Вычисление значения многочлена. Все ли тривиально в этом вопросе?

в 9:49, , рубрики: Алгоритмы, вычисление многосленов, математика, многочлены, полиномы, схема Горнера, схемы Пана, метки: , , , ,

Вычисление значения многочлена в точке является одной из простейших классических задач программирования.
При проведении различного рода вычислений часто приходится определять значения многочленов при заданных значениях аргументов. Часто приближенное вычисление функций сводится к вычислению аппроксимирующих многочленов.
Рядового читателя Хабрахабр нельзя назвать неискушенным в применении всяческих извращений. Каждый второй скажет, что многочлен надо вычислять по правилу Горнера. Но всегда есть маленькое «но», всегда ли схема Горнера является самой эффективной?

Вычисление значения многочлена. Все ли тривиально в этом вопросе? - 1


Я не ставлю цель точно описать алгоритмы для вычисления многочленов, а лишь показать, что в некоторых случаях можно (нужно) применять схемы отличные правила Горнера. Для тех, кого заинтересует материал, в конце статьи приведен список литературы, с которой можно ознакомиться для более детального изучения вопроса.
Кроме того, иногда становиться обидно, что фамилии наших русских математиков остаются малоизвестными. К тому же мне просто приятно рассказать о работах наших математиков.

Схема Горнера

Вычисление значения многочлена. Все ли тривиально в этом вопросе? - 2При вычислении значений многочленов очень широкое применение получило правило Горнера. Метод назван в честь британского математика Уильяма Джорджа Горнера.
В соответствии с этим правилом многочлен n-й степени:

{{P}_{n}}(x)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}}

представляется в виде

{{P}_{n}}(x)=(...(({{a}_{0}}x+{{a}_{1}})x+{{a}_{2}})x+...+{{a}_{n-1}})x+{{a}_{n}}.

Вычисление значения многочлена производится в порядке, определяемом скобками. Что имеем? Чтобы вычислить многочлен {{P}_{n}}(x) по схеме Горнера, надо выполнить n умножений и n-k сложений (здесь k – число коэффициентов многочлена, равных 0). Если {{a}_{0}}=1, то умножений будет n-1.
Можно показать, что для вычисления многочленов, общего вида нельзя построить схему более экономичную по числу операций, чем схема Горнера.
Самая большая привлекательность схемы Горнера состоит в простоте алгоритма для вычисления значения многочлена.

Исключения

При вычислении многочленов специального вида может потребоваться меньшее сисло операций, чем при применении универсальной схемы Горнера. Например, вычисление степени {{x}^{n}} по схеме Горнера означает последовательное перемножение n множителей и требует n-1 умножение. Однако каждый первый читатель скажет, что для вычисления, например, {{x}^{8}} нужно последовательно вычислить {{x}^{2}}=xcdot x, {{x}^{4}}={{x}^{2}}cdot {{x}^{2}}, {{x}^{8}}={{x}^{4}}cdot {{x}^{4}}, т.е. выполнить всего 3 умножения вместо 7.

А есть что-то еще, ведь схема Горнера самая экономичная?

На самом деле все решают объемы вычислений. Если надо вычислить одно значение многочлена, то лучше схемы Горнера ничего не придумано. Но если значения многочлена вычисляются во многих точках, то появляется возможность сэкономить большое число операций умножения за счет предварительных вычислений, выполняемых ровно один раз. Это может значительно ускорить работу программы.

В некоторых случаях для получения значений полиномов целесообразно использовать двухэтапные схемы. На первом этапе выполняются действия только над коэффициентами многочлена, он преобразуется к специальному виду. На втором же этапе вычисляют уже значение самого многочлена при заданных значениях аргумента. При этом может оказаться, что количество операций, выполняемых на втором этапе будет меньше, чем при вычислениях по схеме Горнера.

Снова замечу, что такие методы вычислений целесообразны при вычислении значений многочлена {{P}_{n}}(x) для большого числа значений x. Выигрыш получается, за счет того, что первый этап для многочлена выполняется лишь один раз. Примером может послужить вычисление элементарных функций, где приближающий многочлен готовиться заранее.

В дальнейших рассуждениях, говоря о количестве операций для вычисления {{P}_{n}}(x), я буду иметь в виду сложность второго этапа вычислений.

Схема Дж.Тодта для многочленов 6 степени

Имеем следующий многочлен:

{{P}_{6}}(x)={{x}^{6}}+A{{x}^{5}}+B{{x}^{4}}+C{{x}^{3}}+D{{x}^{2}}+Ex+F.

Для вычислений используем следующие вспомогательные многочлены:

{{p}_{1}}(x)=x(x+{{b}_{1}}),

{{p}_{2}}(x)=({{p}_{1}}+x+{{b}_{2}})({{p}_{1}}+{{b}_{3}}),

{{p}_{3}}(x)=({{p}_{2}}+{{b}_{4}})({{p}_{1}}+{{b}_{5}})+{{b}_{6}}.

Коэффициенты {{b}_{j}} определяются методом неопределенных коэффициентов исходя из условия {{p}_{3}}(x)equiv {{P}_{6}}(x). Из последнего условия составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных степенях многочленов.

Саму систему, здесь приводить не буду. Но она легко решается методом подстановок, при этом приходится решать квадратные уравнения. Коэффициенты могут получиться комплексными, но если коэффициенты оказываются действительными, то вычисления требуют трех умножений и семи сложений вместо пяти умножений и шести сложений по схеме Горнера.

Говорить об универсальности данной схемы не приходится, но зато читатель наглядно может оценить уменьшение числа операций по сравнению со схемой Горнера.

Схема Ю.Л. Кеткова

Вычисление значения многочлена. Все ли тривиально в этом вопросе? - 20Наконец-то, добрался и до наших математиков.

Ю.Л. Кетков дал общее представление многочлена n-й степени для n>5, всегда приводящее к действительным выражениям и требующее для вычисления многочлене n-й степени выполнения [(n+1)/2]+[n/4] умножений и n+1 сложений.

Например, при n=2k схема Кеткова сводится к нахождению многочленов:

{{N}_{2}}(x)=x({{b}_{0}}+x),

{{N}_{4}}(x)=({{N}_{2}}+{{b}_{1}}+x)({{N}_{2}}+{{b}_{2}})+{{b}_{3}},

{{N}_{6}}(x)={{N}_{2}}{{N}_{4}}+{{b}_{4}}x+{{b}_{5}},

cdotscdotscdots

{{N}_{2k}}(x)=({{N}_{2}}+{{s}_{k}}{{b}_{2k-2}}){{N}_{2k-2}}+{{r}_{k}}{{b}_{2k-2}}x+{{b}_{2k-1}},

где {{r}_{k}}=0, {{s}_{k}}=1 при k –четном, и {{r}_{k}}=1, {{s}_{k}}=0, если k нечетное (k>2).

Все неизвестные коэффициенты находятся из равенства {{P}_{n}}(x)={{N}_{2k}}. В работах Кеткова для решения получающихся систем дается метод, дающий всегда действительные коэффициенты {{b}_{j}}.

Схемы В.Я. Пана

Вычисление значения многочлена. Все ли тривиально в этом вопросе? - 32Э. Белага в своих работах дал строгое доказательство невозможности построения схемы вычисления произвольных многочленов n-й степени, использующей на втором этапе меньше, чем [(n+1)/2]+1 умножений и n сложений.

В.Я. Пан занимался вопросами оптимального вычисления многочленов. В частности, им предложено несколько схем для вычисления действительных многочленов, которые весьма близко подобрались к оценкам Э. Белаги. Приведу некоторые схемы Пана для действительных многочленов.
1. Схема для вычисления многочленов четвертой степени.
Рассматривается многочлен {{P}_{4}}(x)={{a}_{0}}{{x}^{4}}+{{a}_{1}}{{x}^{3}}+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{3}}x+{{a}_{4}}.

Представим {{P}_{4}}(x) в виде:

g(x)=x(x+{{lambda }_{1}}),

{{P}_{4}}(x)equiv {{a}_{0}}left( left( g(x)+{{lambda }_{2}} right)left( g(x)+x+{{lambda }_{3}} right)+{{lambda }_{4}} right),

где

{{lambda }_{1}}=frac{{{a}_{1}}-{{a}_{0}}}{2{{a}_{0}}},{{lambda }_{2}}=frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{0}}}-{{lambda }_{1}}frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{0}}}+({{lambda }_{1}}+1)lambda _{1}^{2},

{{lambda }_{3}}=frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{0}}}-{{lambda }_{1}}({{lambda }_{1}}+1)-{{lambda }_{2}},{{lambda }_{4}}=frac{{{a}_{4}}}{{{a}_{0}}}-{{lambda }_{2}}{{lambda }_{3}}.

2. Схема для вычисления {{P}_{n}}(x), nge 5.
Строим вспомогательные многочлены g(x), h(x), {{p}_{s}}(x):

g(x)=x(x+{{lambda }_{1}}),h(x)=g(x)+x,{{p}_{0}}(x)=x,

{{p}_{s}}(x)={{p}_{s-1}}(x)left( (g(x)+{{lambda }_{4s-2}})(h(x)+{{lambda }_{4s-1}})+{{lambda }_{4s}} right)+{{lambda }_{4s+1}}, s=1,2,…,k.

Для вычисления значения многочлена используем выражения:

{{P}_{n}}(x)equiv {{a}_{0}}{{p}_{k}}(x), при n=4k+1,

{{P}_{n}}(x)equiv {{a}_{0}}x{{p}_{k}}(x)+{{lambda }_{n}}, при n=4k+2,

{{P}_{n}}(x)equiv {{a}_{0}}left( {{p}_{k}}(x)(g(x)+{{lambda }_{n-1}})+{{lambda }_{n}} right), при n=4k+3,

{{P}_{n}}(x)equiv {{a}_{0}}xleft( {{p}_{k}}(x)(g(x)+{{lambda }_{n-2}})+{{lambda }_{n-1}} right)+{{lambda }_{n}}, при n=4k+4,

Эта схема на втором этапе требует [n/2]+2 умножения и n+1 сложения.

Особенностью данной схемы является то, что коэффициенты {{lambda }_{j}} всегда существуют при nge 5 и действительных коэффициентах исходного многочлена.

У В.Я. Пана существуют и другие схемы для вычисления многочленов, в том числе и для комплексных.

Заключение

Резюмируя сказанное, замечу, что вычисление одного или нескольких значений полинома бесспорно нужно проводить с использованием схемы Горнера.

Однако, если число значений полинома, которые потребуется вычислить велико, а производительность очень важна, то имеет смысл рассмотреть применение специальных методов вычисления многочленов.

Некоторые читатели скажут, что возиться с применением схем, отличных от схемы Горнера, сложно, муторно и не стоит с этим связываться. Однако в реальной жизни встречаются задачи, в которых требуется вычислять просто огромное число значений многочленов с большими степенями (например, на их вычисление могут уходить месяцы), и уменьшение числа умножений в два раза даст существенный выигрыш во времени, даже если вам придется потратить пару дней на реализацию конкретной схемы для вычисления многочленов.

Литература

  1. Кетков Ю.Л. Об одном способе вычисления полиномов на математических машинах. // Известия ВУЗ'ов. Радиофизика, т.1., № 4, 1958
  2. В. Я. Пан, “Вычисление многочленов по схемам с предварительной обработкой коэффициентов и программа автоматического нахождения параметров”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2:1 (1962), 133–140
  3. В. Я. Пан, “О способах вычисления значений многочленов”, УМН, 21:1(127) (1966), 103–134
  4. В. Я. Пан, “О вычислении многочленов пятой и седьмой степени с вещественными коэффициентами”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 5:1 (1965), 116–118
  5. Пан В. Я. Некоторые схемы для вычисления значений полиномов с вещественными коэффициентами. Проблемы кибернетики. Вып. 5. М.: Наука, 1961, 17–29.
  6. Белага Э. Г. О вычислении значений многочлена от одного переменного с предварительной обработкой коэффициентов. Проблемы кибернетики. Вып. 5. М.: Физматгиз, 1961, 7–15.

Автор: vasiatka

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля