Краткое объяснения математической значимости гипотезы Ходжа

в 11:29, , рубрики: гипотеза Тейта, гипотеза Ходжа, задача тысячелетия, математика, метки: , ,

В данной статье приводится краткое авторское объяснение одной из самых значимых нерешенных проблем в алгебраической геометрии, в частности комплексной алгебраической геометрии, и алгебраической топологии, и по совместительству одной из задач тысячелетия, — гипотезе Ходжа.

Данная гипотеза утверждает, что каждый класс Ходжа регулярного проективного многообразия над mathbb{C} является рациональной линейной комбинацией классов когомологий алгебраических циклов.

Пусть mathbb{F} одно из следующих полей: поле комплексных чисел, конечное поле, числовое поле; два последних поля мы беспрепятственно можем объединить в более широкий класс, рассматривая конечно порожденное поле над своим простым подполем.
В каждом из случаев мы так или иначе рассматриваем категорию гладких проективных многообразий над mathbb{F} с соответствующими морфизмами, и также в каждом из случаем мы имеем естественную абелеву категорию (на самом деле, рассматриваются моноидальные категории, наделенные некоторой дополнительной структурой относительно mathbb{F}): для комплексного случая — категория чистой структуры Ходжа, в остальных случаях — категории ell-адических представлений абсолютной группы Галуа G_{mathbb{F}}.

Рассматриваемая когомология дает нам функтор из категорий гладких проективных многообразий в последние вышеназванные категории. В комплексном случае это возможно ввиду теории Ходжа, в конечном и числовом случае — ввиду теории этальных когомологий (theory of etale cohomology). Гипотеза Ходжа (в комплексном случае) и гипотеза Тейта (в других случаях), дают нам полное право утверждать, что этот функтор является вполне унивалентным.
Вследствие верности данной гипотезы, мы можем строить соответствия между многообразиями, просто сделав необходимые расчеты в некоторых более линейных категориях.

Далее я хотел бы продемонстрировать непосредственное применение гипотезы Ходжа в разных областях математики. Например, в алгебраической теории чисел:

Пусть p и q — два простых числа. Пусть задан максимальный порядок mathcal O_mathbb{H} в алгебре кватернионов mathbb{H} над mathbb{Q}, разветвленной в p и q и расщепленной всюду (в том числе и на бесконечности). Пусть также mathcal O^1_mathbb{H} обозначает мультипликативную группу нормы одного элемента в mathbb{H}.

Ввиду того, что

Краткое объяснения математической значимости гипотезы Ходжа - 16

mathbb{H} otimes_{mathbb Q} mathbb R cong M_2(mathbb R),

мы можем рассматривать mathcal O^1_mathbb{H} как дискретную подгруппу mathtt{SL}_2(mathbb R) и построить факторгруппу

Краткое объяснения математической значимости гипотезы Ходжа - 20

mathcal{X} :=mathcal O_mathbb{H}^1 setminus S,

где S — верхняя полуплоскость.

Мы также можем рассмотреть обычную конгруэнтную подгруппу Gamma_0(pq), состоящую из верхнетреугольных матриц mathtt{SL}_2(mathbb Z), и построить mathcal{X}_0(pq) — компактификацию Gamma_0(pq)setminus S.

Теория модулярных и автоморфных форм и связанные с ними представления Галуа показывает, что mathcal{X} и mathcal{X}_0 по своей природе являются кривыми над mathbb{Q}, и что имеется вложение представлений Галуа

Краткое объяснения математической значимости гипотезы Ходжа - 30

H^1(mathcal{X}) to H^1(mathcal{X}_0(pq)).

Таким образом, при верности гипотезы Тейта, справедливо было бы утверждать, что существует соответствие между mathcal{X} и mathcal{X}_0(pq), включая соответствующие вложения. Переходя к структуре Ходжа, нам бы не составило труда выяснить, что 1-периодическая голоморфная форма на mathcal{X} должна быть также в числе 1-периодических голоморфных форм на mathcal{X}_0(pq).

В свою очередь, теория L-функций показывает, что 1-периодические голоморфные формы на mathcal{X}_0(pq) в некоторых случаях позволяют вычислить особые значения L-функций, связанных с модулярными формами на Gamma_0(pq). Теперь, учитывая все вместе (с гипотезой Тейта), мы могли бы вычислить особые значения L-функций в некоторых модулярных формах, найдя периоды интегралов вдоль кривой mathcal{X}. В определенном отношении mathcal{X} ведет себя лучше, чем mathcal{X}_0(pq), и потому это очень важный метод в исследовании арифметики L-функций.

Теперь ясно видно, что в данном случае гипотеза Тейта на самом деле является теоремой Фалтинга, и пример выше является корректным и полным.
Однако существует бесконечно много других аналогичных ситуаций в теории многообразий Шимуры, где гипотеза Тейта еще неизвестна.

Можно привести еще один небольшой пример непосредственно из комплексной геометрии:

Пусть mathcal{X} является поверхностью типа mathtt{K}3. Тогда, исходя из структуры Ходжа в пространстве H^2(mathcal{X},mathbb C), можно построить абелево многообразие, связанное с mathcal{X} (многообразие Куга-Сатаке). Ясно, что конструкция выполнена в условиях структуры Ходжа. Можно сказать, пожалуй, что тут должна иметь место определенная связь, я бы даже сказал, соответствие, между поверхностью mathcal{X} и связанным с ней абелевым многообразием, однако едва ли об этом можно говорить в целом. Как раз верность гипотезы Ходжа и будет обосновывать существование предполагаемой связи в виде соответствия.

Как видно, это достаточно трудная для доказательства проблема, однако математики не дремлют: существует множество частных случаев с вышеразобранными линиями; даже позволю себе сказать большее: на данный момент есть приличное количество изобретательных методов, позволяющих обходить стороной, игнорировать гипотезы Ходжа и Тейта. Но тем не менее последние имеют твердую почву под ногами в качестве фундаментальных руководящих принципов, объясняющих нам, почему все именно так, и никак иначе.

Общий вывод: алгебраические циклы – это весьма широкие по применению и богатые по информации объекты, которые способны «оседлать» два мира сразу: мир периодов интегралов и мир представлений Галуа. Таким образом, если гипотезы Ходжа и Тейта верны, то мы можем не сомневаться, что существуют непосредственные и глубокие связи между этими двумя мирами: мы можем передать информацию от одного к другому посредством алгебраических циклов.

Автор: Wiechlinghamme

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля