Опыты трансцендентальной математики или математический фольклор

в 11:00, , рубрики: Блог компании Издательский дом «Питер», книги, Научно-популярное, Читальный зал

image 16 марта в 19:00 в магазине «Буквоед» (Спб, Лиговский пр., д. 10) в рамках проекта «Наука не мука» ко Всемирному дню числа «Пи» состоится интерактивная лекция на тему: «Опыты трансцендентальной математики или математический фольклор».

Не бойтесь, если вы уже успели позабыть, что такое логарифм и как посчитать интеграл, это вам не потребуется. Необходимые знания для лекции — здравый смысл и элементарная логика.

Часто можно услышать, что математика невообразимо скучна и слишком абстрактна. Мы постараемся доказать обратное на многочисленных примерах математического фольклора, а отправной точкой нашей встречи станет книга Эдуарда Френкеля «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности». Книга знаменитого ученого делает попытку развеять миф о том, что математика скучная наука. Из лекции вы узнаете, почему все лошади одного цвета, почему луна сделана из сыра и как поймать муху на обратной стороне Луны.

Вашим проводником в сложных математических лабиринтах станет Виталий Филипповский — математик, аспирант ИТМО, ведущий математик-программист Emoji Apps.

Ниже предлагаем ознакомиться отрывком «Изысканный танец»из книги Френкеля.

Осенью 1990 года я стал аспирантом в Гарварде. Это было необходимо для того, чтобы сменить должность приглашенного профессора на нечто более постоянное. Иосиф Бернштейн согласился стать моим официальным научным руководителем. К тому времени я наработал достаточно материала для кандидатской диссертации, и Артур Джаффе уговорил декана факультета в качестве исключения позволить мне сократить срок обучения в аспирантуре (которое обычно занимает 4 или 5 лет, и в любом случае не менее 2 лет, согласно правилам) до одного года, для того чтобы я мог защититься уже через год. Благодаря этому мое «понижение в должности» с профессора до аспиранта продлилось совсем немного.

Моя кандидатская диссертация была посвящена новому проекту, который я только что завершил. Все началось с обсуждения с Дринфельдом программы Ленглендса весной того года. Вот пример одной из наших бесед, оформленный в виде сценария.

ДЕЙСТВИЕ 1
СЦЕНА 1
КАБИНЕТ ДРИНФЕЛЬДА В ГАРВАРДЕ

Дринфельд меряет шагами комнату вдоль стены, на которой висит классная доска.
Эдуард, сидя в кресле, делает заметки (на столе рядом с ним стоит чашка чая).

Дринфельд
Итак, гипотеза Симуры — Таниямы — Вейля открывает связь между кубическими уравнениями и модулярными формами, однако Ленглендс пошел еще дальше. Он предсказал существование более общего соответствия, в котором роль модулярных форм играют автоморфные представления группы Ли.

Эдуард
Что такое автоморфное представление?

Дринфельд (после долгой паузы)
Точное определение нам сейчас неважно. В любом случае, ты можешь найти его в учебнике. Важно для нас то, что это представление группы Ли G, например группы SO(3) вращений сферы.

Эдуард
Хорошо. А с чем эти автоморфные представления связаны?

Дринфельд
Вот это самое интересное. Ленглендс предсказал, что они должны
быть связаны с представлениями группы Галуа в другой группе Ли.1

Эдуард
Понятно. Вы имеете в виду, что эта группа Ли — это не та же самая группа G?

Дринфельд
Нет! Это другая группа Ли, которая называется двойственной группой Ленглендса для G. Дринфельд пишет на доске символ LG.

Эдуард
Буква L в честь Ленглендса?

Дринфельд (с легкой улыбкой)
Первоначально Ленглендсом двигало стремление понять объекты, называемые L-функциями, потому он и назвал эту группу L-группой…

Эдуард
То есть для каждой группы Ли G существует другая группа Ли, которая называется LG, правильно?

Дринфельд
Да. И она присутствует в соответствии Ленглендса, которое схематически выглядит так. Дринфельд рисует на доске схему

image

Эдуард
Я не понимаю… по крайней мере пока что. Но позвольте задать вопрос попроще: как будет выглядеть, например, двойственная группа Ленглендса для SO(3)?

Дринфельд
Это довольно просто — двойное накрытие SO(3). Ты видел фокус с чашкой?

Эдуард
Фокус с чашкой? Ах, да, припоминаю…

СЦЕНА 2
ДОМАШНЯЯ ВЕЧЕРИНКА АСПИРАНТОВ ГАРВАРДА

Десяток или около того студентов, всем немного за двадцать, разговаривают, пьют пиво и вино. Эдуард беседует с аспиранткой.

Аспирантка
Вот как это делается.
Аспирантка берет пластиковый стаканчик с вином и ставит его на открытую ладонь правой руки. Затем она начинает вращать ладонью, поворачивая руку как на последовательности фотографий
(ниже). Она совершает один полный оборот (360 градусов), и ее рука выворачивается локтем вверх. Все так же удерживая стаканчик вертикально, она продолжает вращение, и после
еще одного полного оборота — сюрприз! — ее рука и чашка возвращаются в исходное нормальное положение.

Другой аспирант
Я слышал, что на Филиппинах есть традиционный танец с вином, в котором они проделывают этот трюк обеими руками. Он берет два стакана пива и пытается повернуть обе ладони
одновременно. Но уследить за руками не получается, и он тут же проливает пиво из обоих. Все смеются.

СЦЕНА 3
СНОВА КАБИНЕТ ДРИНФЕЛЬДА

Дринфельд
Этот фокус иллюстрирует тот факт, что на группе SO(3) существует нетривиальный замкнутый путь, двойное прохождение которого, однако, дает нам тривиальный путь.

Эдуард
О, понимаю. Первое полное вращение чашки поворачивает руку под необычным углом — это и есть аналог нетривиального пути наSO(3). Он берет со стола чашку чая и проделывает первую часть фокуса.

Эдуард
Казалось бы, второй поворот должен заставить вас еще больше вывернуть руку, но вместо этого рука возвращается в обычное положение. Эдуард завершает движение.

Дринфельд
Точно.

Эдуард
Но что общего между этим и двойственной группой Ленглендса?

Дринфельд
Двойственная группа Ленглендса для SO(3) — это двойное накрытие SO(3), так что…

image

Эдуард
Так что каждому элементу группы SO(3) соответствуют два элемента из двойственной группы Ленглендса.

Дринфельд
Вот почему в этой новой группе уже нет нетривиальных замкнутых путей.

Эдуард
То есть переход к двойственной группе Ленглендса — это способ избавиться от того вывиха?

Дринфельд
Правильно. На первый взгляд кажется, что различие минимально, но в действительности последствия более чем значительны. Это например, объясняет разницу в поведении строительных кирпичиков материи, таких как электроны и кварки, и частиц, переносящих
взаимодействия между ними, таких как фотоны. Для групп Ли более общего вида различие между самой группой и ее двойственной группой Ленглендса еще сильнее. По сути дела, во многих случаях между двумя двойственными группами даже не существует видимой связи.

Эдуард
Почему двойственная группа вообще появилась в соответствии Ленглендса? Волшебство какое-то…

Дринфельд
Это неизвестно.

Двойственность Ленглендса устанавливает парное взаимоотношение между группами Ли: для каждой группы Ли G существует двойственная группа Ли Ленглендса LG, а двойственной
к LG является сама G.9 То, что программа Ленглендса связывает объекты двух разных типов (один из теории чисел, а второй из гармонического анализа), удивительно само по себе, но то, что две двойственные группы, G и LG, присутствуют в разных частях этого соответствия — это просто уму непостижимо!

Мы говорили о том, что программа Ленглендса соединяет разные континенты в мире математики. Продолжим аналогию: пусть это будут Европа и Северная Америка и пусть существует способ
сопоставить каждому человеку в Европе человека из Северной Америки, и наоборот. Более того, предположим, что это соответствие подразумевает идеальное совпадение различных атрибутов, таких как вес, рост и возраст, за единственным исключением: каждому мужчине сопоставляется женщина, и наоборот. Эта ситуация — аналог замены группы Ли на ее двойственную группу,
согласно соответствию, предсказанному программой Ленглендса.

Действительно, эта замена — один из самых загадочных аспектов программы Ленглендса. Нам известно несколько механизмов, описывающих, как появляются двойственные группы, но мы до
сих пор не понимаем, почему это происходит. Такое неведение стало одной из причин, почему ученые пытаются распространить идеи программы Ленглендса на другие области математики (посредством розеттского камня Вейля) и даже на квантовую физику, как мы узнаем в следующей главе. Мы стараемся найти больше примеров феномена двойственных групп Ленглендса в надежде, что это даст нам дополнительные подсказки относительно того, почему они возникают и что это значит.

Давайте пока что сфокусируем наше внимание на правом столбце розеттского камня Вейля, который посвящен римановым поверхностям. Как мы установили в предыдущей главе, в версии соответствия Ленглендса, актуального для данного столбца, действующими лицами являются «автоморфные пучки». Они играют роль автоморфных функций (или автоморфных представлений), связанных с группой Ли G. Оказывается, эти автоморфные пучки «живут» в определенном пространстве, присоединенном к римановой поверхности X и группе G, которое носит название пространства модулей G-расслоений на X. Нам в данный момент не важно, что это такое.10 В противоположной части соответсвия, как мы видели в главе 9, роль групп Галуа играет фундаментальная группа данной римановой поверхности. Из схемы, приведенной выше, следует, что геометрическое соответствие Ленглендса должно схематически выглядеть следующим образом:

image

Это означает, что у нас должна быть возможность сопоставить автоморфный пучок каждому представлению фундаментальной группы в LG. И у Дринфельда была радикально новая идея относительно того, как это можно сделать.

ДЕЙСТВИЕ 2
СЦЕНА 1
КАБИНЕТ ДРИНФЕЛЬДА В ГАРВАРДЕ

Дринфельд
Итак, нам нужно найти методику построения этих автоморфных пучков. И мне кажется, что представления алгебр Каца — Муди могли бы нам помочь.

Эдуард
Почему?

Дринфельд
Сейчас мы в мире римановых поверхностей. У такой поверхности может присутствовать граница, состоящая из петель.

Дринфельд рисует на доске картинку.

image

Дринфельд
Посредством петель римановы поверхности можно связать с группами петель и, следовательно, с алгебрами Каца — Муди. И эта связь дает нам возможность преобразовывать представления
алгебры Каца — Муди в пучки на пространстве модулей G-расслоений на нашей римановой поверхности. Давай пока что не будем углубляться в детали. Как я ожидаю, схематически это
должно выглядеть так.

Дринфельд рисует на доске схему.

image

Дринфельд
Вторая стрелка мне понятна. Главный вопрос заключается в том, как сконструировать первую стрелку. Фейгин рассказал мне о вашей работе, посвященной представлениям алгебр Каца — Муди. Думаю, ее как раз нужно применить здесь.

Эдуард
Но тогда представлениям алгебры Каца — Муди для G должно быть каким-то образом «известно» о двойственной группе Ленглендса LG.

Дринфельд
Именно так.

Эдуард
Но как это возможно?

Дринфельд
А это вопрос, на который ты должен дать ответ.

ЗАНАВЕС

Автор: Издательский дом «Питер»

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля