Оракул от арифметики

В свои 28 лет Петер Шольце раскрывает глубинные связи между теорией чисел и геометрией

В 2010 году по сообществу людей, изучающих теорию чисел, прошёл поразительный слух – и дошёл до Джареда Вайнштейна ^[1] [Jared Weinstein]. Якобы какой-то аспирант из Боннского университета в Германии опубликовал работу ^[2], в которой 288-страничное доказательство теоремы из теории чисел ужато всего до 37 страниц. 22-летний студент Петер Шольце ^[3] нашёл способ обойти одну из самых сложных частей доказательства, сопоставив теорию чисел и геометрию.

«Просто невероятно, что такой молодой человек смог сделать нечто настолько революционное,- говорит Вайнштейн, 34-летний специалист по теории чисел из Бостонского университета. – Это несомненный повод для уважения».

Математики из Боннского университета, присвоившие Шольце звание профессора всего два года спустя, уже знали о его экстраординарных умственных способностях. После публикации работы его начали замечать эксперты и по теории чисел, и по геометрии.

С того момента Шольце, которому сейчас 28, дорос до высокого положения уже в более широком математическом сообществе. Его называют "одним из самых влиятельных математиков мира ^[4]", и "редким талантом, появляющимся раз в несколько десятилетий ^[5]". О нём говорят, как о фаворите ^[6] среди претендентов на Филдсовскую премию, одну из высочайших наград для математика.

Ключевому нововведению Шольце – классу фрактальных структур, названных им перфектоидными пространствами – исполнилось всего несколько лет, но оно уже ведёт к далеко идущим последствиям в области арифметической геометрии, в которой сливаются теория чисел и геометрия. Вайнштейн говорит, что работа Шольце была провидческой. «Он смог увидеть последствия до того, как те начали происходить».

Баргав Батт ^[7] [Bhargav Bhatt], математик из Мичиганского университета, писавший совместные работы с Шольце, говорит, что многие математики реагируют на его работы «со смесью благоговения, страха и возбуждения».

И это не из-за его характера, который коллеги описывают, как приземлённый и щедрый. «Он никогда не даёт понять вам, что превосходит вас»,- говорит Юджин Хелман ^[8] [Eugen Hellmann], коллега Шольце по университету. Скорее, это из-за его пугающей способности заглядывать так глубоко в суть математической задачи. В отличие от многих математиков он начинает работу не с определённой задачи, требующей решения, а с какой-нибудь неуловимой концепции, которую он хочет понять ради интереса. Но затем, как утверждает Анна Карайани ^[9] [Ana Caraiani], специалист по теории чисел из Принстонского университета, работавшая с Шольце, создаваемые им построения «обнаруживают применения в миллионе других направлений, которые изначально не были предсказуемы – просто потому, что для изучения были выбраны правильные объекты».

Учим арифметику

Математический институт в Боннском университете, Германия

Шольце начал самостоятельно постигать институтскую математику в 14 лет, посещая гимназию Генриха Гертца, берлинскую школу с уклоном в математику и науку. В этой гимназии, как описывал Шольце, «ты не был чужаком, если интересовался математикой».

В 16 лет Шольце узнал, что за десять лет до этого Эндрю Уайлс доказал знаменитую теорему 17-века, известную как Великая теорема Ферма ^[10], утверждающую, что у уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ нет решений в целых числах больше нуля при n > 2. Шольце очень захотелось изучить доказательство, но быстро выяснилось, что, несмотря на простоту теоремы, её доказательство использует математику самого передового уровня. «Я ничего не понял, но было очень круто»,- говорит он.

И Шольце начал изучать, какие пробелы в знаниях ему нужно заполнить, чтобы понять это доказательство. «И до сих пор обычно я так всё и учу, — говорит он. – Я никогда не изучал базовые вещи вроде линейной алгебры – я постигал их, изучая что-то другое».

Зарывшись в доказательство, он был поражён математическими объектами под названием модулярные формы ^[11] и эллиптические кривые ^[12], которые загадочным образом объединяют такие несопоставимые области, как теория чисел, алгебра, геометрия и анализ. По его словам, изучение типов объектов, использовавшихся в доказательстве, было, возможно, ещё более интересным, чем само доказательство.

Математические вкусы Шольце начали определяться. Сегодня он всё ещё тяготеет к задачам, где встречаются простые уравнения и целые числа. И эти осязаемые корни довольно чётко дают ему ощущать даже эзотерические математические структуры. «По сути, я увлекаюсь арифметикой»,- говорит он. По его словам, наиболее счастливым он бывает, когда его абстрактные конструкции приводят его обратно к небольшим открытиям, связанным с обычными целыми числами.

По окончанию школы Шольце продолжал изучать теорию чисел и геометрию в Боннском университете. Как вспоминает его одноклассник Хелман, на занятиях по математике Шольце ничего не записывал. Хелман утверждает, что Шольце понимал материал курса в реальном времени. «Не просто понимал, но понимал на каком-то глубоком уровне, что позволяло ему не забывать материал».

Шольце начал изучать арифметическую геометрию, использующую геометрические инструменты для понимания целочисленных решений полиномиальных уравнений ^[13] – таких, как xy² + 3y = 5, где участвуют только числа, переменные и степень. Для некоторых таких уравнений полезно узнавать, есть ли у них решения в альтернативной системе чисел, называемой p-адическими числами. Как и вещественные числа, они строятся путём заполнения пустот между целыми числами и дробями. Но эта система строится на нестандартной идее о местонахождении этих пустот и близости чисел друг к другу. В р-адической системе два числа стоят близко не тогда, когда разница между ними мала, а тогда, когда разница между ними делится на р.

Критерий странный, но полезный. К примеру, 3-адические числа помогают более естественно изучать уравнения типа x² = 3y², в которых ключевым является множитель три.

Р-адические числа «далеко отстоят от бытовой интуиции»,- говорит Шольце. Но с годами они стали для него естественными. «Теперь для меня вещественные числа более сложны, чем р-адические. Я так к ним привык, что вещественные мне кажутся гораздо более странными».

В 1970-х годах математики заметили, что многие задачи о р-адических числах становятся легче, если расширить эти числа бесконечной башней числовых систем, в которой каждая оборачивается вокруг нижней р раз, а р-адические числа находятся внизу этой башни. «Наверху» бесконечной башни находится оборачивающее пространство – фрактальный объект, являющийся простейшим примером перфектоидных пространств, которые позже разработает Шольце.

Шольце поставил себе задачу разобраться, почему эти бесконечные оборачивающие конструкции так сильно упрощают многие задачи, связанные с р-адическими числами и полиномами. «Я пытался понять суть этого явления,- говорит он. – Не существовало единого формализма, который бы мог его объяснить».

В какой-то момент он понял, что возможно создавать перфектоидные пространства для самых разных математических структур. Он показал, что эти пространства делают возможным переместить вопросы, связанные с полиномами, из мира р-адических чисел в другие математические области, где арифметика сильно упрощается (к примеру, не надо делать перенос при сложении). «Самое странное свойство перфектоидных пространств состоит в том, что они волшебным образом могут перемещаться между двумя числовыми системами»,- говорит Вайнштейн.

Осознание этого позволило Шольце доказать ^[14] часть сложного утверждения по поводу р-адических решений к полиномам, под названием «гипотеза взвешенной монодромии», и он оформил это как докторскую диссертацию в 2012 году. «Эта работа имеет настолько далеко идущие последствия, что она стала предметом изучения групп учёных по всему миру»,- говорит Вайнштейн.

Хелман говорит, что Шольце «нашёл самый правильный и простой путь использовать всю предыдущую работу, и нашёл для этого элегантную формулировку – а затем, поскольку он нашёл очень правильный инструмент, он смог пойти далеко за пределы известных результатов».

Полёт над джунглями

Петер Шольце в июне, на семинаре по геометрии в Броннском университете

Несмотря на всю сложность перфектоидных пространств, Шольце славится ясностью своих докладов и работ. «Я ничего не понимал, пока Петер не объяснил мне»,- говорит Вайнштейн.

По словам Карайани, Шольце пытается объяснять свои идеи на уровне, доступном даже первокурсникам. «Он дает чувство открытости и щедрости идей, — говорит она. – И он проделывает это не только с кучкой старших математиков – к нему имеет доступ большое количество молодых людей». Как говорит Карайани, дружественная и открытая манера Шольце делает его идеальным лидером в его области. Однажды, когда они вместе с Шольце совершали сложный поход по пересечённой местности, «именно он бегал вокруг и удостоверялся, что все на местах, и всех проверял»,- говорит Карайани.

Но, по словам Хелмана, даже после объяснений Шольце другим исследователям сложно понять перфектоидные пространства. «Отойдите с тропы, предложенной Шольце, и вы окажетесь в джунглях, где всё очень сложно». Но сам Шольце «никогда бы не потерялся в джунглях, потому что он не борется с ними. Он всегда смотрит в перспективе, чтобы увидеть общую концепцию».

Шольце не запутывается в лианах, потому что заставляет себя летать над ними: так же, как и в колледже, когда он предпочитал работать, не делая записей. Он говорит, что это означает необходимость формулировать свои идеи самым простым образом. «Ёмкость вашей головы ограничена, поэтому слишком сложные вещи в ней делать не получится».

В то время как другие математики только начинают разбираться с перфектоидными пространствами, одни из самых далеко идущих открытий в этой области, что неудивительно, были сделаны Шольце и его соавторами. Результат, который был опубликован в 2013 году, «привёл сообщество в ступор», как говорит Вайнштейн. «Мы даже не представляли себе, что такая теорема может появиться».

Результат Шольце расширил ^[15] область действия правил, известных как законы взаимности, управляющих поведением полиномов, использующих арифметику по модулю (или часовую арифметику — не обязательно 12-часовую). Арифметика по модулю (в которой, например, 8 + 5 = 1, если у циферблата 12 часов) – самая естественная и популярная для изучения система конечных чисел в математике.

Законы взаимности – обобщение закона взаимности квадратичных вычетов, открытого 200 лет назад. Это краеугольный камень теории чисел, и одна из любимых теорем Шольце. Закон утверждает, что для двух простых чисел p и q, в большинстве случаев p будет полным квадратом в модульной арифметике по модулю q, когда q будет полным квадратом в модульной арифметике по модулю p. К примеру, 5 – полный квадрат на циферблате с 11 часами (в модульной арифметике по модулю 11), поскольку 5 = 16 = 4², а 11 – полный квадрат на циферблате с 5 часами, поскольку 11 = 1 = 1².

«Для меня это неожиданно,- говорит Шольце. – На первый взгляд, эти две вещи не связаны друг с другом». По словам Вайнштейна, «большую часть современной алгебраической теории чисел можно представить, как попытки обобщения этого закона».

В середине ХХ века математики открыли невероятную связь между законами взаимности и совершенно, казалось бы, другой областью – гиперболической геометрией узоров, таких, как знаменитые плитки ангелы/дьяволы Эшера.

Эта связь – центральная часть «Программы Лангланда», набора связанных между собою гипотез и теорем, касающихся взаимосвязей теории чисел, геометрии и анализа. В случае, когда гипотезы удаётся доказать, они оказываются очень мощными инструментами: к примеру, доказательство Великой теоремы Ферма основывается на решении одной небольшой (хотя и нетривиальной) части Программы.

Математики постепенно осознавали, что программа Лангланда распространяется гораздо дальше гиперболического диска; её также можно изучать в гиперболических пространствах высшего порядка и во многих других контекстах. Шольце показал, как распространить её на обширный набор структур в «гиперболическом три-пространстве» – трёхмерном аналоге гиперболического диска – и далее. Построив перфектоидную версию гиперболического три-пространства, Шольце открыл целый набор новых законов взаимности.

«Работа Петера полностью поменяла представление о том, что можно сделать и чего мы можем достичь»,- говорит Карайани. Вайнштейн говорит, что результат Шольце показывает, что программа Лангланда «глубже, чем мы думали… более систематическая и вездесущая».

Перемотка

Обсуждать математику с Шольце – будто консультироваться с оракулом, говорит Вайнштейн. «Если он говорит: „Да, это сработает“, то можно быть уверенным в этом. Если он говорит „нет“, нужно сразу сдаваться; если он говорит, что он не знает (что бывает) ну, тогда вам повезло, у вас появилась интересная задача».

Карайани говорит, что сотрудничать с Шольце не так сложно, как это может показаться. Когда она работала с ним, у неё никогда не было чувства спешки. «Будто бы мы всегда делали всё правильно – каким-то образом доказывали самую общую теорему из возможных самым лучшим способом, создавая правильные построения, проливающие свет на вещи».

Правда, однажды Шольце всё-таки торопился – пытаясь закончить работу в конце 2013 года до рождения своей дочери. По его словам, хорошо, что он тогда торопился. «С тех пор я особо ничего не сделал».

Став отцом, он начал более дисциплинированно относиться к своему графику. Но ему не надо специально отказываться от времени для исследований – он просто заполняет пустоты между другими обязанностями. «Математика – это моя страсть. Мне всё время хочется думать о ней». При этом он не склонен романтизировать эту страсть. Когда его спросили, что значит быть математиком, он заколебался. «Это звучит слишком философски».

Он любит приватность, и чувствует себя неудобно от возрастающей известности (например, в марте он стал самым молодым лауреатом премии Лейбница ^[5], дающей 2,5 миллиона евро на дальнейшие исследования). «Иногда это уже чересчур,- говорит он. – Я пытаюсь сделать так, чтобы это не влияло на мою повседневную жизнь».

Шольце продолжает изучать перфектоидные пространства, а также исследует другие области, в частности, алгебраическую топологию – она использует алгебру для изучения форм. «За последние полтора года Петер полностью овладел этим предметом,- говорит Батт. – Он изменил методы размышления над этой темой, использующиеся экспертами».

Батт говорит, что другие математики испытывают одновременно страх и воодушевление, когда Шольце касается их области деятельности. «Это значит, что теперь тема начнёт развиваться очень быстро. Я в восторге от того, что он работает в области, соприкасающейся с моей, и я прямо-таки вижу, как границы знания продвигаются вперёд».

Сам Шольце считает свою работу простой разминкой. «Я пока нахожусь в фазе изучения того, что уже есть, и просто формулирую знания по-своему,- говорит он. – Мне пока не кажется, что я уже начал заниматься исследованиями».

Автор: SLY_G

Источник ^[16]