Нахождение экстремума (минимума или максимума) целевой функции ^[1] является важной задачей в математике и её приложениях (в частности, в машинном обучении есть задача curve-fitting ^[2]). Наверняка каждый слышал о методе наискорейшего спуска ^[3] (МНС) и методе Ньютона ^[4] (МН). К сожалению, эти методы имеют ряд существенных недостатков, в частности — метод наискорейшего спуска может очень долго сходиться в конце оптимизации, а метод Ньютона требует вычисления вторых производных, для чего требуется очень много вычислений.

Для устранения недостатков, как это часто бывает, нужно глубже погрузиться в предметную область и добавить ограничения на входные данные. В частности: МНС и МН имеют дело с произвольными функциями. В статистике и машинном обучении часто приходится иметь дело с методом наименьших квадратов ^[5](МНК). Этот метод минимизирует сумму квадрата ошибок, т.е. целевая функция представляется в виде:

Алгоритм Левенберга — Марквардта ^[6] используется для решения нелинейного метода наименьших квадратов. Статья содержит:

• объяснение алгоритма
• объяснение методов: наискорейшего спуска, Ньтона, Гаусса-Ньютона
• приведена реализация на Python с исходниками на github ^[7]
• сравнение методов

В коде использованы дополнительные библиотеки, такие как numpy, matplotlib. Если у вас их нет — очень рекомендую установить их из пакета Anaconda for Python ^[8]

Зависимости

Алгоритм Левенберга — Марквардта опирается на методы, приведённые в блок-схеме

Поэтому, сначала, необходимо изучить их. Этим и займёмся

Определения

• — наша целевая функция. Мы будем минимизировать . В этом случае, является функцией потерь ^[9]
• — градиент функции в точке
• — , при котором является локальным минимумом, т.е. если существует проколотая окрестность , такая что
• — глобальный минимум, если , т.е. не имеет значений меньших, чем
• — матрица Якоби ^[10] для функции в точке . Т.е. это таблица всех частных производных первого порядка. По сути, это аналог градиента для , так как в этом случае мы имеем дело с отображением из -мерного вектора в -мерный, поэтому нельзя просто посчитать первые производные по одному измерению, как это происходит в градиенте. Подробнее ^[11]
• — матрица Гессе ^[12] (матрица вторых производных). Необходима для квадратичной аппроксимации

Выбор функции

В математической оптимизации есть функции, на которых тестируются новые методы. Одна из таких функция — Функция Розенброка ^[13]. В случае функции двух переменных она определяется как

Я принял .Добавлен множитель 0.5 перед первой частью для удобства. Т.е. функция имеет вид:

Будем рассматривать поведение функции на интервале

Эта функция определена неотрицательно, имеет минимум в точке

В коде проще инкапсулировать все данные о функции в один класс и брать класс той функции, которая потребуется. Результат зависит от начальной точки оптимизации. Выберем её как . Как видно из графика, в этой точке функция принимает наибольшее значение на интервале.

functions.py

class Rosenbrock:
	initialPoint = (-2, -2)
	camera = (41, 75)
	interval = [(-2, 2), (-2, 2)]

	"""
	Целевая функция
	"""
	@staticmethod
	def function(x):
		return 0.5*(1-x[0])**2 + 0.5*(x[1]-x[0]**2)**2

	"""
	Для нелинейного МНК - возвращает вектор-функцию r
	"""
	@staticmethod
	def function_array(x):
	   return np.array([1 - x[0] , x[1] - x[0] ** 2]).reshape((2,1))

	@staticmethod
	def gradient(x):
		return np.array([-(1-x[0]) - (x[1]-x[0]**2)*2*x[0], (x[1] - x[0]**2)])

	@staticmethod
	def hesse(x):
		return np.array(((1 -2*x[1] + 6*x[0]**2, -2*x[0]), (-2 * x[0], 1)))

	@staticmethod
	def jacobi(x):
		return np.array([ [-1, 0], [-2*x[0], 1]])

	"""
	Векторизация для отрисовки поверхности
	Детали: http://www.mathworks.com/help/matlab/matlab_prog/vectorization.html
	"""
	@staticmethod
	def getZMeshGrid(X, Y):
	   return 0.5*(1-X)**2 + 0.5*(Y - X**2)**2

Метод наискорейшего спуска (Steepest Descent)

Сам метод крайне прост. Принимаем , т.е. целевая функция совпадает с заданной.

Нужно найти — направление наискорейшего спуска функции в точке .

может быть линейно аппроксимирована в точке :

где — угол между вектором . следует из скалярного произведения ^[14]

Так как мы минимизируем , то чем больше разница в , тем лучше. При выражение будет максимально( , норма вектора всегда неотрицательна), а будет только если вектора будут противоположны, поэтому

Направление у нас верное, но делая шаг длиной можно уйти не туда. Делаем шаг меньше:

Теоретически, чем меньше шаг, тем лучше. Но тогда пострадает скорость сходимости. Рекомендуемое значение

В коде это выглядит так: сначала базовый класс-оптимизатор. Передаём всё, что понадобится в дальнейшем (матрицы Гессе, Якоби, сейчас не нужны, но понадобятся для других методов)

class Optimizer:
    def _init_(self, function, initialPoint, gradient=None, jacobi=None, hesse=None,
                 interval=None, epsilon=1e-7, function_array=None, metaclass=ABCMeta):
        self.function_array = function_array
        self.epsilon = epsilon
        self.interval = interval
        self.function = function
        self.gradient = gradient
        self.hesse = hesse
        self.jacobi = jacobi
        self.name = self.<strong>class</strong>.<strong>name</strong>.replace('Optimizer', '')
        self.x = initialPoint
        self.y = self.function(initialPoint)

   "Возвращает следующую координату по ходу оптимизационного процесса"
   @abstractmethod
   def next_point(self):
       pass

    """
    Движемся к следующей точке
    """
    def move_next(self, nextX):
        nextY = self.function(nextX)
        self.y = nextY
        self.x = nextX
        return self.x, self.y
 

Код самого оптимизатора:

class SteepestDescentOptimizer(Optimizer):
    ...
    def next_point(self):
        nextX = self.x - self.learningRate * self.gradient(self.x)
        return self.move_next(nextX)
 

Результат оптимизации:

Итерация	X	Y	Z
25	0.383	-0.409	0.334
75	0.693	0.32	0.058
532	0.996	0.990

Бросается в глаза: как быстро шла оптимизация в 0-25 итерациях, в 25-75 уже медленне, а в конце потребовалось 457 итераций, чтобы приблизиться к нулю вплотную. Такое поведение очень свойственно для МНС: очень хорошая скорость сходимости вначале, плохая в конце.

Метод Ньютона

Сам Метод Ньютона ^[4] ищет корень уравнения, т.е. такой , что . Это не совсем то, что нам нужно, т.к. функция может иметь экстремум не обязательно в нуле.

А есть ещё Метод Ньютона для оптимизации ^[15]. Когда говорят о МН в контексте оптимизации — имеют в виду его. Я сам, учась в институте, спутал по глупости эти методы и не мог понять фразу «Метод Ньютона имеет недостаток — необходимость считать вторые производные».

Рассмотрим для

Принимаем , т.е. целевая функция совпадает с заданной.

Разлагаем в ряд Тейлора, только в отличии от МНС нам нужно квадратичное приближение:

Несложно показать, что если , то функция не может иметь экстремум в . Точка в которой называется стационарной.

Продифференцируем обе части по . Наша цель, чтобы , поэтому решаем уравнение:

— это направление экстремума, но оно может быть как максимумом, так и минимумом. Чтобы узнать — является ли точка минимумом — нужно проанализировать вторую производную. Если , то является локальным минимумом, если — максимумом.

В многомерном случае первая производная заменяется на градиент, вторая — на матрицу Гессе. Делить матрицы нельзя, вместо этого умножают на обратную (соблюдая сторону, т.к. коммутативность отсутствует):

Аналогично одномерному случаю — нужно проверить, правильно ли мы идём? Если матрица Гессе положительно определена ^[16], значит направление верное, иначе используем МНС.

В коде:

def is_pos_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)

class NewtonOptimizer(Optimizer):
    def next_point(self):
        hesse = self.hesse(self.x)
        # Если H - положительно определённая - Ок, иначе мы идём не в том направлении, используем МНС
        if is_pos_def(hesse):
            hesseInverse = np.linalg.inv(hesse)
            nextX = self.x - self.learningRate * np.dot(hesseInverse, self.gradient(self.x))
        else:
            nextX = self.x - self.learningRate * self.gradient(self.x)

        return self.move_next(nextX)

Результат:

Итерация	X	Y	Z
25	-1.49	0.63	4.36
75	0.31	-0.04	0.244
179	0.995	-0.991

Сравните с МНС. Там был очень сильный спуск до 25 итерации (практически упали с горы), но потом сходимость сильно замедлилась. В МН, напротив, мы сначала медленно спускаемся с горы, но затем движемся быстрее. У МНС ушло с 25 по 532 итерацию, чтобы дойти до нуля с . МН же оптимизировал за 154 последних итераций.

Это частое поведение: МН обладает квадратичной скоростью сходимости, если начинать с точки, близкой к локальному экстремуму. МНС же хорошо работает далеко от экстремума.

МН использует информацию кривизны, что было видно на рисунке выше (плавный спуск с горки). Ещё пример, демонстрирующий эту идею: на рисунке ниже красный вектор — это направление МНС, а зелёный — МН

[Нелинейный vs линейный] метод наименьших квадратов

В МНК у нас есть модель , имеющая параметров, которые настраиваются так, чтобы минимизировать , где — -е наблюдение.

В линейном МНК ^[17] у нас есть уравнений, каждое из которых мы можем представить как линейное уравнение ^[18]

Для линейного МНК решение единственно. Существуют мощные методы, такие как QR декомпозиция ^[19], SVD декомпозиция ^[20], способные найти решение для линейного МНК за 1 приближённое решение матричного уравнения .

В нелинейном МНК ^[21] параметр может сам быть представлен функцией, например . Так же, может быть произведение параметров, например и т.д.

Здесь же приходится находить решение итеративно, причём решение зависит от выбора начальной точки.

Методы ниже имеют дело как раз с нелинейным случаем. Но, сперва, рассмотрим нелиненый МНК в контексте нашей задачи — минимизации функции

Ничего не напоминает? Это как раз форма МНК! Введём вектор-функцию

и будем подбирать так, чтобы решить систему уравнений (хотя бы приближённо):

Тогда нам нужна мера — насколько хороша наша аппроксимация. Вот она:

Я применил обратную операцию: подстроил вектор-функцию под целевую . Но можно и наоборот: если дана вектор-функция , строим из (5). Например:

Напоследок, один очень важдный момент. Должно выполняться условие , иначе методом пользоваться нельзя. В нашем случае условие выполняется

Метод Гаусса-Ньютона

Метод основан на всё той же линейной аппроксимации, только теперь имеем дело с двумя функциями:

Далее делаем то же, что и в методе Ньютона — решаем уравнение (только для ):

Несложно показать, что вблизи :

Код оптимизатора:

class NewtonGaussOptimizer(Optimizer):
    def next_point(self):
        # Решаем (J_t * J)d_ng = -J*f
        jacobi = self.jacobi(self.x)
        jacobisLeft = np.dot(jacobi.T, jacobi)
        jacobiLeftInverse = np.linalg.inv(jacobisLeft)
        jjj = np.dot(jacobiLeftInverse, jacobi.T)  # (J_t * J)^-1 * J_t
        nextX = self.x - self.learningRate * np.dot(jjj, self.function_array(self.x)).reshape((-1))
        return self.move_next(nextX)

Результат превысил мои ожидания. Всего за 3 итерации мы пришли в точку . Чтобы продемонстрировать траекторию движения я уменьшил learningrate до 0.2

Алгоритм Левенберга — Марквардта

Он основан на одной из версий Методе Гаусса-Ньютона ("damped version" ):

Для больших получается метод наискорейшего спуска, для маленьких — метод Ньютона.
Сам алгоритм в процессе оптимизации подбирает нужный на основе gain ratio, определяющийся как:

Если , то — хорошая аппроксимация для , иначе — нужно увеличить .

Начальное значение задаётся как , где — элементы матрицы .

рекомендовано назначать за . Критерием остановки является достижение глобального минимуму, т.е.

В оптимизаторах я не реализовывал критерий остановки — за это отвечает пользователь. Мне нужно было только движение к следующей точке.

class LevenbergMarquardtOptimizer(Optimizer):
    def __init__(self, function, initialPoint, gradient=None, jacobi=None, hesse=None,
                 interval=None, function_array=None, learningRate=1):
        self.learningRate = learningRate
        functionNew = lambda x: np.array([function(x)])
        super().__init__(functionNew, initialPoint, gradient, jacobi, hesse, interval, function_array=function_array)
        self.v = 2
        self.alpha = 1e-3
        self.m = self.alpha * np.max(self.getA(jacobi(initialPoint)))

    def getA(self, jacobi):
        return np.dot(jacobi.T, jacobi)

    def getF(self, d):
        function = self.function_array(d)
        return 0.5 * np.dot(function.T, function)

    def next_point(self):
        if self.y==0: # Закончено. Y не может быть меньше нуля
            return self.x, self.y

        jacobi = self.jacobi(self.x)
        A = self.getA(jacobi)
        g = np.dot(jacobi.T, self.function_array(self.x)).reshape((-1, 1))
        leftPartInverse = np.linalg.inv(A + self.m * np.eye(A.shape[0], A.shape[1]))
        d_lm = - np.dot(leftPartInverse, g) # moving direction
        x_new = self.x + self.learningRate * d_lm.reshape((-1)) # линейный поиск
        grain_numerator = (self.getF(self.x) - self.getF(x_new))
        gain_divisor = 0.5* np.dot(d_lm.T, self.m*d_lm-g) + 1e-10
        gain = grain_numerator / gain_divisor
        if gain > 0: # Ок, хорошая оптимизация
            self.move_next(x_new) # ok, шаг принят
            self.m = self.m * max(1 / 3, 1 - (2 * gain - 1) ** 3)
            self.v = 2
        else:
            self.m *= self.v
            self.v *= 2

        return self.x, self.y

Результат получился тоже хороший:

Итерация	X	Y	Z
0	-2	-2	22.5
4	0.999	0.998
11	1	1	0

При learningrate =0.2:

Сравнение методов

Название метода	Целевая функция	Достоинства	Недостатки	Сходимость
Метод наискорейший спуск	дифференцируемая	-широкий круг применения -простая реализация -низкая цена одной итерации	-глобальный минимум ищется хуже, чем в остальных методах -низкая скорость сходимости вблизи экстремума	локальная
Метод Нютона	дважды дифференцируемая	-высокая скорость сходимости вблизи экстремума -использует информацию о кривизне	-функция должны быть дважды дифференцируема -вернёт ошибку, если матрица Гессе вырождена (не имеет обратной) -есть шанс уйти не туда, если находится далеко от экстремума	локальная
Метод Гаусса-Нютона	нелинейный МНК	-очень высокая скорость сходимости -хорошо работает с задачей curve-fitting	-колонки матрицы J должны быть линейно-независимы -налагает ограничения на вид целевой функции	локальная
Алгоритм Левенберга — Марквардта	нелинейный МНК	-наибольная устойчивость среди рассмотренных методов -наибольшие шансы найти глобальный экстремум -очень высокая скорость сходимости (адаптивная) -хорошо работает с задачей curve-fitting	-колонки матрицы J должны быть линейно-независимы -налагает ограничения на вид целевой функции -сложность в реализации	локальная

Несмотря на хорошие результаты в конкретном примере рассмотренные методы не гарантируют глобальную сходимость (найти которую — крайне трудная задача). Примером из немногих методов, позволяющих всё же достичь этого, является алгоритм basin-hopping ^[22]

Совмещённый результат (специально понижена скорость последних двух методов):

» Исходники можно скачать с github ^[7]

» Источники

1. K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff (2004): Methods for non-linear least square ^[23]
2. Florent Brunet (2011): Basics on Continuous Optimization ^[24]
3. Least Squares Problems ^[25]

Автор: lightforever2

Источник ^[26]