Задачи с красивыми решениями

в 21:25, , рубрики: задачки, математика, математические этюды, метки: , ,

Существует класс задачек, которые в основном передаются из уст в уста, можно сказать входят в математический фольклор. Иногда встречаются задачи с очень красивыми решениями. Ты смотришь на решение, вроде понимаешь каждый шаг в рассуждениях, но чувствуешь себя как будто обманутым. Ты все понимаешь и одновременно ничего не понимаешь. Аналогию, наверное, можно провести, например, с этой оптической иллюзией:
Задачи с красивыми решениями
Тут видишь то большой куб с выпиленным куском, то маленький кубик, стоящий в углу.

В этом посте я собрал некоторые мои любимые задачи, решения которых, как мне кажется, вызывают этот неуловимый дуализм чувств: «понимаю — не понимаю».

Окружность и линейка

Доказать, что при помощи только одной линейки нельзя найти центр нарисованной на плоскости окружности (считается, что линейка имеет бесконечную длину; ею можно соединять любые заданные точки на плоскости; на линейке нет никакой шкалы, и ничего нельзя на ней отмечать).

Решение

Задачи с красивыми решениями Рассмотрим наклонный конус, основанием которого является некая окружность Задачи с красивыми решениями. Так как конус наклонный, то существует некая не параллельная основанию плоскость, которая высекает из конуса вторую окружность, назовем ее Задачи с красивыми решениями.
Поместим на вершине конуса лампочку. Эта лампочка будет бросать тень каждой прямой, лежащей на плоскости «верхней» окружности Задачи с красивыми решениями, на плоскость «нижней» окружности Задачи с красивыми решениями. Притом тенью любой прямой будет тоже прямая. Заметим, что эта тень настолько хитрая, что несмотря на то, что отображает «верхнюю» окружность Задачи с красивыми решениями в «нижнюю» Задачи с красивыми решениями, тень центра «верхней» окружности не попадает в центр «нижней».

Теперь на минутку представим, что существует такой чудесный алгоритм, который говорит, как при помощи одной линейки найти центр любой окружности. Этот алгоритм должен состоять из последовательности действий типа: проведи произвольную прямую, проведи вторую произвольную прямую, соедини такую-то точку пересечения с такой-то точкой, потом точку пересечения вот этой прямой и окружности соедини с другой какой-то точкой, и так далее… Заметим, что если мы будем применять этот чудо-алгоритм на «верхней» плоскости для нахождения центра окружности Задачи с красивыми решениями, то «тень» этого алгоритма будет выполнять точно такие же команды на «нижней» плоскости. И так как мы предположили, что наш алгоритм (набор команд) находит центр любой окружности, то «тень» алгоритма, выполняющая точно такие же команды, обязана найти центр нижней окружности. Мы немедленно приходим к противоречию, потому что, как мы отмечали ранее, тень найденного центра «верхней» окружности не попадает в центр «нижней».

Задача московского метро

В московском метро есть правило, которое запрещает проносить предметы, сумма высоты, ширины и глубины которых больше Задачи с красивыми решениями см. Давайте условимся, что речь идет о прямоугольных ящиках. Доказать, что нельзя обмануть систему и полностью засунуть ящик, сумма измерений которого больше Задачи с красивыми решениями см, в ящик с суммой измерений меньше Задачи с красивыми решениями см. Ящик можно пытаться укладывать как угодно криво-косо, но мять нельзя.

Решение

Решение мне рассказал Худавердян Оганес.

Для нашего доказательства нам понадобится понятие Задачи с красивыми решениями-вздутия над телом. Возьмем произвольное тело в пространстве, ее Задачи с красивыми решениями-вздутием назовем множество точек, которые находятся на теле или на расстоянии меньше чем Задачи с красивыми решениями от него. Скажем, Задачи с красивыми решениями-вздутием точки в пространстве будет шар радиуса Задачи с красивыми решениями, а Задачи с красивыми решениями-вздутием отрезка будет тело, похожее на сосиску.

Теперь возьмем наш параллелепипед (ящик плюс ее внутренняя часть) размерами Задачи с красивыми решениями, Задачи с красивыми решениями и Задачи с красивыми решениями, и объемом, соответственно, Задачи с красивыми решениями. Попытаемся посчитать объем Задачи с красивыми решениями ее Задачи с красивыми решениями-вздутия. В это Задачи с красивыми решениями-вздутие входят:

  • сам ящик объемом Задачи с красивыми решениями;
  • наросты над гранями ящика. Если обозначить суммарную площадь поверхности ящика за Задачи с красивыми решениями, то объем этих наростов будет Задачи с красивыми решениями.
  • наросты над ребрами ящика. Каждый такой нарост представляет собой четверть цилиндра c радиусом основания Задачи с красивыми решениями. Так как в ящике по четыре ребра длинами Задачи с красивыми решениями, Задачи с красивыми решениями и Задачи с красивыми решениями, то наросты с каждый четверки одинаковых ребер можно объединить в один цельный цилиндр. Суммарный объем получившихся трех цилиндров будет Задачи с красивыми решениями;
  • наросты над вершинами ящика. Каждый такой нарост представляет собой восьмую часть шара радиуса Задачи с красивыми решениями. Поэтому из наростов над всеми восемью вершинами ящика можно собрать один целый шар радиуса Задачи с красивыми решениями, то есть объема Задачи с красивыми решениями.

Мы получаем, что объем Задачи с красивыми решениями-вздутия ящика будет равняться

Задачи с красивыми решениями

Пусть теперь в ящике с размерами сторон Задачи с красивыми решениями, Задачи с красивыми решениями и Задачи с красивыми решениями находится второй ящик Задачи с красивыми решениями, Задачи с красивыми решениями и Задачи с красивыми решениями. Ясно, что какое бы число Задачи с красивыми решениями мы не взяли, Задачи с красивыми решениями-вздутие внутреннего ящика будет лежать в Задачи с красивыми решениями-вздутии внешнего ящика, поэтому ее объем будет меньше:

Задачи с красивыми решениями

Подставляем в неравенство выражения для объемов, сокращаем одинаковые члены и делим все на Задачи с красивыми решениями:

Задачи с красивыми решениями

Заметим, что последнее неравенство обязано выполнятся для любого Задачи с красивыми решениями, как для маленького, так и для большого. Поэтому мы всегда можем перейти к пределу Задачи с красивыми решениями, получим:

Задачи с красивыми решениями

Вот мы и доказали, что если один ящик находится во втором, то сумма ее размерностей не может быть больше.

Кирпичная стена

Представьте себе, что у нас есть очень много разных прямоугольников (двухмерных кирпичей) таких, что у каждого кирпича хотя бы одна сторона имеет целую длину. Из таких кирпичей построили ровную прямоугольную стену, без наложений и дыр, кирпичи не наклонены. Доказать, что у получившейся стены хотя бы одна сторона имеет целую длину.
Задачи с красивыми решениями

Решение

Перед тем как решать задачу, давайте вспомним одно замечательное свойство функции Задачи с красивыми решениями: ее интеграл по любому отрезку, длина которого кратна числу Задачи с красивыми решениями, равен нулю. Действительно

Задачи с красивыми решениями

Более того, если интеграл от синуса по какому-то любому отрезку равен нулю, то смело можно считать, что длина этого отрезка кратна числу Задачи с красивыми решениями.

Аналогично показывается, что для «сжатой» по горизонтали функции Задачи с красивыми решениями, интеграл по любому отрезку, длина которого кратна единице (целое число), равен нулю:

Задачи с красивыми решениями

Теперь рассмотрим функцию Задачи с красивыми решениями. Эта функция обладает таким замечательным свойством, что ее интеграл по любому кирпичу на стене равен нулю:

Задачи с красивыми решениями

Действительно, ведь один из интегралов справа берется по отрезку длиной в целое число, и поэтому равен нулю.

Мы видим, что интеграл от нашей замечательной функции Задачи с красивыми решениями по любому из кирпичей на стене равен нулю, поэтому этот интеграл равен нулю и на всей стене, построенной этими кирпичами, так как попросту является суммой интегралов по каждому из кирпичей:

Задачи с красивыми решениями

Значит или Задачи с красивыми решениями, или Задачи с красивыми решениями должен равнятся нулю. Из чего немедленно следует, что или горизонтальная, или вертикальная сторона стены имеет целую длину.

Задача про колодец

На поле вырыт круглый колодец. У нас есть очень много разных бесконечно длинных досок. Каждая доска имеет какую-то свою ширину. И мы этими досками полностью закрыли колодец так, что не осталось никаких щелей. Доказать, что сумма ширин досок всегда будет не меньше диаметра колодца.

Решение

Задачи с красивыми решениями Решение, если я не ошибаюсь, принадлежит Александру Карабегову.

Давайте накроем колодец полусферой, как показано на рисунке, а в колодец установим огромный прожектор, который светит параллельными вертикальными лучами наверх. И рассмотрим очень-очень тонкую доску, шириной Задачи с красивыми решениями, которая лежит на колодце.

Заметим что, чем дальше расстояние доски от центра колодца, тем меньшей становится длина Задачи с красивыми решениями, которую занимает доска непосредственно над колодцем, но вместе с этим тем круче становится угол наклона тени от этой доски на полусфере. Оказывается, что эти два процесса компенсируют друг друга, и площадь тени Задачи с красивыми решениями не зависит от расстояния доски от центра колодца. Действительно, длина доски над колодцем Задачи с красивыми решениями, а тангенс угла наклона тени равен Задачи с красивыми решениями. Получаем площадь тени Задачи с красивыми решениями от доски, которая равна длине тени доски умноженной на ширину:
Задачи с красивыми решениями

Мы видим, что, действительно, где бы над колодцем не находилась очень тонкая доска шириной Задачи с красивыми решениями, площадь Задачи с красивыми решениями ее тени на полусфере будет всегда равнятся Задачи с красивыми решениями, то есть будет зависеть только от ширины доски Задачи с красивыми решениями. Это свойство «независимости» выполняется и для досок любой ширины, ведь их можно представить как множество скрепленных между собой тоненьких досок. В итоге мы получаем замечательный результат: если ширина доски над колодцем равна Задачи с красивыми решениями, то площадь ее тени Задачи с красивыми решениями равна Задачи с красивыми решениями.

Пусть теперь множество досок ширинами Задачи с красивыми решениями полностью закрывают наш колодец. Некоторые из досок могут, конечно же, не всей своей шириной располагаться над колодцем. Поэтому площадь тени каждой из досок Задачи с красивыми решениями. Разные доски могут накладываться друг на друга, поэтому площадь общей тени

Задачи с красивыми решениями

Но так как доски закрывают колодец без щелей, то их общая тень заполняет всю полусферу, а значит имеет площадь Задачи с красивыми решениями. В итоге получаем, что

Задачи с красивыми решениями

Задачи с красивыми решениями

Что и требовалось доказать.

Автор: khdavid

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля