Пару месяцев назад появилась занятная статья ^[1] с анализом классической задачи о расстановке ферзей на шахматной доске (см. детали и историю ниже). Задача невероятно известная и вся уже рассмотрена под микроскопом, поэтому было удивительно, что появилось что-то действительно новое.

Сможете поставить ещё шесть? А найти все решения?
(картинка из статьи)

Далее, к сожалению, произошла какая-то совершенно невразумительная история из цепочки вот таких вот превращений:

• Отличная статья ---пресс служба университета---> невразумительный пресс-релиз ^[2].
• Пресс релиз ---занятный перевод---> непонятная статья на гиктаймс ^[3]

Стоит отметить, что пять наугад открытых ссылок на русском ещё меньше проясняли картину происходящего.

Я тут подумал — надо бы кому-то эту странную цепочку прервать и нормальным языком изложить суть событий.

О чём пойдёт речь:

• История задачи ^[4]
  • Латинский квадрат ^[5]
  • Задача о восьми ферзях ^[6]
• Три типа задачи "о ферзях" ^[7]
  • Расстановка N ферзей ^[8]
  • Подсчет числа решений ^[9]
  • Дополнение до N ферзей ^[10]
  • Вариации задачи ^[11]
• Модели и сложность ^[12]
  • Линейный поиск для N ферзей ^[13]
  • Как считать число решений на практике ^[14]
  • Дополнение до N ^[15]
• Выводы ^[16]

История задачи

Латинский квадрат

Задача известна еще с древности (~ средних веков ^[17]), необходимо расставить буквы таким образом, чтобы ни в одной строке и ни в одной колонке не было одинаковых, как например здесь:

Само название Латинский Квадрат получило из-за привычки использовать буквы латинского Леонардом Эйлером для данной задачи. Из латинского квадрата (и ряда похожих задач) естественным образом появлялись новые, такие как задача о ферзях, где добавляется дополнительное ограничение на диагонали.

Задача о восьми ферзях

Задачу придумал в 1848 году шахматный композитор ^[18] Макс Беззель: суть задачи в том, чтобы расставить 8 ферзей на шахматной доске так, чтобы они не атаковали друг друга. С тех пор многие математики, например Гаусс, работали над задачей, а алгоритмисты и программисты, такие как Дейкстра, придумали множество подходов к поиску и подсчету решений.

В задаче, о которой мы будем говорить, не 8 ферзей, а N и доска, соответственно, не обычная шахматная, а NxN.

Три типа задачи "о ферзях"

Есть три наиболее популярных постановки задачи о ферзях

Расстановка N ферзей

Задача формулируется очень прямолинейно.

Дано: пустая доска NxN, например 8х8

(в принципе понятно, что достаточно просто указать N, но так наглядней)

Найти: расстановку максимально возможного числа ферзей

Т.е. на вход число — размер доски, а на выход позиции ферзей (одного решения).

Подсчет числа решений

Задача ставится тоже достаточно просто:

Дано: размер пустой доски N
Найти: H число возможных расстановок N ферзей на доске

Например, размер доски N = 1, тогда число возможных расстановок H = 1.
N = 8 => H = 92.

Дополнение до N ферзей

Вот тут формулировка чуть-чуть коварней:

Дано: размер доски N и M позиций уже установленных ферзей
Найти: позиции оставшихся N — M ферзей

Визуально все как на КПДВ:

(картинка также из оригинальной статьи)

Вариации задачи

Вообще говоря, вариаций задачи больше: см. например: расстановку белых и черных ферзей
http://www.csplib.org/Problems/prob110 ^[19]
однако здесь мы рассматриваем только основной классический вариант.

В подобной вариации решения существенно отличаются (белые не бьют белых, а черные черных):

(здесь максимальное число ферзей, причем на месте крестика можно поставить белого, а на месте точке черного — но не обоих сразу; взято из статьи ^[20])

Модели и сложность задач

Пришло время собственно обсудить: а как это вообще все решать и насколько быстро это вообще можно сделать?

Линейный поиск для классической задачи

Самый интересный момент, что даже специалисты иногда путаются и думают, что для решения N-ферзей нужен комбинаторный поиск и думают, что сложность задачи выше P. Про то, что такое P и NP, когда-то уже писал на Хабре: Зачем нам всем нужен SAT и все эти P-NP (часть первая) ^[21] и вторая вот тут ^[22]. Однако, задача решается без перебора вариантов! Т.е., для доски любого размера можно всегда расставить ферзей один за одним лесенкой:

Существует целый ряд алгоритмов расстановки, например см. вот эту статью ^[23] или даже вот тут в Вики ^[24].

Отсюда вывод, для N = 1 и N > 3 решение всегда есть (см. алго), а для N = 2 или N = 3
всегда нет (тривиально следует из доски). Это значит, что задача разрешимости для N ферзей (где нужно сказать есть решение или нет) решается тривиально за константное время (ну ок, конструктивно за линейное — расставить/проверить).

Самое время перепроверить прочитанное, читаем типичный заголовок "задачу о N ферзях признали NP-полной задачей" — у вас замироточили глаза?

Как считать число решений на практике

Вот тут начинается самое интересное: у количества решений задачи о расстановке ферзей даже есть своё имя — "последовательность A000170 ^[25]". На этом хорошие новости заканчиваются. Сложность задачи: выше NP и P#, на практике это означает, что оптимальное решение — это скачать данные последовательности в словарь и возвращать нужное число. Так как для N=27 оно уже считалось на параллельном кластере сколько там недель.

Решение: выписываем табличку и по n, возвращаем а(n)
n a(n)
1: 1
2: 0
3: 0
4: 2
5: 10
6: 4
7: 40
8: 92
9: 352
10: 724
…
21: 314666222712
22: 2691008701644
23: 24233937684440
24: 227514171973736
25: 2207893435808352
26 22317699616364044
27: 234907967154122528

Однако, если у вас какая-то хитрая разновидность задачи и все-таки нужно посчитать решения (а их количество неизвестно и раньше их никто не посчитал), то лучший вариант прототипа обсуждается чуть ниже.

Дополнение до N и Answer Set Programming

Тут начинается самое интересное: в чём же состоит новый результат статьи? Задача о дополнении до N ферзей — NP-полна! (Интересно, что про NP-полноту дополнения латинского квадрата было известно ^[26] ещё в 1984-ом году.)

Что это означает на практике? Самый простой способ решишь эту задачу (или вдруг, если нам нужно её вариацию) — использовать SAT. Однако, мне больше нравится следующая аналогия:

SAT — это ассемблер для комбинаторных NP-задач, а Answer Set Programming (ASP) — это С++ (у ASP тоже загадочная русская душа: он временами запутан и непредсказуем для непосвященных; кстати, теория, лежащая в основе современного ASP ^[27], была придумана в 1988ом году Михаилом Гельфондом и Владимиром Лифшицем, работавших тогда в университетах Техаса и Стэнфорда соответственно).

Если, говорить упрощенно: ASP — это декларативный язык программирования ограничений (constraints в англоязычной литературе) с синтаксисом Prolog. То есть мы записываем, каким ограничениям должно удовлетворять решение, а система сводит всё к варианту SAT и находит нам решение.

Детали решения здесь не столь важны, и Answer Set Programming достоин отдельного поста (который лежит у меня в черновике уже неприлично долго): поэтому разберем концептуальные моменты

% domain
row(1..n).
column(1..n).

% alldifferent
1 { queen(X,Y) : column(Y) } 1 :- row(X).
1 { queen(X,Y) : row(X)    } 1 :- column(Y).

% remove conflicting answers
:- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 == Y2.
:- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 + X1 == Y2 + X2.
:- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 - X1 == Y2 - X2.

Строка 1 { queen(X,Y) : column(Y) } 1 :- row(X). — называется choice rule, и она определяет, что является допустимым пространством поиска.

Последние три строки называются integrity constraints: и они определяют каким ограничениям должно удовлетворять решение: не может быть ферзя в одном и том же ряду, не может быть ферзя в одной и той же колонке (опущено, в силу симметрии) и не может быть ферзя на одной и той же диагонали.

В качестве системы для экспериментов рекомендую Clingo ^[28].
И для начала стоит посмотреть их tutorial ^[29] и попочитать блог на www.hakank.org ^[30].

Безусловно, если впервые писать на ASP, то первая модель не выйдет невероятно эффективной и быстрой, но скорее всего будет быстрее перебора с возвратом, написанным на скорую руку. Однако, если понять основные принципы работы системы, ASP может стать "regexp для NP-полных задач".

Проведем простой численный эксперимент с нашей ASP моделью. Я добавил 5 коварных ферзей в модель и запустил поиск решения для N от 1 до 150 и вот, что вышло (запущено на обычном домашнем ноутбуке):

Итого, наша ASP модель примерно в течении минуты может найти решения задачи о дополнении при N <= 150 (в обычном случае). Это показывает, что система отлично подходит для прототипирования моделей сложных комбинаторных задач.

Выводы

• Новый результат связан не с классической задачей о 8 ферзях, а дополнении обобщенной задачи о ферзях (что интересно, но в целом закономерно);
• Сложность существенно возрастает, так как, коварно поставив ферзей на доске, можно сбить алгоритм, ставящий ферзей по какой-то фиксированной закономерности;
• Эффективно посчитать число решений нельзя (ну совсем);
• Возможно этот результат повлияет на работу современных SAT систем, так как некоторые эксперты считают, что эта задача в чем-то проще классических NP-полных задач (но это только мнение)
• Если вам вдруг зачем-то нужно решать подобную задачу — лучше всего воспользуйтесь системами аля Answer Set Programming, специально для этого предназначенных

Автор: varagian

Источник ^[31]