Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game

в 10:18, , рубрики: busy beaver game, halting problem, hypercomputation, Алгоритмы, большие числа, высокая производительность, вычислительная сложность, математика, тьюринг, функции, метки:
Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 1

IT технологии проникли в большинство сфер жизни человека и продолжают развиваться. Автопилот, банковская сфера, машинный перевод, медицина, финансовые рынки, полеты в космос — все это возможно благодаря одной простой идее.

В этой статье я предлагаю заглянуть за границы возможностей компьютеров и рассмотреть чего же они не могут. И почему. Алан Тьюринг еще в 30-е годы обозначил невозможные для компьютера задачи.

Машина Тьюринга

Если быть предельно точным, то та самая публикация Тьюринга, которая положила начало компьютерным наукам[1], была именно о вычислимых функциях, что подчеркивает существование границы, которую не может перешагнуть машина Тьюринга.

Машина Тьюринга(МТ) — это абстрактная вычислительная машина, тесно связанная с понятием алгоритма[10]. Это самый простой компьютер.

Также стоит помнить, что любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычислена машиной Тьюринга[2]. Это ведет к тому, что все выводы касающиеся абстрактной машины Тьюринга, полностью применимы к любым компьютерам на любой архитектуре.

Невычислимые функции и проблема остановки

Проблему остановки[3] можно сформулировать как: не существует общего алгоритма, который бы мог определить, остановится ли программа, по ее описанию и входным данным.
Т.е. функция определения остановки невычислима. Доказательства можно найти в Википедии.

На практике это выглядит так — сам компьютер никогда не сможет определить точно, зависнет ли его очередная программа в бесконечном потоке инструкций или нет. А ведь написанные человеком программы ой как несовершенны.

Одна известная попытка решить эту задачу возникла в недрах Майкрософт под названием Microsoft Terminator[4]. В Microsoft хотели уменьшить количество забагованных драйверов к железу путем построение автоматической системы проверки их на корректность. Они пытались построить инструмент доказательства корректности математической модели программы. О положительных результатах мне не известно, но, думаю, частично повысить стабильность драйверов им удалось.

Busy Beaver Game

Эту задачу в 1962 году обозначил венгерский математик Tiber Rado, в статье "On non-computable functions"[5]. При помощи аналогии с бобром, он объяснял машину Тьюринга, но название закрепилось. Еще в этой статье было упомянуто самое большое число, известное на то время.

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 2

Если ограничить машину Тьюринга(MT) N состояниями, то можно создать конечное число машин.
При росте количества состояний N, количество возможных машин Тьюринга растет быстрее чем экспоненциально: (4(n+1))^2n.

Среди оставшихся МТ будут два типа — те, что останавливаются и нет.

Rado задался одним вопросом в двух формулировках:

  • Какое максимальное количество операций может совершить МТ с N состояниями до своего завершения. Это и называют числом Busy Beaver, обозначается как BB(n) или S(n).
  • Какое максимально количество единиц может напечатать МТ с N на пустой ленте до завершения. Обозначается как Σ(n).

Очевидно, что это число существует. И посчитав его, можно было бы проверить, завершается ли выполнение МТ за это число шагов. Если нет — очевидно, что она будет работать вечно, так как максимальный порог пройден.

The Busy Beaver Game предлагает найти программу для машины Тьюринга с N состояниями, которая работает максимально долго и потом завершается.

В качестве входных данных, лента машины Тьюринга заполнена нулями.
Необходимо составить программу, которая заполнит ее максимальным числом единиц и завершится, перейдя в состояние HALT.

Вот так выглядят правила для машины Тьюринга с двумя состояниями (N=2). Этот же пример является решением Busy Beaver для N=2.

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 3

Выполнение программы происходит примерно так:

  • Вся лента заполнена нулями в качестве входных данных.
  • Начальное состояние — A.
  • Считываем текущий бит — если это 1, то выполняем код A1, иначе — A0.
  • Инструкции 1RB означают — записать на летну 1, перейти вправо, перейти в состояние B.
  • Работа программы продолжается пока не наступит переход на состояние HALT(H)

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 4

Рисунок 1. Визуализация пошаговой работы MT при N=2. Первая колонка — это номер шага. Вторая колонка показывает как меняются состояния МТ по мере выполнения. Третья колонка — состояния ленты, где видно очередность появления единиц на ней. Четвертая — траектория перемещения указателя по ленте.

N=3

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 5

Рисунок 2. Решение Busy Beaver для задачи N=3

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 6

Рисунок 3. Визуализация пошаговой работы MT при N=3.

N=4

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 7

Рисунок 4. Решение Busy Beaver для задачи N=4

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 8

Рисунок 5. Визуализация пошаговой работы MT при N=4. Вот такая елка, с Наступающим!

Для отображения такого графа N=5 нам бы потребовалось 47,176,870 шагов минимум.
При N=6, максимальное найденное на сегодня число Бобра S(6) = 7.4 × 10^36534.
Для N=7 есть только предварительная оценка S(7) > Σ(7) > 10^10^10^10^18705352[6]

На сегодняшний день есть мнение, что люди могут найти S(6) и предоставить доказательства что оно максимальное. S(7) же абсолютно недоступно[8].

Существуют различные вариации: на ленту можно записывать 3,4,5,6 символов, вместо {0,1}. При этом числа только растут.

Как решают эту задачу?

Общий подход к решению выглядит как разделение всех возможных машин Тьюринга на следующие классы:

  • Tree-normalized: эти машины исключены из пространства поиска, потому что доказанно, что они эквивалентны другим МТ или их поведение очевидно[8]
  • Candidate-halter: Машины, которые гарантированно останаливаются — это кандидаты на звание чемпионов Busy Beaver Game.
  • Non-candidate-halter: останавливаюстя, но не удовлетворяют определенным требованиям.
  • Non-halter: множество мелких классов для каждого из которых проявляет специфическое поведение связанное с не остановкой.
  • Holdouts: все что осталось, при том не ясно останавливаются или нет эти машины. Когда этот класс окажется пустым, можно считать задачу Busy Beaver решенной.

При помощи нормализации по дереву(tree normalization) можно значительно сократить количество МТ.

Невычислимые функции на примере Busy Beaver Game - 9

  • Примером метода tree normalization может служить удаление половины МТ, где первый шаг делается влево. Потому как существует аналогичная зеркальная машина, которая начинает движение вправо[8].*

Сверхтьюринговые вычисления

Если бы удалось построить машину для расчета BB(n), это была бы уже сверхтьюринговая машина.
Сверхтьюринговые вычисления — это такие вычисление, которые не могут быть проделаны на машине Тьюринга[9]. Но можно ли построить физический сверхтьюринговый компьютер[7]?

Важный вопрос для создания Сильного Искусственного Интеллекта — оперирует ли разум человека только тьюринговыми вычислениями?

Заключение

Зачем пытаться решить нерешаемую задачу? Может потому, что пограничные случаи в математике открывают всю полноту исходной теории.

The Busy Beaver Game тесно связана с теорией вычислимости, проблемой остановки и теорией сложности.

Еще эта задача заставила меня задуматься — что же такого может вычислить машина Тьюринга на протяжении чуть менее чем бесконечность?

Ссылки

[1] On Computable Numbers
[2] Тезис Черча-Тьюринга
[3] Проблема остановки
[4] Microsoft Terminator
[5] On non-computable functions
[6] Good bound for S(7)
[7] Hypercomputation: Hype or Computation?
[8] The complex behavior of simple machines. Rona Machilin
[9] Сверхтьюринговые вычисления
[10] Машина Тьюринга
[11] Python and C++ sources by by Peteris Krumins

Автор: snowman647

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля