Теория игр: Игры с природой

Затянувшееся продолжение цикла статей о теории игр.

Ближе к практике

В прошлой статье ^[1] о теории игр были рассмотрены ситуации, в которых предполагалась логичность дествий двух игроков, каждый из которых хочет получить для себя максимум выгоды. Следующим этапом являются так называемые игры с природой. Формально изучение игр с природой, так же, как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком один. Игроку два (природа) не важен результат, либо он не способен к осмысленным решениям. Или, возможно, условия не зависят от действий игрока, а определяются внешними факторами: реакция рынка, который не будет вредить одному конкретному игроку, государственная политика, реальная природа.

Виды задач и критерии выбора

Различают два вида задач в играх с природой:

• Задача о принятии решений в условиях риска, когда известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из возможных состояний;
• Задачи о принятии решений в условиях неопределенности, когда нет возможности получить информацию о вероятностях появления состояний природы;

Чтобы быть ближе к реальным ситуациям, для примера возьмем относительно реальную ситуацию. Первого игрока, за которого мы будем принимать решения, будет представлять Samsung со своим Galaxy S5. Вторым игроком, играющим «природу», будет компания Apple, и его iPhone 6.

Подходит время выпуска нового смартфона, прошла презентация, эксперты высказали свое мнение, и игрок один должен принять важное решение, когда выпустить продукт? Упростив ситуацию, у нас останется три варианта: до конкурента (А₁), вместе с ним (А₂) или после (А₃). Естественно, пока не выйдет новый iPhone мы не узнаем, будет он намного лучше нашего (В₁), таким же (В₃) или сильно уступающим в качестве (В₃). Посчитав прибыль во всех случаях, в итоге получим матрицу:

Теперь же, для принятия решения, у нас есть несколько критериев.

1. Критерий Вальда (максиминный). Игрок рассчитывает, что природа пойдет по наихудшему для него пути, и следует выбрать вариант с максимальной прибылью при самом плохом исходе, поэтому данный критерий считается пессимистическим. Представить его можно в виде max (min i)

При данном критерии:

для А₁ минимальной прибылью (5) выльются действия природы В₁ и В₂
для А₂ минимальная прибыль 3 после действия В₁
для А₃ минимальная прибыль 2 после действия В₁

Таким образом из 5, 3 и 2 максимум прибыли (5) нам даст вариант А₁

2. Критерий максимума (максимаксный) является оптимистическим, т.е. мы надеемся на самый благоприятный для нас исход.представляется как max (max i).

для А₁ максимальная прибыль 7
для А₂ максимальная прибыль 6
для А₃ максимальная прибыль 8

Из 7, 6 и 8 максимальную прибыль принесет вариант А₃

3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле max (A*max i + (1-A)*min i), где А — степень оптимизма и изменяется в пределах от 0 до 1. Критерий выдает результат, учитывающий возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При А=0 данный критерий можно заменить критерием максимума, а при А=1 — критерием Вальда. Величина А зависит от степени ответственности игрока один: чем она выше, тем ближе А к единице. Для данного примера примем А=0,4.

для А₁ прибыль равна 0,4*7 + 0,6*5 = 5,8
для А₂ прибыль равна 0,4*6 + 0,6*3 = 4,2
для А₃ прибыль равна 0,4*8 + 0,6*2 = 4,4

Из полученных ответов максимыльную прибль приносит действие А₁

4. Критерий Сэвиджа (минимаксный). Суть его заключается в выборе стратегии, не допускающей слишком высоких потерь. Для этого используется матрица рисков, в которой вычисляется максимальная прибыль при каждом варианте действия игрока, и среди результатов выбирается наименьший. Его формула выглядит как min (max i)

При данном критерии:

для А₁ максимальной прибылью (7) выльется действие природы В₃
для А₂ максимальная прибыль 6 после действия В₃
для А₃ максимальная прибыль 8 после действия В₃

Таким образом из 7, 6 и 8 минимум прибыли (6) нам даст вариант А₂

5. По критерию Байеса предлагается придать равные вероятности всем рассматриваемым стратегиям, после чего принять ту из них, при которой ожидаемый выигрыш окажется наибольшим. Критерий имеет один недостаток: не всегда можно точно определить вероятность того или иного события со стороны природы. Формулой для него является max (Σ q*i).

Сначала мы положили вероятность наступления каждого из собитий природы равной 0,33, и получили

для А₁ 5*0,33 + 5*0,33 + 7*0,33 = 5,61
для А₂ 3*0,33 + 4*0,33 + 6*0,33 = 4,29
для А₃ 2*0,33 + 4*0,33 + 8*0,33 = 7,63

Очевидно что максимальную прибыль мы получим от варианта А₃. Однако, обратившись к экспертам, мы получили вероятности событий для природы 0,5; 0,4; 0,1; соответственно. Таким образом

для А₁ 5*0,5 + 5*0,4 + 7*0,1 = 5,2
для А₂ 3*0,5 + 4*0,4 + 6*0,1 = 3,7
для А₃ 2*0,5 + 4*0,4 + 8*0,1 = 3,4

Думаю результат комментировать бессмысленно.

Основная задача состоит в том, чтобы найти оптимальные (или хотя бы рациональные) стратегии, наилучшим образом приводящие систему к цели при заданных внешних условиях. Для выбора стратегий в условиях неопределенности можно применять любые критерии, в условиях риска действеннее критерий Байеса. Однако выбор между самими критериями основывается обычно на интуиции, зависит от характера принимающего решение (в частности, его склонности к риску).

Если решение принимается в условиях неопределенности, то лучше использовать несколько критериев. В том случае, если рекомендации совпадают, можно с уверенностью выбирать наилучшее решение. Если рекомендации противоречивы, решение надо принимать более взвешенно, с учетом сильных и слабых сторон.

Автор: Guran

Источник ^[2]