Метод Санделиуса для получения случайных перестановок

в 18:51, , рубрики: Алгоритмы, математика, метод Санделиуса, случайные перестановки, метки: ,

Статьи о получении (псевдо)случайных чисел, о проверке качества полученных последовательностей неизменно вызывают интерес у населения Хабра.

Однако в приложениях наряду с последовательностями случайных и псевдослучайных чисел требуется получать перестановки чисел, имеющие равномерное распределение. Например, потребность в таких перестановках периодически появляется в криптографических приложениях.

Метод описанный ниже предложен Санделиусом (М. Sandelius) еще в 1962 г. в работе [1].

Описываемый алгоритм позволяет получать случайные перестановки из n элементов, которые имеют равномерное распределение. Последнее означает, что вероятность получить одну из n! возможных подстановок, используя данный метод равна 1/n!..

Алгоритм получения перестановок

Метод Санделиуса проще описать рекурсивно.

На каждом шаге обрабатывается массив P. Для массива P генерируются случайные биты в количестве равном числу элементов в массиве P. i-тый бит последовательности сопоставляется i-тому элементу массива P. Массив P делится на два массива P0 и P1 по принципу: все элементы, которым сопоставлены нули заносятся в массив P0, остальные в массив P1. Для каждого массива P0 и P1 выполняется перемешивание (рекурсия). Перемешанные массивы объединяются в один. Сначала идут элементы из массива P0, затем из массива P1.

Процедура перемешивания Sandelius(P):

1. n := |P|; - мощность (число элементов) P
2. Если n=1, то вернуть P;
3. g:=[gi, i=1..n]; – получение последовательности случайных бит gi
4. P0:=[]; P1:=[]; - пустые массивы
5. i0:=0; i1:=0; - индексы для записи в массивы
6. k:= 0;
7. Если g[k]=0, то
       7.1. P0[i0] := P[k];
       7.2. i0 := i0+1;
8. Если g[k]=1, то
       8.1. P1[i1] := P[k];
       8.2. i1 := i1+1;
9. k := k+1;
10. Если k<n, то переходим к шагу 7.
11. P0 := Sandelius(P0); 
12. P1 := Sandelius(P1);
13. P := P0||P1 – объединяем массивы в один большой массив.
14. Возвращаем P.

Перестановка по методу Санделиуса получается из последовательности чисел от 1 до n:
P=[1,2, …,n];
Sandelius(P);

Алгоритм, довольно легко программируется.

Вот так, например, можно запрограммировать в Maple
Sandelius:=proc(p)
  local A,m,i,p1,p2;
  m:=nops(p);
  A:=[seq(getNextRndBit(), i=1..m)];
  p1:=[]; p2:=[];
  for i from 1 to m do
    if A[i]=0 then p1:=[op(p1),p[i]];
    else p2:=[op(p2),p[i]];
    fi;
  od;
  if nops(p1)>1 then p1:=Sandelius(p1); fi;
  if nops(p2)>1 then p2:=Sandelius(p2); fi;
  return [op(p1),op(p2)];    
end proc:

Вот пример, моей реализации алгоритма на C++, который я использовал в одном своем исследовании
unsigned __int8 *bits,*tmp_perm;
Sandelius(unsigned __int8 *perm,int n)
{
  tmp_perm = (unsigned __int8 *)malloc(n);
  bits = (unsigned __int8 *)malloc(n);
  for(int i=0;i<n;i++) perm[i]=i;
  recursiveSandelius(perm,n);
  free(bits);
  free(tmp_perm);
}

recursiveSandelius(unsigned __int8 *perm,int n)
{
  if (n<=1) return;
  for(int i=0;i<n;i++)
    bits[i]=getNextRndBit();
  k=0;
  for(int i=0;i<n;i++)
    if(!bits[i])
      tmp_perm[k++]=perm[i];
  zeros=k;
  for(int i=0;i<n;i++)
    if(bits[i])
      tmp_perm[k++]=perm[i];
  memcpy(perm,tmp_perm,n);
  recursiveSandelius (perm,zeros);
  recursiveSandelius (&perm[zeros],n-zeros);
}

Особенности

Надеюсь, алгоритм генерации перестановки описан мною достаточно понятно. Теперь хочется немного обсудить, особенности его работы.

Для работы алгоритм требует последовательность случайных бит. Главное требование к этой последовательности – биты должны быть независимыми. В этом случае алгоритм генерирует равномерно распределенные перестановки даже.

Следует учитывать, что случайные биты могут иметь неравномерное распределение, но они должны быть независимыми, иначе распределение подстановок не будет равномерным.

К недостаткам можно отнести тот факт, что число случайных бит, которые потребуются для генерации перестановки не определено заранее.

Практическая проверка

Сразу скажу, что факты указанные в предыдущем пункте доказываются аналитически, но все равно захотелось проверить их на практике.

Для проверки равномерности распределения получаемых подстановок написана простая программа в математическом пакете Maple. В программе я генерировал большое число перестановок, подсчитывал количество подстановок каждого вида (что-то вроде гистограммы). Для полученного массива проверялась гипотеза о равномерности по критерию Пирсона. Кроме того, подсчитывалось распределение количества бит, требуемых для генерации одной подстановки.

Приводить исходный текст программы здесь не вижу смысла, но если есть желание посчитать самим, то файлы с исходными кодами можно найти тут.

Исследовались перестановки длины n=7. Генерировалось N=n!*1000 перестановок. Случайные биты генерировались так: 0 с вероятностью 0,5+d, 1 с вероятностью 0,5-d. d равно 0 для равномерно распределенных бит. Для получения зависимого бита генерировался случайный бит и складывался с предыдущим битом.

Число n=7 взято из соображений разумного времени выполнения (у меня это 10-20 минут).

Результаты моделирования:
Вариант Равновероятные подстановки (критерий Пирсона)? Гистограмма Среднее число случайных бит/среднеквадратичное отклонение
Независимые биты, d=0 Да Независимые, d=0 28.24/28.26
Независимые биты, d=0.05 Да Независимые, d=0.05 28.50/28,54
Независимые биты, d=0.4 Да Независимые, d=0.4 71.47/74.77
Зависимые биты, d=0.05 Нет Зависимые, d=0.05 30.15/30.32

На рисунках по горизонтали отмечены номера перестановок, а по вертикали частоты их появления. Не вооруженным глазом видно, что в последнем случае распределение сильно отличается от равномерного.

Так же видно, что не зависимо от перекоса в вероятности независимых случайных бит алгоритм генерирует равномерно распределенные перестановки. Однако чем больше перекос в вероятности, тем больше случайных бит требует алгоритм.

Если же биты имеют зависимость, то генерируемые подстановки имеют распределение отличное от равномерного распределения.

Количество подстановок, каждого типа должно иметь распределение близкое к нормальному со средним N/n! и дисперсией N/n!(1-1/n!).

В первых трех случаях гистограмма выглядит примерно так:

Гистограмма (2 случай)

В последнем случае видно, распределение далеко от ожидаемого:

Гистограмма (4 случай)

Литература

1. М. Sandelius. A Simple Randomisation Procedure, J. of the Royal Statistical Society. Ser. В., V. 24, № 2, 1962.

Автор: vasiatka

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля