Как работает поле Хиггса: основная идея

2017-08-21 в 8:37, admin, рубрики: Matt Strassler, квантовая физика, поле хиггса, поля, теория поля, физика, хиггс, частица хиггса

Если вы читали мою серию статей про физику частиц и полей, вы знаете, что все т.н. «элементарные частицы» на самом деле – кванты (волны, чья амплитуда и энергия минимально допустимые квантовой механикой) релятивистских квантовых полей. Такие поля обычно удовлетворяют уравнениям движения класса 1 (или их обобщению) вида

$d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi nu_{min})^2 (Z - Z_0)$

Где Z(x,t) – поле, Z₀ — равновесное состояние, x – пространство, t – время, d²Z/dt² представляет изменение по времени изменения по времени Z (d²Z/dx² — то же для пространства), c – универсальное ограничение скорости (часто называемое «скоростью света»), а ν_min — минимально допустимая частота для волны в поле. Некоторые поля удовлетворяют уравнению класса 0, которое представляет собой просто уравнение класса 1, в котором величина ν_min нулевая. У кванта такого поля масса

$m=h nu_{min} / c^2$

Где h – постоянная Планка. Иначе говоря,

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 m^2 (Z - Z_0) $

Всё это верно лишь до определённого предела. Если бы все поля удовлетворяли уравнениям класса 0 или класса 1, во Вселенной ничего бы не происходило. Кванты бы просто летали друг мимо друга и ничего не делали. Ни рассеяния, ни столкновений, ни формирования таких интересных вещей, как протоны или атомы. Так что давайте введём распространённое, интересное и требуемое согласно экспериментам дополнение.

Представим себе два поля, S(x,t) и Z(x,t). Представьте, что уравнения движения для S(x,t) и Z(x,t) будут изменёнными вариантами уравнений класса 1 и 0 соответственно, то есть, частицы S будут массивными, а частицы Z – безмассовыми. Пока предположим, что равновесные значения S₀ и Z₀ нулевые.

$d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 m_S^2 S \ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=0$

Усложним уравнения образом, повсеместно присутствующим в реальном мире. Конкретно, в них присутствуют дополнительные члены, в которых S(x,t) перемножается с Z(x,t).

$d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 (m_S^2 S + y^2 S Z^2) \ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 S^2 Z$

Напомню, что S и Z служат сокращением для S(x,t) и Z(x,t), меняющихся в пространстве и времени. Всё остальное (c, h, y, m_S) – константы, не зависящие от пространства и времени. Параметр у – число, обычно между 0 и 1, называемое «параметром Юкавы» по историческим причинам.

Почти во всех случаях в физике частиц отклонения полей S(x,t) и Z(x,t) от их равновесных состояний S₀ и Z₀ чрезвычайно малы. Поскольку мы предполагаем, что S₀=0 и Z₀=0, это значит, что S и Z сами по себе малы: у любых волн в S и Z будут малые амплитуды (обычно они будут состоять из одного кванта) и хотя спонтанные квантовые возмущения происходят постоянно (их часто называют виртуальными частицами и описывают в статьях о частицах и полях как квантовую дрожь), эти возмущения также малы по амплитуде (хотя иногда очень важны). Если S – мало, Z – мало, тогда S Z реально мало. Поскольку у невелико, то члены y² S Z² и y² S² Z достаточно малы, чтобы во многих случаях их можно было игнорировать.

Конкретно их можно игнорировать при подсчёте массы «частиц» (то есть, квантов) S и Z. Чтобы понять, что собой представляет частица S, нам нужно рассмотреть волну S(x,t), считая при этом Z(x,t) очень малой. Чтобы понять, что собой представляет частица Z, нам нужно рассмотреть волну Z(x,t), считая при этом S(x,t) очень малой. Как только мы проигнорируем дополнительные члены y² S Z² и y² S² Z, оба поля S и Z будут удовлетворять простым уравнениям движения класса 0 или 1, с которых мы и начали, из которых мы выводим, что у частицы S масса равна m_S, а у частицы Z масса равна нулю.

Теперь представьте мир, в котором Z₀ равно нулю, а S₀ — нет. Мы немного меняем уравнения:

$d^2S/dt^2 - c^2 d^2S/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 (m_S^2 [S - S_0] + y^2 S Z^2) \ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 S^2 Z$

Опять-таки, S и Z – функции от пространства и времени, но всё остальное, включая S₀, константы. В таком случае Z(x,t) очень мало, но S(x,t) – нет! В таких случаях полезно бывает записать

$ S(x,t)=S_0 + s(x,t) $

Где s – вариация S от равновесного состояния S₀. Мы можем сказать, что s(x,t) – сдвинутая версия поля S(x,t). Утверждение о том, что поля в физике частиц большую часть времени остаются вблизи своих равновесных состояний эквивалентно тому, что s(x,t) очень мало, а не тому, что S(x,t) очень мало. Подставляя последнее уравнение в набор двух уравнений для S и Z, и помня, что S₀ — константа, поэтому d S₀/dt = 0 и dS₀/dx = 0, мы получим:

$ d^2s/dt^2 - c^2 d^2s/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 (m_S^2 s + y^2 [S_0 + s] Z^2) $

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 [S_0 + s]^2 Z=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 (S_0^2 + 2 s S_0 + s^2) Z $

Как и раньше, если нам нужно узнать массы квантов полей S и Z, мы можем отбросить любой член уравнений, в котором содержится перемножение двух или более малых полей – члены вроде Z² или s Z² или sZ или s²Z. Давайте посмотрим, что останется, если мы оставим только члены, в которые входит только одно поле:

$ d^2s/dt^2 - c^2 d^2s/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 m_S^2 s + … $

$ d^2Z/dt^2 - c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 S_0^2 Z + … $

(“+ …” напоминает нам о том, что мы кое-что исключили). Уравнение для поля s не сильно изменилось, поскольку все новые члены, y²[S₀+s]Z² содержат по меньшей мере две степени Z. Но в уравнении для поля Z мы не можем игнорировать член y²[S₀+s]²Z, поскольку в нём содержится член вида y²S₀²Z, содержащий только одно поле. Следовательно, хотя квант поля S всё ещё удовлетворяет уравнению класса 1 и обладает массой m_S, квант поля Z уже не удовлетворяет уравнению класса 0! Он теперь удовлетворяет уравнению класса 1:

$ d^2Z/dt^2 – c^2 d^2Z/dx^2=- (2 pi c^2/h)^2 y^2 S_0^2 Z $

Следовательно квант поля Z теперь обладает массой!

$ m_Z=y S_0 $

Из-за простых взаимодействий полей S и Z с силой y, ненулевое значение равновесия S₀ для поля S придаёт кванту Z массу, пропорциональную y и S₀.

Ненулевое значение поля S придало массу частице поля Z!

Мелкий шрифт: даже если по какой-то причине масса m_Z частицы Z изначально была ненулевой, тогда масса частицы Z сдвинется.

$m_{Z_{new}}=[m_Z^2 + y^2 S_0^2]^{1/2}$

(напомню, что x^1/2 означает то же самое, что √x).

Вот так, по сути, поле Хиггса H(x, t) и придаёт массу частицам. Оказывается, что для всех известных частиц σ (кроме самой частицы Хиггса) уравнение движения для соответствующего ей поля Σ(x, t) – это уравнение класса 0, что, на первый взгляд, говорит о том, что частица σ безмассовая. Однако в уравнениях движения у многих таких полей существуют дополнительные члены, включая и член вида

Well, this is basically how the Higgs field H(x,t) gives mass to particles. It turns out that for each known particle σ [except the Higgs itself], the equation of motion for its corresponding field Σ(x,t) is a Class 0 equation, which naively would imply the σ particle is massless. But for many of these fields there are extra terms in the equation of motion, including a term of the form

$ y_sigma^2 [H(x,t)]^2 Sigma(x,t) $

Где y_σ — параметр Юкавы, свой для каждого поля, обозначающий силу взаимодействия между полями H и Σ. В таких случаях ненулевое среднее значение поля Хиггса H(x,t) = H₀ сдвигает минимальную частоту волн Σ, а, следовательно, и массу частиц σ, от нуля до ненулевого значения: $ m_sigma=y_sigma H_0 $ . Разнообразие параметров Юкавы для различных полей природы приводит к разнообразию масс среди «частиц» (точнее, квантов) природы.

Обратите внимание, что частица Хиггса не имеет к этому никакого отношения. Частица Хиггса – квант поля Хиггса – рябь минимальной энергии в H(x,t), небольшая волна, зависящая от пространства и времени. Массу другим известным частицам природы придаёт ненулевая константа равновесия поля Хиггса, H(x,t) = H₀, простирающегося по всей Вселенной. Эта вневременная и вездесущая константа очень отличается от частиц Хиггса, представляющих собой рябь, меняющуюся в пространстве и времени, локализованную и эфемерную.

Такова основная идея. В этой статье я не раскрыл множество очевидных вопросов – почему в уравнениях обязательно будут члены, включающие произведения двух или более полей (о важности этих членов можно почитать тут)? Почему известные частицы были бы безмассовыми, если бы не было поля Хиггса? Почему у поля Хиггса равновесное значение ненулевое, хотя это не так для большинства остальных полей? Как ко всему этому относится частица Хиггса? В следующих статьях я постараюсь раскрыть эти и другие темы.

Автор: Вячеслав Голованов

Источник