- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Топология — довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.
Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» — один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй — несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.
Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете — она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)
Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы — факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно одел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.
И так. Надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.
Очень полезный случай — сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек — тогда это просто сфера, может быть одна — тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками — обособляется среди других фигур? Все очень просто — любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.
Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера — двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).
Неориентируемые поверхности примечательны тем, что они не разделяют пространство на две части, например т.к. сфера.
Но не все так плохо. А точнее, все так же хорошо как и в ориентируемом случае — любая неориентируемая двухмерная поверхность (правильно так же добавить: компактная, связная, без края) гомеоморфна сфере с некоторым количеством «пленок Мёбиуса») и ручек. К слову Бутылка Клейна — сфера с двумя пленками Мёбиуса.
Мы ознакомились с наипростейшим изложением сути непрерывных отображений (деформаций), неявно сформулировали теорему классификации двухмерных компактных связных поверхностей без края, ознакомились на пальцах с понятием ориентируемости.
Далее будет рассказано о связи топологии с другими разделами математики/механики, постараюсь найти какие-нибудь изюминки.
Автор: puhoshville
Источник [1]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/26265
Ссылки в тексте:
[1] Источник: http://habrahabr.ru/post/168133/
Нажмите здесь для печати.