление новой частицы из аннигиляции двух других

Я только что продемонстрировал вам, что нелинейные члены АВ в уравнении С могут привести к тому, что наложение волн А и В породит колебания поля С, если сумма частот полей А и В равна минимальной частоте поля С. Но что, если у этих волн была очень маленькая амплитуда? Что может случиться, если один квант поля А встретится с одним квантом поля В?

• Если частоты АВ входят в резонанс с полем С, тогда может возникнуть квант поля С, то есть реальная частица С, а кванты А и В исчезнут – «аннигилируют».
• Также кванты А и В могут просто пройти друг мимо друга, без создания частицы С.
• Законы квантовой механики предполагают, что вероятность создания частицы С пропорциональна квадрату числа y, которое перемножается с АВ в уравнении движения С.
• Если частоты в резонанс не входят, реальная частица С не появится. Однако в поле С может возникнуть временное возмущение, пример того, что часто называют «виртуальной частицей» С, и в этом случае кванты А и В могут исчезнуть. Что получается в результате такого возмущения? Я частично описал этот процесс в конце статьи, в разделе «хвосты».

Таково общее положение вещей. Давайте углубимся в детали.

Что для частиц, то есть квантов полей А, В и С означает быть в резонансе или не в резонансе? Стоит помнить, что энергия кванта связана с его частотой благодаря уравнению E = h ν. Так что переведём наше обсуждение волн в обсуждение частиц.

Допустим, что наши волны на полях А и В состоят каждая из одного кванта. Эти кванты безмассовые, поскольку А и В удовлетворяют уравнениям класса 0. Точнее, линейные члены в их уравнениях движения такие же, как у уравнений класса 0. Поскольку у квантов А и В одна частота, они обладают одинаковой энергией, E = h ν. Поскольку импульс безмассового кванта равен p = E/c, у квантов А и В будут импульсы, равные по величине h ν/c, но противоположные по направлению, поскольку один из них движется, влево, а другой – вправо. Следовательно:

• Общая энергия двух квантов вместе составит 2hν.
• Общий импульс двух квантов вместе будет нулевым.

Поскольку энергия и импульс сохраняются, общая энергия после столкновения двух квантов останется равной 2hν, а общий момент останется нулевым.

В случае с волнами мы видели, что поскольку уравнение для С содержит член вида АВ, существует резонанс, когда частота АВ (работающая, как колебательная сила), совпадает с минимальной частотой С (работающим, как шар на пружине). Переведём это утверждение в кванты.

Частота АВ будет 2 ν, поэтому энергия произведения А и В, когда волны А и В состоят из одного кванта, равна сумме энергий А и В.

$ E_{AB}=2 h nu=E_A + E_B $

Минимальная частота С равна νmin, что значит, что у стационарного кванта поля С импульс равен 0, а энергия

$ E_C=h nu_{min}=mc^2 $

Где m – масса кванта С.

Для резонанса требуется 2 ν = νmin, то есть:

$ E_A + E_B=2 h nu=h nu_{min}=mc^2=E_C $

Короче говоря, резонанс происходит, когда суммы равных энергий частиц А и В (у которых в нашем случае одинаковые по величине и противоположные по направлению импульсы) как раз хватает для создания стационарной частицы С! В процессе происходит аннигиляция частиц А и В – их энергия полностью уходит в создание частицы С. Это показано (схематично) на рис. 2, который вам нужно сравнить с рис. 1.

Разбираемся в физике частиц: 8) как частицы взаимодействуют с полями - 9
Рис. 2

Рассуждения

Я только что показал вам процесс A + B → C. В моём объяснении я использовал три разных типа частиц, чтобы избежать путаницы. Но та же идея позволяет проходить процессам вида A + A → C (к примеру, глюон + глюон → частица Хиггса, а в основном именно так частицу Хиггса получают в Большом адронном коллайдере) и процессам вида A + A* → C, где A* — античастица для А (к примеру, кварк + антикварк → Z-частица, и именно так обычно получают Z-частицы на БАК). Нужно лишь поменять незначительные детали, а суть остаётся такой же.

Ещё один процесс, представляющей собой ту же идею, только обращённую во времени – распад частиц. Распад частицы Хиггса на два фотона или Z-частицы на кварк и антикварк по сути происходит так, как анимация на рис. 2, идущая в обратном направлении.

Хвосты

1. Если член АВ возмущает поле С без резонанса – если 2 ν ≠ νmin — что произойдёт? Вы можете вспомнить, что если вы толкаете качели с ребёнком не с той частотой, или прикладываете к шару на пружине силу, колеблющуюся с частотой, не совпадающей с собственной частотой колебаний, вы получите неровное колебание с малой амплитудой. В текущем контексте то же самое происходит с полем С. Поле С как-то поведёт себя, но это не приведёт к появлению хорошо ведущего себя кванта С. Оно просто немного поволнуется. Это плохое возмущение – один из примеров т.н. «виртуальных частиц С» – но это не частица (квант волны поля С), несмотря на её название. Её масса отличается от массы частицы С; она может быть крупнее или мельче. В отличие от частицы С она не существует сама по себе какое-то продолжительное время. И она не удовлетворяет условиям по амплитуде, которым должны удовлетворять настоящие кванты. Вместо этого, в отличие от существующей какое-то время частицы С с рис. 2, нерезонансное возмущение существует только тогда, когда А пересекается с В.

Но это не означает, что она ни на что не влияет. К примеру, она может заставить частицы А и В отскочить друг от друга.

$ A_rightarrow + B_leftarrow → C_{возмущение} → A_leftarrow + B_rightarrow $

Вообще, в трёхмерном пространстве отскок, или рассеяние, может привести к тому, что А движется в любом направлении, а В – в противоположном. Примеры таких процессов включают рассеяние электрона и позитрона благодаря виртуальному фотону, или рассеяние кварка и антикварка благодаря виртуальному глюону.

В присутствии других полей, D и Е, взаимодействующих с С и участвующих в уравнении движения С

$ d^2C/dt^2 - c^2 d^2C/dx^2=(2 pi nu_{min})^2 C + y A B + y’ D E $

Могут происходить гораздо более интересные процессы:

A + B → Cвозмущение → D + E

Именно так: частицы А и В могут аннигилировать благодаря виртуальной частице С, и привести к появлению новых частиц D и Е. Это второй способ создания новых частиц! К примеру, электрон может столкнуться с позитроном, аннигилировать через виртуальный фотон (помним, что это означает «через возмущение фотонного поля на частоте, не совпадающей с резонансной»), и превратиться в мюон и антимюон, или кварк и антикварк. Нижний кварк и верхний антикварк могут столкнуться, аннигилировать через виртуальную W-частицу, и превратиться в электрон и антинейтрино. Или два глюона могут столкнуться, аннигилировать через виртуальный глюон, и превратиться в верхний кварк и верхний антикварк (это самый распространённый способ получения верхних кварков на БАК).

2. Что, если две волны в полях А и В обладают разными частотами, νA и νB? При подходящих частотах частицы С всё ещё могут появиться, но условия резонанса будут другими, и созданная частица С не будет стационарной. Давайте разберёмся.

Если у них разные частоты, у двух сталкивающихся безмассовых квантов будут

• Различные энергии $ E_A=h nu_A $ и $ E_B=h nu_B $
• Различные импульсы $ p_A=+ h nu_A/ c $ и $ p_B=- h nu_B/ c $ (тут плюс означсет вправо, минус – влево).

Общий импульс pA + pB теперь ненулевой. Но импульс сохраняется. Поэтому, если частица С может возникнуть в результате аннигиляции частиц А и В, у неё будет импульс pС = pA + pB, поэтому она будет двигаться влево или вправо, а не стоять на месте. Если νА > νB, тогда она будет двигаться вправо, иначе – влево.

Сколько энергии требуется для создания движущейся частицы С? Для этого нужно больше энергии, чем для покоящейся – как у любой массивной частицы, её энергия и импульс должны удовлетворять

$ E_C^2=(p_Cc)^2 + (mc^2)^2 $

Что означает, что EС = mc2, если pС = 0, или больше, если импульс ненулевой. Закон сохранения энергии и импульса говорит нам, что:

$ E_C=E_A + E_B $

$ p_C=p_A + p_B=E_A/c - E_B/c $

Откуда я взял последнее уравнение? Для безмассовой частицы p = E/c, а для наших сталкивающихся частиц А и В их импульсы направлены противоположно, поэтому они отличаются по знаку. Подставим это в предыдущее уравнение и получим:

$ (E_A + E_B)^2=(E_A – E_B)^2 + (mc^2)^2 $

Члены EA2 и EB2 взаимно уничтожаются, и переведя члены EA EВ в левую часть, получим:

$ 4 E_A E_B=(mc^2)^2 $

Поделив на h2 и используя соотношение m = hνmin / c2, получим условие резонанса:

$ (2 nu A)(2 nu B)=nu_{min}^2 $

Что корректно сводится, когда νA = νВ, до уравнения для неподвижной частицы С, 2 ν= νmin. Если это условие не удовлетворяется, то частицу С создать нельзя. Если удовлетворяется, то можно.

3. Я отметил, что точно так же, как уравнение движения для поля С содержит член АВ, так и уравнение для В содержит член АС. Вспомним эти уравнения:

$ d^2B/dt^2 – c^2 d^2B/dx^2=y A C $

$ d^2C/dt^2 – c^2 d^2C/dx^2=(2 pi nu_{min})^2 C + y A B $

Так что, если наложение волн А и В приводит к появлению волны в поле С, делая его ненулевым, как на рис. 1, не надо ли нам волноваться по поводу того, что эта новая волна С наложится на существующую волну А и приведёт к изменению в поле В? Я отвечал, что «да, но мы можем этим пренебречь». Пренебрегать мы можем из-за комбинации двух причин.

Во-первых, из-за числа «y», появляющегося перед перемножениями АВ и ВС. Воздействие на поле С члена АВ пропорционально y, умноженному на А, умноженному на В. Воздействие на поле В члена АС также пропорционально y, умноженному на А, умноженному на С, но это в свою очередь будет равно y2, умноженному на А, умноженному на А, умноженному на В. Так что пока y меньше 1, y2 будет меньше у, поэтому воздействие на В члена АС мало по сравнению с воздействием на С члена АВ – по крайней мере, для небольших волн А и В. На практике эти волны обычно небольшие: частица А – один квант волны в поле А, поэтому волна у А обладает малой амплитудой.

Из чего вытекает вторая, более странная, но более убедительная причина: мы видели, что если один квант А встречается с одним квантом В и превращается в один квант С, то волны А и В исчезают (аннигилируют). После создания С уже нет никакой волны А, поэтому АС равно нулю, то есть на поле В воздействия не происходит.

И последний подвох: хотя я не могу доказать это без дополнительных выкладок, даже если у А и В волны состоят из одного кванта, как на рис. 2, то процесс на рис. 2 был бы гораздо более сложным, если бы y было гораздо больше 1. Так что простота рассказанной мною истории требует небольших значений у. В природе у большинства нелинейных членов в физике частиц у обычно маленькие, поэтому то, что я рассказал, относится к большинству практически применимых ситуаций. Исключения очень интересные – они приводят к созданию таких сложных объектов, как протоны и другие адроны.

Автор: Вячеслав Голованов

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля