- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Существует класс задачек, которые в основном передаются из уст в уста, можно сказать входят в математический фольклор. Иногда встречаются задачи с очень красивыми решениями. Ты смотришь на решение, вроде понимаешь каждый шаг в рассуждениях, но чувствуешь себя как будто обманутым. Ты все понимаешь и одновременно ничего не понимаешь. Аналогию, наверное, можно провести, например, с этой оптической иллюзией:
Тут видишь то большой куб с выпиленным куском, то маленький кубик, стоящий в углу.
В этом посте я собрал некоторые мои любимые задачи, решения которых, как мне кажется, вызывают этот неуловимый дуализм чувств: «понимаю — не понимаю».
Доказать, что при помощи только одной линейки нельзя найти центр нарисованной на плоскости окружности (считается, что линейка имеет бесконечную длину; ею можно соединять любые заданные точки на плоскости; на линейке нет никакой шкалы, и ничего нельзя на ней отмечать).
Теперь на минутку представим, что существует такой чудесный алгоритм, который говорит, как при помощи одной линейки найти центр любой окружности. Этот алгоритм должен состоять из последовательности действий типа: проведи произвольную прямую, проведи вторую произвольную прямую, соедини такую-то точку пересечения с такой-то точкой, потом точку пересечения вот этой прямой и окружности соедини с другой какой-то точкой, и так далее… Заметим, что если мы будем применять этот чудо-алгоритм на «верхней» плоскости для нахождения центра окружности , то «тень» этого алгоритма будет выполнять точно такие же команды на «нижней» плоскости. И так как мы предположили, что наш алгоритм (набор команд) находит центр любой окружности, то «тень» алгоритма, выполняющая точно такие же команды, обязана найти центр нижней окружности. Мы немедленно приходим к противоречию, потому что, как мы отмечали ранее, тень найденного центра «верхней» окружности не попадает в центр «нижней».
В московском метро есть правило, которое запрещает проносить предметы, сумма высоты, ширины и глубины которых больше см. Давайте условимся, что речь идет о прямоугольных ящиках. Доказать, что нельзя обмануть систему и полностью засунуть ящик, сумма измерений которого больше см, в ящик с суммой измерений меньше см. Ящик можно пытаться укладывать как угодно криво-косо, но мять нельзя.
Для нашего доказательства нам понадобится понятие -вздутия над телом. Возьмем произвольное тело в пространстве, ее -вздутием назовем множество точек, которые находятся на теле или на расстоянии меньше чем от него. Скажем, -вздутием точки в пространстве будет шар радиуса , а -вздутием отрезка будет тело, похожее на сосиску.
Теперь возьмем наш параллелепипед (ящик плюс ее внутренняя часть) размерами , и , и объемом, соответственно, . Попытаемся посчитать объем ее -вздутия. В это -вздутие входят:
Мы получаем, что объем -вздутия ящика будет равняться
Пусть теперь в ящике с размерами сторон , и находится второй ящик , и . Ясно, что какое бы число мы не взяли, -вздутие внутреннего ящика будет лежать в -вздутии внешнего ящика, поэтому ее объем будет меньше:
Подставляем в неравенство выражения для объемов, сокращаем одинаковые члены и делим все на :
Заметим, что последнее неравенство обязано выполнятся для любого , как для маленького, так и для большого. Поэтому мы всегда можем перейти к пределу , получим:
Вот мы и доказали, что если один ящик находится во втором, то сумма ее размерностей не может быть больше.
Представьте себе, что у нас есть очень много разных прямоугольников (двухмерных кирпичей) таких, что у каждого кирпича хотя бы одна сторона имеет целую длину. Из таких кирпичей построили ровную прямоугольную стену, без наложений и дыр, кирпичи не наклонены. Доказать, что у получившейся стены хотя бы одна сторона имеет целую длину.
Более того, если интеграл от синуса по какому-то любому отрезку равен нулю, то смело можно считать, что длина этого отрезка кратна числу .
Аналогично показывается, что для «сжатой» по горизонтали функции , интеграл по любому отрезку, длина которого кратна единице (целое число), равен нулю:
Теперь рассмотрим функцию . Эта функция обладает таким замечательным свойством, что ее интеграл по любому кирпичу на стене равен нулю:
Действительно, ведь один из интегралов справа берется по отрезку длиной в целое число, и поэтому равен нулю.
Мы видим, что интеграл от нашей замечательной функции по любому из кирпичей на стене равен нулю, поэтому этот интеграл равен нулю и на всей стене, построенной этими кирпичами, так как попросту является суммой интегралов по каждому из кирпичей:
Значит или , или должен равнятся нулю. Из чего немедленно следует, что или горизонтальная, или вертикальная сторона стены имеет целую длину.
На поле вырыт круглый колодец. У нас есть очень много разных бесконечно длинных досок. Каждая доска имеет какую-то свою ширину. И мы этими досками полностью закрыли колодец так, что не осталось никаких щелей. Доказать, что сумма ширин досок всегда будет не меньше диаметра колодца.
Давайте накроем колодец полусферой, как показано на рисунке, а в колодец установим огромный прожектор, который светит параллельными вертикальными лучами наверх. И рассмотрим очень-очень тонкую доску, шириной , которая лежит на колодце.
Заметим что, чем дальше расстояние доски от центра колодца, тем меньшей становится длина , которую занимает доска непосредственно над колодцем, но вместе с этим тем круче становится угол наклона тени от этой доски на полусфере. Оказывается, что эти два процесса компенсируют друг друга, и площадь тени не зависит от расстояния доски от центра колодца. Действительно, длина доски над колодцем , а тангенс угла наклона тени равен . Получаем площадь тени от доски, которая равна длине тени доски умноженной на ширину:
Мы видим, что, действительно, где бы над колодцем не находилась очень тонкая доска шириной , площадь ее тени на полусфере будет всегда равнятся , то есть будет зависеть только от ширины доски . Это свойство «независимости» выполняется и для досок любой ширины, ведь их можно представить как множество скрепленных между собой тоненьких досок. В итоге мы получаем замечательный результат: если ширина доски над колодцем равна , то площадь ее тени равна .
Пусть теперь множество досок ширинами полностью закрывают наш колодец. Некоторые из досок могут, конечно же, не всей своей шириной располагаться над колодцем. Поэтому площадь тени каждой из досок . Разные доски могут накладываться друг на друга, поэтому площадь общей тени
Но так как доски закрывают колодец без щелей, то их общая тень заполняет всю полусферу, а значит имеет площадь . В итоге получаем, что
Что и требовалось доказать.
Автор: khdavid
Источник [3]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/37289
Ссылки в тексте:
[1] Худавердян Оганес: http://www.maths.manchester.ac.uk/~khudian/
[2] Александру Карабегову: http://math.acu.edu/karabegov/
[3] Источник: http://habrahabr.ru/post/184510/
Нажмите здесь для печати.