Футбольный мяч и фуллерены

Одним из красивейших математических результатов можно смело считать теорему Эйлера, которая впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонарда Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Теорема Эйлера. Пусть – число вершин выпуклого многогранника, – число его ребер и – число граней. Тогда верно равенство

Число называется эйлеровой характеристикой многогранника. Легко вычислить эйлерову характеристику для некоторых знакомых нам многогранников.

Многогранник
Тетраэдр	4	6	4	2
Куб	8	12	6	2
Октаэдр	6	12	8	2

Доказательство теоремы Эйлера может быть найдено здесь ^[1].

Давайте воспользуемся теоремой Эйлера для установления некоторых интересных фактов. Посмотрите на изображение футбольного мяча.

Вопрос: сколько нужно взять пятиугольников, чтобы сшить мяч? Пусть – количество шестиугольников, а – количество пятиугольников. Давайте применим теорему Эйлера к нашему футбольному мячу:

где , , а . Формулы для количества вершин, ребер и граней легко получаются из наблюдения, что каждая вершина попадает на три грани, а по каждому ребру пересекаются только две грани. Подставив значения в формулу, вы получите ответ: . Переменная исключается из уравнения, т.е. количество шестиугольников может быть каким угодно. На следующей картинке изображен мяч, сшитый из одних только пятиугольников. Сколько их?

Этот многогранник называется додекаэдром и является одним из пяти правильных многогранников.

Давайте рассмотрим другой сюжет. Фуллерены ^[2] — молекулярные соединения, принадлежащие классу аллотропных форм углерода и представляющие собой выпуклые замкнутые многогранники, составленные из чётного числа трёхкоординированных атомов углерода. Своим названием фуллерены обязаны инженеру и архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру, чьи геодезические конструкции построены по этому принципу. Первоначально данный класс соединений был ограничен лишь структурами, включающими только пятиугольные и шестиугольные грани.

И наконец, давайте посмотрим на следующую картинку.

Ничего особенного — всего лишь купол, собранный из шестиугольников. А теперь еще раз помедитируйте над формулой Эйлера и вперед искать пятиугольники.

Этот и многие другие математические сюжеты смотрите в замечательных лекциях ^[3] Алексея Савватеева или в его книге ^[4] «Математика для гуманитариев».

Автор: dfedchenko

Источник ^[5]