Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье

Доброго времени суток, харбачитатель.

В этой статье мне хотелось бы рассказать об одном придуманном когда-то алгоритме (или скорее всего — переизобретённом велосипеде) построенного плавного графика по заданным точкам, используя кривые Безье. Статья была написана под влиянием вот этой статьи ^[1] и очень полезного комментария ^[2] товарища lany ^[3], за что им отдельное спасибо.

Постановка задачи
Есть массив Y-ков точек, расположенных равномерно по оси X. Нужно получить плавный график, который проходит через все заданные точки. Пример на рисунке ниже:

Всех, кому интересно, прошу под кат.

Существует ряд стандартных решений для проведения плавной кривой через точки (по этому поводу много интересного написано в уже упомянутой статье ^[1]) таких, как например, интерполяции сплайнами. Когда на третьем курсе был придуман этот алгоритм, слово «интерполяция» вселяло в меня ужас, а гугление по запросу «сглаживание графиков» не давало посильных пониманию результатов. Но как-то я дошел до кривых Безье и уж очень они мне понравились. Рисует быстро, алгоритм интуитивно понятный… Что еще надо для счастья. Ну и как-то понеслось.

Основная идея

Разобью идею на три подпункта, чтобы было понятней и читабельней.

1. О кривых Безье хорошо написано на вики ^[4] и на javascript.ru ^[5]. Если внимательно читать, то можно обратить внимание, что кривая Безье выходит из первой точки касательно к прямой начальная_точка-первая_опорная_точка. Аналогично и в конце — кривая заходит касательно прямой последняя_опорная_точка-конечная_точка. Таким образом получается, что если у нас одна кривая заканчивается в точке А и зашла касательно к прямой а, а другая кривая выходит из этой точки А касательно к той-же прямой а, то этот переход между двумя кривыми Безье у нас получится плавным.
2. Исходя из первого пункта получается, что у нас опорные точки слева и справа относительно точки А должны лежать на одной прямой. Поразмыслив немного, было решено, что эта прямая должна быть такой, чтобы ∠BAB₁=∠CAC₁ (рисунок ниже), где точки B₁ и C₁ — опорные.
   

3. Расстояние от точки А до точек B₁ и C₁ было решено взять равным половине шага по X между точками B и A, A и C, и т.д. Мне сложно как-то обосновать такой выбор, но важно, чтобы это расстояние было меньше, чем шаг по X между точками А и B, иначе может получится что-то такое, как на рисунке ниже. Важно понимать, что чем больше будет это расстояние, тем более извилистой будет кривая и наоборот. Расстояние в половину шага по X мне кажется оптимальным, но тут уже возможны варианты.
   

Таким образом получается, что задача сводится к поиску прямой (B₁C₁) и, собственно, опорных точек B₁ и C₁, по которым мы потом будем строить кривые Безье.

Поиск прямой

Как известно, прямая на плоскости выражается формулой y=kx+b, где k — тангенс угла наклона прямой к оси Х. Когда мы найдем k, то зная, что прямая проходит через точку А, и зная ее координаты, мы легко можем найти b: b=Y_A-kX_A. Таким образом все сводится к поиску коэффициента k.

Поиск коэффициента k

Скажу наперед, что k = tg(φ) = tg((α-β)/2) = (Sqrt((ΔX²+(Y_A-Y_B)²)*(ΔX²+(Y_A-Y_C)²))-ΔX²-(Y_A-Y_B)*(Y_A-Y_C)) / (ΔX*((Y_A-Y_B)-(Y_A-Y_C))), где ΔX — расстояние по Х между точками (напомню, что у нас точки расположены равномерно по Х). Ниже представлено математическое доказательство правильности формулы, но если вы не в настроении, то можете его просто пропустить.

И так, k мы нашли; b мы тоже знаем (смотри выше), а значит прямая, на которой лежат опорные точки, нам известна.

Ищем опорные точки

Сразу скажу, что: ΔX'=Sqrt(ΔX²/(4+4*k)), координаты опорной точки справа: X_C1=X_A+ΔX'; Y_C1=k*X_C1+b, и слева:X_B1=X_A-ΔX'; Y_B1=k*X_B1+b.

Немного математики, которая это доказывает

Из тригонометрии мы помним, что:

Из △AC₁O:
ΔX'=[AC₁]*cos(φ).

Если мы принимаем [AC₁] равным половине шага по X между основным точками графика (точками B и A, A и C, т.д.), то:

И вот, собственно:
X_C1=X_A+ΔX'
X_B1=X_A-ΔX'
Y_C1=k*X_C1+b
Y_B1=k*X_B1+b

К приятному!

1. От товарища lany ^[3] (огромное ему за это спасибо и плюс ему к карме) я узнал, что html5 с помощью функций quadraticCurveTo() ^[7] и bezierCurveTo() ^[8] умеет рисовать по canvas-у кривые Безье сам. Соответственно, алгоритм можна применить с JavaScript-ом.
2. Приятной особенностью алгоритма есть то, что график предсказуемо «выпирает» за границы пространства точек, через которые мы собственно проводим график. Если брать расстояние до опорных точек равными половине шага по X (отрезок [AC₁] на последнем рисунке), то зазора в четверть шага по X сверху и снизу от границ canvas-а будет достаточно.

Пример реализации на JSFiddle ^[9]

Автор: Nabytovych

Источник ^[10]