Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных

в 1:16, , рубрики: диофантовы уравнения, математика, полином, решение, уравнение, целые числа

image
Здравствуйте, уважаемые читатели!
Продолжаю серию дилетантских статей о математике.

Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

$5a+8b+3c+2d=17$

«Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную $a$, тогда множество решений следующее:

$ begin{cases}displaystyle{ a=frac{17-8b-3c-2d}{5}\ b,c,dinmathbb{R} } end{cases} $

где $mathbb{R}$ — множество любых действительных чисел.
Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.
Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые ($5; 8; 3; 2; 17$), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

$ a,b,c,d in mathbb{Z} $

где $mathbb{Z}$ — множество целых чисел.
Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить $a$ как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?
Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

$5a+8b+3c+2d=17\ Leftrightarrow 5a+8b+2(c+d)+c=17$

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

$c+d=t Rightarrow \5a+8b+2(c+d)+c=17 Leftrightarrow 5a+8b+2t+c=17$

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при $c$ у нас сейчас равен единице, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

$5a+8b+2t+c=17 Leftrightarrow c=17-5a-8b-2t$

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были $a,b,t$ (в рамках диофантовых уравнений), всё равно $c$ останется целым числом, и это прекрасно.
Вспоминая, что $c+d=t$ справедливо говорить, что $d=t-c$. А подставив заместо $c$ полученный выше результат получим:

$d=t-c=t-(17-5a-8b-2t)=3t+5a+8b-17$

Тут мы также видим, что что какие бы не были $a,b,t$, всё равно $d$ останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.
Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же $a,b,t$ объявим как свободные переменные, а $c,d$ будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

$ begin{cases}displaystyle{ a,b,t in mathbb{Z}\ c=17-5a-8b-2t\ d=3t+5a+8b-17 } end{cases} $

Теперь можно лицезреть, что в системе решений нигде нет деления, а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что $a=1;b=2;t=3$:

$ begin{cases}displaystyle{ a=1\ b=2\ t=3\ c=17-5*1-8*2-2*3=-10\ d=3*3+5*1+8*2-17=13 } end{cases} $

Подставим в исходное уравнение:

$5*1+8*2+3*(-10)+2*13=17 Leftrightarrow 17=17$

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

$3a+7b-11c=1$

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой $c'=-c$, тогда уравнение будет следующим:

$3a+7b+11c'=1$

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать числа которые самые близкие к единице:

$3a+7b+11c'=1 Leftrightarrow 3(a+b)+4b+11c'=1$

Введем замену $a+b=t_1$, тогда получим:

$3(a+b)+4b+11c'=1 Leftrightarrow 3t_1+4b+11c'=1$

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

$3t_1+4b+11c'=1 Leftrightarrow 3(t_1+b)+b+11c'=1$

Введем замену $t_1+b=t_2$, тогда:

$3(t_1+b)+b+11c'=1 Leftrightarrow 3t_2+b+11c'=1$

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную $b$:

$3t_2+b+11c'=1 Leftrightarrow b=1-11c'-3t_2$

Из этого следует, что какие бы $c',t_2$ мы не взяли, $b$ все равно останется целым числом. Тогда найдем $t_1$ из соотношения $t_1+b=t_2$:

$t_1+b=t_2 Leftrightarrow t_1=t_2-b=t_2-(1-11c'-3t_2)\ Leftrightarrow t_1=4t_2+11c'-1$

Аналогичным образом найдем $a$ из соотношения $a+b=t_1$:

$a+b=t_1 Leftrightarrow a=t_1-b=4t_2+11c'-1 - (1-11c'-3t_2)\ Leftrightarrow a=7t_2+22c'-2$

На этом наша система решений созрела — мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что $c'=-c$, и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

$ begin{cases}displaystyle{ a=7t_2-22c-2\ b=-3t_2+11c+1\ c,t_2 in mathbb{Z} } end{cases} $

Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

$a_1b_1+a_2b_2+..+a_nb_n=N$

Для его решения в целых числах необходимо выполнение следующего условия:

$N mod GCD(a_1,a_2,..,a_n)=0$

(где $GCD$наибольший общий делитель).

Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

  1. Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством $N mod GCD(a_1,a_2,..,a_n)=0$). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
  2. Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их $GCD$.
  3. Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой $a'_n=-a_n$
  4. Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Объявляем все переменные,
    через которые выражена оная, как свободные.
  5. Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
  6. Объединяем все в единую систему решений.

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.

Автор: Петр Осетров

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля