Как Бог с Чёртом о математических проблемах бились

в 9:20, , рубрики: занимательные задачи, математика, теорема ферма, уроки, школа, метки: , , ,

Этот материал может стать дополнительным украшающим элементом внеклассного урока школьного математического кружка. Некоторой отправной точкой для дальнейшего плана урока.

В стихотворной форме на фоне спора мифических персонажей кратко описана история Великой теоремы Ферма с упоминанием реальных действующих лиц истории. От одной истории речь плавно переходит к другой знаменитой задаче, а вызвающий тон, которым один из мифических персонажей сопровождает свою загадку, рассчитан побудить современного школьника проявить интерес к тому, что же такое система целочисленных пифагоровых уравнений. Дальше уже дело учителя развить этот интерес, а задачу о волшебной комнате превратить лишь в стимул ученику обратить внимание на особенности натуральных чисел и решения задач в среде таких чисел.

Ремарка: Статья была написана мной к началу 2006 учебного года в сборник «Шпаргалки для юных математиков». Использовалась пару раз во внеклассных уроках. Публикую здесь в расчёте на «сарафанное радио» хабра-сообщества. Наверняка у вас есть знакомые учители математики, им порой приходится подыскивать выдержки из занимательных статей, популяризационные материалы для какого-то из планируемых уроков. Думаю, это сможет им пригодиться.

Сама статья

В этот раз, как периодически полагается делать юным математикам, устроим себе отдых и перейдём от математики строгой к математике поэтичной. А чтобы отдых был содержательным, сочиню вам один рассказ в стихах, где сюжет вращается вокруг математических проблем (этих проблем существует слишком много, потому здесь упомянутся только две из них), терзающих умы человеческие уже не одну сотню лет во имя знания тех вещей, которые ценой практической возможно и не обладают, зато притягательны неимоверно из-за неугомонного человеческого желания всё знать.

Как-то вздорил Дьявол с Богом
На предмет слабин людских:
Подопечных Господь славит,
Чёрт кривляется о них.

Грохот слышен всей округе,
Брань звенит, и пыль столбит.
В Чёрта молниями сыплет,
Тот в обрат огнём струит.

Как сдала шальная сила,
Сели в мир передохнуть:
Чёрт сопит ноздрями шумно,
Бога частый дых свистит.

Так сидели до полудня,
В те минуты пыл и скис.
Вот уж Дьявол кислой рожи
Поменял на хитрый лик:

— Всё равно земные дети -
Слабаки, как ни крути!
— Ну, и в чём?! — Творец метнулся.
— А хотя б в науке их!

— Ой ли! — Господь хохотнул. -
Уж тебе ль того судить?
Змий Рогатый возъярился,
Начал гневно землю рыть:

— Хоть к наукам не рядился,
Но задать смогу конец!
— Что ж подашь, Нечиста Рожа?
Не Фермы ли образец?

— Тоже мне, сыскал проказу, -
Саркастично Бес изрёк. -
Эту притчу, Дед Брадатый,
Знаю всю аж наперёд:

«Если Кью крупнее двух,
Не сложить людскому роду
А да Бэ, взведя те в Кью,
В Кьютый Цэ за всю их жизнь».

Бог воспрянул от волненья,
Хочет спор с врагом творить,
Но, размыслив хорошенько,
Всё ж позволил говорить:

— Даже знаю, Старче Дряхлый,
Что чрез множество веков
Пьер Ферма, француз монаший,
Разгадает сей закон.

И запишет в поле книги
Диофантовых трудов,
Мол, нашёл тому истоки
Расчудесней всех ходов.

Сын, по смертиеву бати,
Сбросит книгу во толпу.
Тем вскружит учёны страсти,
Знатных силищ чехарду.

Яд испьёт всяк окоснувшись
Ей манящей простотой.
Станет рабом суммы цыфирь,
Ввергнут будет в вечный бой.

И покроют благим матом
Математики мужи
Всех застрявших в сём разврате
За никчёмных сил транжир.

Только станут те не правы,
Ведь причина-то сия:
Слишком сложные управы
Надобны в решения.

Да к тому же в двор проблемы,
С интересом обручивсь,
Совершат же променады
Славных мужей эка высь:

Эйлер, Гаусс и Жермен,
Что звалась Леблан месье,
Дирихле, Коши и Ламе,
Куммер, Адриен Лежандр,

Лиувилль и Мияока,
Фалтингс Герд и Герхард Фрей,
Да и прочих пребагато,
Кто багажем не слабей.

Наконец осилят скопом
Ту незваную беду
Средством принстонского Эндрю
В один девя-девять пять году.

Триста с гаком лет стечёт,
Прежде чем как по науке
Уайлс избавит всех от муки,
С чем поздравится храбрец.

Лавр Шимуре с Таниямой,
Чья наука помогла:
Эллиптических кривых,
модулярных форм она.

Тут Всевышний поднял руку:
— Стой! Скажу и я вконец:
Так не тех ли называешь
Слабаками ты, подлец?

Как тебе? Способны люди!
Отрицать не смей того.
Если надобности будет,
Порешают всяк письмо.

— Что ж, тогда и я отвечу,
Коль ты память затерял:
Есть задачка в белом свете,
Пред которой люд весь пал.

— Ну, давай уж не играться
Перегибом мер границ.
Есть задачи нерешимы,
Есть решимые для них.

— Э-э, ты вспять подал, Небесный!
Я не молвил о таких.
Та задача, что припомнил,
Проще Пьера закавык.

— В чём тогда твой торг, Лукавый?
Или ты умом поник?
Раз Фермы мудрёность сняли,
Эту справят в один миг.

— Ха, ха, ха! — Чёрт плюнул криво. -
Уж она ль не сиротливо
С покрошённым зубом в ряд
На той полке возлежат?

Бог тут встал, к стене пошёл,
С полки снял талмуд веков,
Сдул с листа всю пыль зубов,
Углубился в чтиво.

Вот чело его вспотело,
Ведь она, кажись, проста.
Душу больно то задело:
С вавилонских лет легла.

Вавилона мудрецы
Обкрошили все резцы.
Дальше греки подробились,
Пифагор не сладил с ней.

«Да, — вздохнул в мыслях Создатель, -
В книге жизни-то земной
Тыщи лет тому вперёд
Не видать её исход».

— Ну? — смешком язвит Чертяка. -
Что в унынье ты, Творец?
До двух тысячи шестого
Не ищи ты там ответ.

— А быть может, кто попозже
Разуправится-то с ней?
Ведь читается как просто.
Неужель не сладят с ней?

Я гонцов отправлю в земли,
Протрубят во все концы,
Чтоб о сём могли почуять
Удаль в удаль мудрецы.

— Что ж, дерзай-ка, Вседержитель.
Пусть посыльные велят
Передать во всяки уши
Мой сей дьявольский загад:

«Вот ответьте удальцы,
Можно ль комнату такую,
Что волшебной величать,
Выстроить в пору любую,

Чтоб притом меж всех углов
Диагонали были целы,
Как и с ними же впридачу
Целость виделась ребров?»

Этот спор на том не кончен,
Долго мерились они:
Честь супротив заниженья
Доблести сынов земли.

Мы не станем то уж слушать,
Нас другим дано занять:
Реноме своё заверить -
Только людям то под власть.

Некоторые пояснения

Если кто не понял, первая проблема, о которой так красноречиво поведал Чёрт, называется Великой (или Большой, или Последней) теоремой Ферма: уравнение aq+bq=cq не решается в натуральных (целых положительных) числах, если q>2 (напомним, чёрт изложил эту запись словами: «Если Кью крупнее двух, не сложить людскому роду А да Бэ, взведя те в Кью, в Кьютый Цэ за всю их жизнь», понимая под неизвестными именно целые числа).

Ближе к середине 17 века французский монах Пьер Ферма, которого в своё время никто особо не почитал за сильного математика, сформулировал теорему, но не оставил доказательства, а вместо этого сохранил вызывающее замечание, что он знает удивительное тому подтверждение. Все сформулированные им теоремы, в коих он редко утруждал себя приведением доказательств, позже подтвердились, кроме этой последней. Потому вокруг неё случилась такая шумиха.

За 3 с половиной сотни последних лет (по состоянию на 1995 год) «ферматистов» — так стали называть пытающихся доказать Великую теорему Ферма — начали считать за полоумных, заниматься поиском доказательства этой теоремы стало признаком дурного математического образования, так как среди «ферматистов» было много не только талантливых математиков, но и ещё больше личностей с посредственными математическими способностями.

В 1995 году теорема была убедительно доказана профессором Принстонского университета Эндрю Уайлсом в результате обнаружения доказательства гипотезы японских математиков Горо Шимуры и Ютаки Таниямы о соответствии каждой эллиптической кривой своей модулярной формы (более точно, доказательство теоремы было представлено в 1993 году, и до 1995 года математическое сообщество скрупулёзно проверяло все пункты доказательства, и в конце концов доказательство было признано абсолютно верным).

Вторая проблема, загаданная Чёртом, известна широким кругам общественности вроде бы меньше, хотя в отличие от Великой теоремы Ферма, которая продержалась почти четыреста лет непокорённой, эта проблема стоит непокорённой уже свыше 2 тысяч лет. Ею занимались и древние, и не очень древние, и современники. Пока никому не улыбнулась удача.

Имеет имена эта проблема такие: задача о волшебной комнате, задача о целочисленном кирпиче, задача о рациональном кубоиде. Всего-то требуется ответить (с доказательством) на простой вопрос: существует ли воображаемая прямоугольная комната, у которой одновременно все диагонали и рёбра измерялись бы только целыми числами? Записывается она системой из 4 пифагоровых уравнений (то есть должных решаться одновременно):


a2 + b2 = c2           c = диагональ на стене 1 (торцевая)
a2 + d2 = e2           e = диагональ на стене 2 (боковая)
b2 + d2 = f2           f = диагональ на полу
c2 + d2 = g2           g = диагональ в пространстве (левый нижний угол — напротив правый верхний)

a, b, d = высота, ширина, длина комнаты


Никаких вам разных степеней, как в теореме Ферма. Напротив, здесь всё очень просто, даже чудовищно просто: только вторая степень, все числа натуральные, высокая связанность неизвестных в системе уравнений (то есть свойства одной неизвестной влияют на свойства других уравнений системы, а свойства тех в свою очередь влияют на свойства этого уравнения), по отдельности решение таких уравнений известно. Например во взаимно простых числах


a2 + b2 = c2

a = m2 — n2           где m и n — любые натуральные числа разной чётности и условием m>n
b = 2mn
c = m2 + n2


Однако не обольщайтесь обманчивой простотой. Приплюсуйте сюда и то, что в теореме Ферма была хоть какая-то определённость: Ферма утверждал о невозможности решений, и ему интуитивно доверяли, потому поиски преимущественно велись в русле отсутствия решений. А в этой задаче никто не сообщит, хотя бы в каком из двух русел расположен ответ. Попытки решить её методом грубой силы ни к чему не привели. Компьютер перебирал миллионы комбинаций, в лучшем случае 1 неизвестная оказывалась нецелой (то есть пространственная диагональ комнаты, или какая-то её боковая диагональ, или какое-то ребро комнаты имеет нецелую длину). Например, укажем пару несложных комбинаций из них (неизбежная дробная часть отмечена подчёркнутым):


2402 + 442 = 2442
2402 + 1172 = 2672
442 + 1172 = 1252
2442 + 1172 = 270,6...2


6722 + 1042 = 6802
6722 + 1532 = 689,197...2
1042 + 1532 = 1852
6802 + 1532 = 6972


Но что есть миллионы комбинаций в сравнении с бесконечностью их вариантов? Можно ли на основе данных компьютерного перебора предпочесть одно из русел поиска? Безусловно, нет. Вот уж где понадобилась бы проницательность Пьера Ферма. Как это его угораздило пройти мимо такой задачи?

Учителю: Рекомендуется ограждать учеников от лишнего азарта. Сразу подчеркните, что решение задачи о волшебной комнате не имеет практической ценности. Это просто красивая занимательная задачка, не более того. Объясните, что за попытку решить полагается лишь похвала «Молодец!» в кругу сверстников, чтобы ученики невольно не ударились в «ферматизм».

Учителю: В скором времени в разделе Математика будут размещены другие интересные математические публикации школьного уровня, выдержки из которых могли бы стать хорошими элементами урока. Указанный раздел создан по программе поддержки одного научно-популярного портала, утратившего развитие.

Автор: ImperaCMS

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля