Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности

в 14:50, , рубрики: Finite Volume, Алгоритмы, математика, численные методы, метки:

В статье описывается реализация известного метода конечных объемов для численного решения уравнений в частных производных.Используется разбиение области на любые стандартные элементы(конечные объемы) — треугольники, четырехугольники и т.д.Метод визуализации результатов расчетов также самописный.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 1

Метод Finite Volume (FVM)

В основе метода лежит разбиение области на непересекающиеся контрольные объемы(элементы), узловые точки, в которых ищется решение.Узловые точки находятся в центрах контрольных объемов.Также, как и для метода конечных разностей, для каждого элемента составляется уравнение, получается система линейных уравнений.Решая ее — находим значения
искомых переменных в узловых точках.Для отдельного элемента уравнение получается путем интегрирования исходного дифф уравнения по элементу и аппроксимации интегралов.

Термин конечный объем в статье будет часто заменятся на Элемент, будем для удобства считать их эквивалентами (элемент в данной статье не имеет ничего общего с методом конечных элементов).

Есть 2 различных способа решения задачи по FVM:
1) грани контрольного объема совпадают с гранями элемента
2) грани контрольного объема проходят через центры граней элементов(на которые разбита область).Искомые переменные хранятся в вершинах этих элементов.Вокруг каждой вершины строится контрольный объем. Для непрямоугольной сетки этот способ имеет еще 2 подвида.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 2

Мы будем использовать способ 1) с контрольными объемами совпадающими с элементами на которые разбита область.

Некоторые плюсы FVM:

  • сохранение основных величин по всей области, таких как энергия системы, масса, тепловые потоки и тд.Причом это условие выполняется даже для грубой расчетной сетки
  • высокая скорость расчета.Многие расчетные величины можно вычислить при разбиении области на элементы, и вычислять их на каждом шаге по времени нет необходимости.
  • легкость использования для задач со сложной геометрией и криволинейными границами.Легкость использования разных геометрических типов элементов — треугольники, полигоны.

Метод FVM реализуем на примере уравнения теплопроводности:

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 3

Итак основные шаги при реализации FVM:

  1. Перевод дифф уравнения в форму пригодную для FVM — интегрирование по контрольному объему
  2. Составление дискретного аналога, выбор способа перевода производных и других подынтегральных выражений в дискретную форму
  3. Получение уравнения для каждого из контрольных объемов, на которые разбита область.Составление системы линейных уравнений и ее решение.

Дискретизация по времени.

Для производной по времени используем стандартный простейший метод Эйлера.Это будет явная схема по времени, где берутся искомые с предыдущего шага.А на первом шаге задаются как начальные условия.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 4

Немного теории или первый шаг в реализации FVM

Используя теорему о дивергенции интеграл по объему преобразуется в интеграл по площади.Смысл в том что интегрирование по всему внутреннему объему нашего элемента мы заменяем на интегрирование только по поверхности этого объема.Эта формулировка больше подходит для 3D случая.Для 2D у нас будет вместо объема V — площадь элемента, а вместо S — периметр элемента.Тоесть получается что интеграл по площади заменяется интегралом по периметру.Фактически у нас понижается степень производной.Если например была вторая производная то остается только первая, если была первая — то вместо производной будет искомая переменная.Надо только не забывать что имеем дело не с обычной производной а с дивергенцией.
Итак второй терм в нашем уравнении после интегрирования преобразуется так:

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 5

FVM на стандартной прямоугольной сетке

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 6

На рисунке изображен Элемент С и его соседние элементы справа(E), слева(W), сверху(N) и снизу(S).У элемента С есть 4 грани обозначенные буквами e w n s.Именно эти 4 грани и составляют периметр элемента и по ним производится интегрирование.Для каждого элемента в результате получаем дискретный аналог исходного дифф уравнения.

Составим дискретный аналог для элемента С.Для начала нужно разобраться с интегралом (3).Интеграл это ведь по факту сумма.Поэтому мы и заменяем интеграл по всей поверхности элемента, на сумму по 4-м составляющим этой поверхности, тоесть 4 граням элемента.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 7

Индексы e w n s здесь обозначают что выражение или переменная вычисляется в центре соответствующей грани.
Теперь соберем вместе полученные упрощения частей исходного дифф уравнения — термы (2) и (4).Получим первую ступень аппроксимации:

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 8

Теперь нам осталось только до конца аппроксимировать (4), поскольку туда входит градиент, его то нам и надо перевести в численную форму.Фактически эта сумма представляет сумму потоков тепла через грани.Наш случай упрощается для прямоугольной сетки, т.к у нормали к грани остается только 1 компонент — либо вдоль оси х либо вдоль y.
Разберем подробно этот процесс на примере грани e.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 9

Теперь подставим вместо суммы в уравнении (5) полученные дискретные аналоги для 4-х граней:

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 10

Уравнение (7) и есть конечное уравнение для элемента С, из него мы на каждом шаге по времени получаем новое значение температуры (Tnew) в элементе С.

Граничные условия на прямоугольной сетке

На рисунке показан элемент С у которого грань e находится на границе и значения температуры на этой грани известны — либо как заданная температура либо как заданный поток тепла через грань.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 11

Мы рассмотрим только 2 вида граничных условий.

  1. Задана температура Tb на границе
  2. Задан поток FluxB на границе, рассмотрим только случай когда FluxB=0, т.е. грань e будет теплоизолирована(Insulated)

Случай 2) самый простой, поскольку получается что грань e не потребуется при дискретизации(т.к. все коэффициенты Flux=0) и можно ее просто пропустить.

Теперь рассмотрим случай 1).Дискретизация грани e будет в целом похожа на ту что уже была описана.Будут только 2 изменения — вместо Te будет известное граничное значение Tb и вместо расстояния DXe будет DXe/2.В остальном можно рассматривать значение Te так, как будто это был бы обычный соседний узел E.Теперь подробнее распишем терм для граничного элемента С.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 12

Пример численных расчетов на прямоугольной сетке

В качестве примера рассмотрим область разбитую на 9 элементов, сетка 3*3.На первых слайдах применены следующие граничные условия: по 3 сторонам температура T=0, снизу задана температура T=240.На второй строке слайдов по бокам заданы граничные условия с потоком Flux=0, сверху T=0, снизу T=240.По каждому случаю 2 картинки, одна с разбивкой области 3*3 элемента, вторая 40*40.

Код расчетов для обоих случаев (в исходниках называется heat2dminimum )
        public void RunPhysic()
        {
            double Tc, Te, Tw, Tn, Ts;
            double FluxC, FluxE, FluxW, FluxN, FluxS;
            double dx = 0;
            double Tb = 240;
            double Tb0 = 0;

            int i, j;
            for (i = 0; i < imax; i++)
                for (j = 0; j < jmax; j++)
                {
                    Tc = T[i, j];
                    dx = dh;

                    if (i == imax - 1) { Te = Tb0; dx = dx / 2; }
                    else
                        Te = T[i + 1, j];
                    FluxE = (-k * FaceArea) / dx;

                    if (i == 0) { Tw = Tb0; dx = dx / 2; }
                    else
                        Tw = T[i - 1, j];
                    FluxW = (-k * FaceArea) / dx;

                    if (j == jmax - 1) { Tn = Tb0; dx = dx / 2; }
                    else
                        Tn = T[i, j + 1];
                    FluxN = (-k * FaceArea) / dx;

                    if (j == 0) { Ts = Tb; dx = dx / 2; }
                    else
                        Ts = T[i, j - 1];
                    FluxS = (-k * FaceArea) / dx;

                    FluxC = FluxE + FluxW + FluxN + FluxS;

                    T[i, j] = Tc + delt * (FluxC * Tc - (FluxE * Te + FluxW * Tw + FluxN * Tn + FluxS * Ts));
                }


        }
        //Insulated
        public void RunPhysic2()
        {
            double Tc, Te, Tw, Tn, Ts;
            double FluxC, FluxE, FluxW, FluxN, FluxS;
            double dx = 0;
            double Tb = 240;
            double Tb0 = 0;

            int i, j;
            for (i = 0; i < imax; i++)
                for (j = 0; j < jmax; j++)
                {
                    Tc = T[i, j];
                    dx = dh;

                    Te = 0; Tw = 0;
                    if (i == imax - 1)
                        FluxE = 0;
                    else
                    {
                        Te = T[i + 1, j];
                        FluxE = (-k * FaceArea) / dx;
                    }

                    if (i == 0)
                        FluxW = 0;
                    else
                    {
                        Tw = T[i - 1, j];
                        FluxW = (-k * FaceArea) / dx;
                    }

                    if (j == jmax - 1) { Tn = Tb0; dx = dx / 2; }
                    else
                        Tn = T[i, j + 1];
                    FluxN = (-k * FaceArea) / dx;

                    if (j == 0) { Ts = Tb; dx = dx / 2; }
                    else
                        Ts = T[i, j - 1];
                    FluxS = (-k * FaceArea) / dx;

                    FluxC = FluxE + FluxW + FluxN + FluxS;

                    T[i, j] = Tc + delt * (FluxC * Tc - (FluxE * Te + FluxW * Tw + FluxN * Tn + FluxS * Ts));
                }


        }

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 13

FVM в задачах со сложной геометрией

Здесь как раз проявляется преимущество FVM, где также, как и в методе конечных элементов, можно представлять область с круглыми границами через разбиение на треугольники или любые другие полигоны.Но FVM имеет еще 1 плюс — при переходе от треугольников к полигонам с большим числом сторон не требуется абсолютно ничего менять, конечно если код был написан для произвольного треугольника а не равностороннего.Более того, можно без изменения кода использовать смесь разных элементов — треугольники, полигоны, квадраты и тд.

Рассмотрим общий случай, когда вектор соединяющий центры 2-х элементов не совпадает с вектором нормали к общей грани этих элементов.Вычисление потока flux через грань теперь будет состоять из 2-х частей.В первой будет расcчитываться ортогональная составляющая а во второй так называемая «кросс-диффузия».

На картинке изображены 2 элемента, С — текущий рассматриваемый элемент и F — соседний элемент.Опишем дискретизацию для грани, разделяющей эти 2 элемента.Вектор соединяющий центры элементов — DCF.Вектор e — это единичный вектор по направлению DCF.Вектор Sf — направлен по нормали к грани, его длинна равна длине грани.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 14

Схема расчетов выглядит примерно так.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 15

Второй терм здесь это кросс-диффузия, она будет тем больше, чем больше расхождение между векторами Ef и Sf, если они совпадают, то она равна 0.
Распишем сначала ортогональную часть(способ minimum correction).

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 16

В исходниках я не стал реализовывать терм с кроссдиффузией, т.к встал вопрос — как проверить корректность такой реализации.Визуально сравнение результатов Матлаб и моих ничем не отличалось в отсутствии кросс-диффузии.Видимо это связано с тем что Матлаб любит треугольники близкие к равносторонним, что в итоге делает кроссдиффузию=0.Возможно позже еще вернусь к этому вопросу.

Расчет граничных элементов ничем не отличается от расчетов не на границе, вместо центра соседнего элемента берется центр грани, ну и как обычно подставляется температура на границе.
В моей реализации в итоге получается так:

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 17

Код расчетов для произвольного полигона (в исходниках называется heat2PolyTeach )
        public void Calc()
        {

            double bc, ac;
            double sumflux;
            double[] aa = new double[6];
            double[] bb = new double[6];

            int e;
            for (e = 0; e < elementcount; e++)
            {
                Element elem = elements[e];
                int nf;
                bc = 0;
                ac = 0;
                sumflux = 0;
                for (int nn = 0; nn <6; nn++)
                {
                    aa[nn] = 0;
                    bb[nn] = 0;
                }
                for (nf = 0; nf < elem.vertex.Length; nf++)
                {
                    Face face = elem.faces[nf];
                    Element nb = elem.nbs[nf];

                    if (face.isboundary)
                    {
                        if (face.boundaryType == BoundaryType.BND_CONST)
                        {
                            double flux1;
                            double flux;
                            flux1 = elem.k * (face.area / elem.nodedistances[nf]);
                            Vector2 Sf = face.sf.Clone();
                            Vector2 dCf = elem.cfdistance[nf].Clone();
                            if (Sf * dCf < 0)
                                Sf = -Sf;
                            //1) minimum correction
                            //Vector2 DCF = elem.cndistance[nf].Clone();
                            Vector2 e1 = dCf.GetNormalize();
                            Vector2 EF = (e1 * Sf) * e1;
                            flux = elem.k * (EF.Length() / dCf.Length());

                            ac += flux;
                            bc += flux * face.bndu;
                            bb[nf] = flux;

                        }
                        else if (face.boundaryType == BoundaryType.BND_INSULATED)
                        {
                            double flux;
                            flux = 0;

                            ac += flux;
                            bc += flux * face.bndu;
                            bb[nf] = flux;
                        }
                    }
                    else
                    {
                        double flux1;
                        double flux;
                        flux1 = -elem.k * (face.area / elem.nodedistances[nf]);
                        Vector2 Sf = face.sf.Clone();
                        Vector2 dCf = elem.cfdistance[nf].Clone();
                        if (Sf * dCf < 0)
                            Sf = -Sf;
                        Vector2 DCF = elem.cndistance[nf].Clone();
                        Vector2 e1 = DCF.GetNormalize();
                        //corrected flux
                        //1) minimum correction
                        Vector2 EF = (e1 * Sf) * e1;

                        flux = -elem.k * (EF.Length() / DCF.Length());

                        sumflux += flux * nb.u;
                        ac += -flux;
                        aa[nf] = -flux;

                    }

                }
                elem.u = elem.u + delt * (bc - sumflux - ac * elem.u);


            }

        }

Примеры и проверка результатов

Проверка проводилась сравнением результатов в Матлаб и моей реализации. Mesh использовалась одинаковая, выгружалась из Матлаб и загружалась в прогу.На некоторые артефакты-треугольники не обращайте внимания, это просто непонятный глюк отрисовки.

Метод Finite Volume — реализация на примере теплопроводности - 18

Описание структуры исходников

Гитхаб с исходниками лежит тут
Основная версия в папке heat2PolyV2.То что относится к вычислительной части лежит в heat2PolyV2SrcFiniteVolume.

Вначале файла Scene2.cs — параметры которые можно менять для отображения в разных цветовых схемах, масштаб, отображение mesh и т.д.Сами примеры хранятся в heat2PolyV2binDebugDemos
Выгрузку из Матлаба сделать просто — нужно открыть pde toolbox, открыть m файл (либо создать самому с нуля), зайти в меню Mesh-Экспорт mesh, нажать ОК; перейти в основной Матлаб, в панельке появятся переменные — матрицы p e t, открыть файл savemymesh.m, выполнить его, появится файл p.out, перенести его в папку Demos.
В исходниках для выбора примера необходимо задать имя файла в строке param.file = «p»;(FormParam.cs).Далее необходимо применить граничные условия — для готовых примеров можно просто раскомментировать соответствующие блоки в MainSolver.cs:

  //p.out
  public void SetPeriodicBoundary()

Смысл тут простой — Матлаб разделяет границы по доменам, например внешние и внутренние.Также для каждого домена границы разбиты на части (группы), чтобы можно было задавать условия на участках границы по отдельности — например справа или снизу.
Возможно и вовсе не использовать Матлаб, а вручную прописать все элементы(треугольники) и их вершины + грани(только для граничных элементов)

Описание структуры файла .out
Файл разбит на секции — ##Points (вершины),##Triangle(треугольники) и ##Boundary(грани — только те которые на границе)
##Points — координаты точек, первая строка — х, вторая -y.
##Triangle — треугольники, первая строка — индекс 1-ой вершины в массиве ##Points,2 и 3 строки — индексы 2 и 3 вершины треуольника.
##Boundary — грани, первая строка — индекс 1-ой вершины грани ,2-я — индекс второй вершины, пятая строка — группа, шестая — домен
Описание папок с исходниками
Исходники написаны на Visual Studio 2010 c#.Использовался Матлаб R2012a.
Гитхаб с исходниками

  • heat2PolyV2 — финальная версия
  • otherheat2Utrianglestatic — реализован пример из книги p346 versteeg_h malalasekra_w_ An_introduction_to_computational_fluid…
  • otherwater2dV2 — попытка решения уравнений Навье-Стокса частично используя FiniteVolume
  • matlab — m файлы примеров pde toolbox + savemymesh.m который выгружает готовый .out файл для heat2PolyV2

Список книг по теме
  • Versteeg HK Malalasek Introduction to computational fluid dynamics The finite volume method — уже есть второе издание
  • F.Moukalled L.Mangani M.Darwish The finite volume method in computational fluid dynamics 2016г — вышла недавно (чуть ли не вчера:)
  • Патанкар С.-Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости-Энергоатомиздат (1984)
  • Патанкар С.В.-Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах-МЭИ (2003)
  • Computational methods for fluid dynamics Ferziger JH Peric 2001 — хоть напрямую и не относится к FVM, но оч много полезного

Автор: scifix

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля