Оракул от арифметики

в 7:17, , рубрики: p-адические числа, арифметика, математика, перфектоидные пространства, теория чисел

В свои 28 лет Петер Шольце раскрывает глубинные связи между теорией чисел и геометрией

Оракул от арифметики - 1

В 2010 году по сообществу людей, изучающих теорию чисел, прошёл поразительный слух – и дошёл до Джареда Вайнштейна [Jared Weinstein]. Якобы какой-то аспирант из Боннского университета в Германии опубликовал работу, в которой 288-страничное доказательство теоремы из теории чисел ужато всего до 37 страниц. 22-летний студент Петер Шольце нашёл способ обойти одну из самых сложных частей доказательства, сопоставив теорию чисел и геометрию.

«Просто невероятно, что такой молодой человек смог сделать нечто настолько революционное,- говорит Вайнштейн, 34-летний специалист по теории чисел из Бостонского университета. – Это несомненный повод для уважения».

Математики из Боннского университета, присвоившие Шольце звание профессора всего два года спустя, уже знали о его экстраординарных умственных способностях. После публикации работы его начали замечать эксперты и по теории чисел, и по геометрии.

С того момента Шольце, которому сейчас 28, дорос до высокого положения уже в более широком математическом сообществе. Его называют "одним из самых влиятельных математиков мира", и "редким талантом, появляющимся раз в несколько десятилетий". О нём говорят, как о фаворите среди претендентов на Филдсовскую премию, одну из высочайших наград для математика.

Ключевому нововведению Шольце – классу фрактальных структур, названных им перфектоидными пространствами – исполнилось всего несколько лет, но оно уже ведёт к далеко идущим последствиям в области арифметической геометрии, в которой сливаются теория чисел и геометрия. Вайнштейн говорит, что работа Шольце была провидческой. «Он смог увидеть последствия до того, как те начали происходить».

Баргав Батт [Bhargav Bhatt], математик из Мичиганского университета, писавший совместные работы с Шольце, говорит, что многие математики реагируют на его работы «со смесью благоговения, страха и возбуждения».

И это не из-за его характера, который коллеги описывают, как приземлённый и щедрый. «Он никогда не даёт понять вам, что превосходит вас»,- говорит Юджин Хелман [Eugen Hellmann], коллега Шольце по университету. Скорее, это из-за его пугающей способности заглядывать так глубоко в суть математической задачи. В отличие от многих математиков он начинает работу не с определённой задачи, требующей решения, а с какой-нибудь неуловимой концепции, которую он хочет понять ради интереса. Но затем, как утверждает Анна Карайани [Ana Caraiani], специалист по теории чисел из Принстонского университета, работавшая с Шольце, создаваемые им построения «обнаруживают применения в миллионе других направлений, которые изначально не были предсказуемы – просто потому, что для изучения были выбраны правильные объекты».

Учим арифметику

Оракул от арифметики - 2
Математический институт в Боннском университете, Германия

Шольце начал самостоятельно постигать институтскую математику в 14 лет, посещая гимназию Генриха Гертца, берлинскую школу с уклоном в математику и науку. В этой гимназии, как описывал Шольце, «ты не был чужаком, если интересовался математикой».

В 16 лет Шольце узнал, что за десять лет до этого Эндрю Уайлс доказал знаменитую теорему 17-века, известную как Великая теорема Ферма, утверждающую, что у уравнения xn + yn = zn нет решений в целых числах больше нуля при n > 2. Шольце очень захотелось изучить доказательство, но быстро выяснилось, что, несмотря на простоту теоремы, её доказательство использует математику самого передового уровня. «Я ничего не понял, но было очень круто»,- говорит он.

И Шольце начал изучать, какие пробелы в знаниях ему нужно заполнить, чтобы понять это доказательство. «И до сих пор обычно я так всё и учу, — говорит он. – Я никогда не изучал базовые вещи вроде линейной алгебры – я постигал их, изучая что-то другое».

Зарывшись в доказательство, он был поражён математическими объектами под названием модулярные формы и эллиптические кривые, которые загадочным образом объединяют такие несопоставимые области, как теория чисел, алгебра, геометрия и анализ. По его словам, изучение типов объектов, использовавшихся в доказательстве, было, возможно, ещё более интересным, чем само доказательство.

Математические вкусы Шольце начали определяться. Сегодня он всё ещё тяготеет к задачам, где встречаются простые уравнения и целые числа. И эти осязаемые корни довольно чётко дают ему ощущать даже эзотерические математические структуры. «По сути, я увлекаюсь арифметикой»,- говорит он. По его словам, наиболее счастливым он бывает, когда его абстрактные конструкции приводят его обратно к небольшим открытиям, связанным с обычными целыми числами.

По окончанию школы Шольце продолжал изучать теорию чисел и геометрию в Боннском университете. Как вспоминает его одноклассник Хелман, на занятиях по математике Шольце ничего не записывал. Хелман утверждает, что Шольце понимал материал курса в реальном времени. «Не просто понимал, но понимал на каком-то глубоком уровне, что позволяло ему не забывать материал».

Шольце начал изучать арифметическую геометрию, использующую геометрические инструменты для понимания целочисленных решений полиномиальных уравнений – таких, как xy2 + 3y = 5, где участвуют только числа, переменные и степень. Для некоторых таких уравнений полезно узнавать, есть ли у них решения в альтернативной системе чисел, называемой p-адическими числами. Как и вещественные числа, они строятся путём заполнения пустот между целыми числами и дробями. Но эта система строится на нестандартной идее о местонахождении этих пустот и близости чисел друг к другу. В р-адической системе два числа стоят близко не тогда, когда разница между ними мала, а тогда, когда разница между ними делится на р.

Критерий странный, но полезный. К примеру, 3-адические числа помогают более естественно изучать уравнения типа x2 = 3y2, в которых ключевым является множитель три.

Р-адические числа «далеко отстоят от бытовой интуиции»,- говорит Шольце. Но с годами они стали для него естественными. «Теперь для меня вещественные числа более сложны, чем р-адические. Я так к ним привык, что вещественные мне кажутся гораздо более странными».

В 1970-х годах математики заметили, что многие задачи о р-адических числах становятся легче, если расширить эти числа бесконечной башней числовых систем, в которой каждая оборачивается вокруг нижней р раз, а р-адические числа находятся внизу этой башни. «Наверху» бесконечной башни находится оборачивающее пространство – фрактальный объект, являющийся простейшим примером перфектоидных пространств, которые позже разработает Шольце.

Шольце поставил себе задачу разобраться, почему эти бесконечные оборачивающие конструкции так сильно упрощают многие задачи, связанные с р-адическими числами и полиномами. «Я пытался понять суть этого явления,- говорит он. – Не существовало единого формализма, который бы мог его объяснить».

В какой-то момент он понял, что возможно создавать перфектоидные пространства для самых разных математических структур. Он показал, что эти пространства делают возможным переместить вопросы, связанные с полиномами, из мира р-адических чисел в другие математические области, где арифметика сильно упрощается (к примеру, не надо делать перенос при сложении). «Самое странное свойство перфектоидных пространств состоит в том, что они волшебным образом могут перемещаться между двумя числовыми системами»,- говорит Вайнштейн.

Осознание этого позволило Шольце доказать часть сложного утверждения по поводу р-адических решений к полиномам, под названием «гипотеза взвешенной монодромии», и он оформил это как докторскую диссертацию в 2012 году. «Эта работа имеет настолько далеко идущие последствия, что она стала предметом изучения групп учёных по всему миру»,- говорит Вайнштейн.

Хелман говорит, что Шольце «нашёл самый правильный и простой путь использовать всю предыдущую работу, и нашёл для этого элегантную формулировку – а затем, поскольку он нашёл очень правильный инструмент, он смог пойти далеко за пределы известных результатов».

Полёт над джунглями

Оракул от арифметики - 3
Петер Шольце в июне, на семинаре по геометрии в Броннском университете

Несмотря на всю сложность перфектоидных пространств, Шольце славится ясностью своих докладов и работ. «Я ничего не понимал, пока Петер не объяснил мне»,- говорит Вайнштейн.

По словам Карайани, Шольце пытается объяснять свои идеи на уровне, доступном даже первокурсникам. «Он дает чувство открытости и щедрости идей, — говорит она. – И он проделывает это не только с кучкой старших математиков – к нему имеет доступ большое количество молодых людей». Как говорит Карайани, дружественная и открытая манера Шольце делает его идеальным лидером в его области. Однажды, когда они вместе с Шольце совершали сложный поход по пересечённой местности, «именно он бегал вокруг и удостоверялся, что все на местах, и всех проверял»,- говорит Карайани.

Но, по словам Хелмана, даже после объяснений Шольце другим исследователям сложно понять перфектоидные пространства. «Отойдите с тропы, предложенной Шольце, и вы окажетесь в джунглях, где всё очень сложно». Но сам Шольце «никогда бы не потерялся в джунглях, потому что он не борется с ними. Он всегда смотрит в перспективе, чтобы увидеть общую концепцию».

Шольце не запутывается в лианах, потому что заставляет себя летать над ними: так же, как и в колледже, когда он предпочитал работать, не делая записей. Он говорит, что это означает необходимость формулировать свои идеи самым простым образом. «Ёмкость вашей головы ограничена, поэтому слишком сложные вещи в ней делать не получится».

В то время как другие математики только начинают разбираться с перфектоидными пространствами, одни из самых далеко идущих открытий в этой области, что неудивительно, были сделаны Шольце и его соавторами. Результат, который был опубликован в 2013 году, «привёл сообщество в ступор», как говорит Вайнштейн. «Мы даже не представляли себе, что такая теорема может появиться».

Результат Шольце расширил область действия правил, известных как законы взаимности, управляющих поведением полиномов, использующих арифметику по модулю (или часовую арифметику — не обязательно 12-часовую). Арифметика по модулю (в которой, например, 8 + 5 = 1, если у циферблата 12 часов) – самая естественная и популярная для изучения система конечных чисел в математике.

Законы взаимности – обобщение закона взаимности квадратичных вычетов, открытого 200 лет назад. Это краеугольный камень теории чисел, и одна из любимых теорем Шольце. Закон утверждает, что для двух простых чисел p и q, в большинстве случаев p будет полным квадратом в модульной арифметике по модулю q, когда q будет полным квадратом в модульной арифметике по модулю p. К примеру, 5 – полный квадрат на циферблате с 11 часами (в модульной арифметике по модулю 11), поскольку 5 = 16 = 42, а 11 – полный квадрат на циферблате с 5 часами, поскольку 11 = 1 = 12.

«Для меня это неожиданно,- говорит Шольце. – На первый взгляд, эти две вещи не связаны друг с другом». По словам Вайнштейна, «большую часть современной алгебраической теории чисел можно представить, как попытки обобщения этого закона».

В середине ХХ века математики открыли невероятную связь между законами взаимности и совершенно, казалось бы, другой областью – гиперболической геометрией узоров, таких, как знаменитые плитки ангелы/дьяволы Эшера.

Оракул от арифметики - 4

Эта связь – центральная часть «Программы Лангланда», набора связанных между собою гипотез и теорем, касающихся взаимосвязей теории чисел, геометрии и анализа. В случае, когда гипотезы удаётся доказать, они оказываются очень мощными инструментами: к примеру, доказательство Великой теоремы Ферма основывается на решении одной небольшой (хотя и нетривиальной) части Программы.

Математики постепенно осознавали, что программа Лангланда распространяется гораздо дальше гиперболического диска; её также можно изучать в гиперболических пространствах высшего порядка и во многих других контекстах. Шольце показал, как распространить её на обширный набор структур в «гиперболическом три-пространстве» – трёхмерном аналоге гиперболического диска – и далее. Построив перфектоидную версию гиперболического три-пространства, Шольце открыл целый набор новых законов взаимности.

«Работа Петера полностью поменяла представление о том, что можно сделать и чего мы можем достичь»,- говорит Карайани. Вайнштейн говорит, что результат Шольце показывает, что программа Лангланда «глубже, чем мы думали… более систематическая и вездесущая».

Перемотка

Оракул от арифметики - 5

Обсуждать математику с Шольце – будто консультироваться с оракулом, говорит Вайнштейн. «Если он говорит: „Да, это сработает“, то можно быть уверенным в этом. Если он говорит „нет“, нужно сразу сдаваться; если он говорит, что он не знает (что бывает) ну, тогда вам повезло, у вас появилась интересная задача».

Карайани говорит, что сотрудничать с Шольце не так сложно, как это может показаться. Когда она работала с ним, у неё никогда не было чувства спешки. «Будто бы мы всегда делали всё правильно – каким-то образом доказывали самую общую теорему из возможных самым лучшим способом, создавая правильные построения, проливающие свет на вещи».

Правда, однажды Шольце всё-таки торопился – пытаясь закончить работу в конце 2013 года до рождения своей дочери. По его словам, хорошо, что он тогда торопился. «С тех пор я особо ничего не сделал».

Став отцом, он начал более дисциплинированно относиться к своему графику. Но ему не надо специально отказываться от времени для исследований – он просто заполняет пустоты между другими обязанностями. «Математика – это моя страсть. Мне всё время хочется думать о ней». При этом он не склонен романтизировать эту страсть. Когда его спросили, что значит быть математиком, он заколебался. «Это звучит слишком философски».

Он любит приватность, и чувствует себя неудобно от возрастающей известности (например, в марте он стал самым молодым лауреатом премии Лейбница, дающей 2,5 миллиона евро на дальнейшие исследования). «Иногда это уже чересчур,- говорит он. – Я пытаюсь сделать так, чтобы это не влияло на мою повседневную жизнь».

Шольце продолжает изучать перфектоидные пространства, а также исследует другие области, в частности, алгебраическую топологию – она использует алгебру для изучения форм. «За последние полтора года Петер полностью овладел этим предметом,- говорит Батт. – Он изменил методы размышления над этой темой, использующиеся экспертами».

Батт говорит, что другие математики испытывают одновременно страх и воодушевление, когда Шольце касается их области деятельности. «Это значит, что теперь тема начнёт развиваться очень быстро. Я в восторге от того, что он работает в области, соприкасающейся с моей, и я прямо-таки вижу, как границы знания продвигаются вперёд».

Сам Шольце считает свою работу простой разминкой. «Я пока нахожусь в фазе изучения того, что уже есть, и просто формулирую знания по-своему,- говорит он. – Мне пока не кажется, что я уже начал заниматься исследованиями».

Автор: SLY_G

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля