Отыскание периодических решений одного класса неавтономных систем дифференциальных уравнений

в 19:08, , рубрики: дифференциальные уравнения, математика, периодические решения, символьные вычисления, метки: , ,

В прикладной математике иногда возникает задача построения периодических решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

image

где функция image представляет собой сумму

image

многомерного многочлена image и тригонометрического полинома image, являющегося image-периодической векторной функцией.

Многие из теорем существования периодических решений системы (1) используют тот фундаментальный факт, что такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Однако использование данных теорем для непосредственного нахождения нужного периодического решения, скорее всего, не представляется возможным.

Пусть известно, что система (1) имеет единственное image-периодическое решение image. Примерами систем, имеющих единственное периодическое решение, являются системы с конвергенцией (Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М., Л.: Наука, 1964). Рассмотрим один класс таких систем, для которого можно построить приближения к решению image.

Пусть image — вектор, что

image

Здесь для простоты рассуждений мы полагаем, что начальный момент времени равен нулю. Тогда, если удастся определить вектор image, то мы сумеем построить искомое периодическое решение.

Введем условия, накладываемые на функцию image:

1. Пусть image — замкнутый шар радиуса r, содержащий значения решения image, image — замкнутый шар радиуса R, причем image, и существует такое положительное число image, что для любых image имеет место неравенство

image

2. Существует такое положительное число image, что для всех image и любых image выполняется неравенство

image

На рис. 1 приведена графическая иллюстрация этих условий для системы (1) второго порядка.

image
Рис. 1. Иллюстрация условий 1-2 для системы второго порядка.

В моей работе показано, что в этом случае последовательные приближения

image
image

для любого вектора image сходятся равномерно для всех image к некоторой функции image. Причем, если выбрать image, то окажется, что

image

Исходя из формулы (2), каждая итерация вычисляется в символьной форме. При этом после преобразований тригонометрических функций под интегралом всегда можно получить тригонометрический полином с нулевым средним интегральным значением. Аналитическая форма представления приближения к периодическому решению удобна тем, что дает возможность провести анализ гармоник, составляющих это приближение. После вычисления очередной итерации строится функция

image

минимум которой и даст приближение к вектору image.

В качестве примера была рассмотрена нелинейная система второго порядка с конвергенцией вида (1) (в работе указаны значения радиусов шаров), где

image

image. Обнаружено, что на первой и второй итерациях значения найденных приближений к вектору image одинаковы, и

image

Проверено, что траектория исследуемой системы второго порядка, соответствующая найденной начальной точке, возвращается в ее окрестность через период (рис. 2).

image
Рис. 2. Дуга траектории, соответствующей найденному вектору image.

По данной теме можно посмотреть мой доклад на математической конференции (прошу прощения за качество видео — снимали на телефон).

Автор: pchelintsev_an

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля