О вычислении матричной экспоненты

в 18:42, , рубрики: c++, алгоритм, Алгоритмы, математика, матрица, рекуррентное соотношение, след матрицы, степень матрицы, теорема Гамильтона-Кэли

image

При построении и анализе поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений иногда требуется определять матричную экспоненту [1]. Классический метод связан с тем, что приходится рассчитывать большие степени матриц. В данном топике рассматривается алгоритм приближенного вычисления матричной экспоненты, который за фиксированное число матричных операций дает результат с заданной точностью. Проведен вычислительный эксперимент с целью анализа эффективности алгоритма.

1. Вычисление матричной экспоненты

Вычисление экспоненты
image
где E — единичная матрица, t — время, связано с необходимостью расчета высоких степеней матрица A. Получим формулу, позволяющую определить матричную экспоненту с помощью n степеней матрицы A (n — ее порядок).

Пусть характеристическое уравнение матрицы A имеет вид
image
По теореме Гамильтона-Кэли [2] матрица A удовлетворяет матричному уравнению, аналогичному (2):
image
откуда
image
Следуя методу Д.К. Фаддеева [2], коэффициенты характеристического уравнения определяются по рекуррентному соотношению
image
где image — след матрицы image (сумма элементов, стоящих на главной диагонали), image

Далее введем обозначение: если m=0, то image; иначе (при натуральном m)
image

Умножим обе части соотношения (3) на матрицу A с учетом введенных обозначений. Получим
image
Выражение (5) можно переписать как
image
Теперь умножим обе части равенства (6) на матрицу A, подставив при этом в полученное соотношение формулу (3):
image
Тогда из выражения (7) с помощью последовательного умножения на матрицу A обеих его частей следует, что
image

Теперь представим матричную экспоненту как
image
Откуда имеем
image

2. Описание алгоритма

Для реализации вычисления матричной экспоненты, согласно (8), был применен следующий алгоритм. Сначала нужно инициировать результат значением нулевой матрицы. Вычислить image для k от 0 до n. Далее выполнить для k от 0 до n–1 следующую последовательность операций:
1. Вычислить сумму image. В качестве критерия прекращения суммирования использовать условие image, где image — положительное число, характеризующее точность вычисления суммы.
2. Используя значения, полученные ранее, определить произведение image и прибавить его к текущему значению результата.

При вычислении матричной экспоненты с помощью данного алгоритма используется рекуррентное соотношение (4). При больших значениях m и k большинство значений q будут рассчитываться повторно много раз. Поскольку q(m,k) является чистой функцией (зависит только от входных аргументов), то будет разумно применить стратегию мемоизации.

Мемоизация — оптимизационная техника, заключающаяся в запоминании результатов вычисления функции для предотвращения множественного расчета значения функции от одних и тех же аргументов. Данная оптимизация позволяет улучшить временные характеристики алгоритма за счет увеличения затрат памяти.

3. Сравнение с классическим алгоритмом

Разработанный алгоритм обеспечивает вычисление матричной экспоненты, используя только n степеней матрицы, в то время как классический алгоритм (1) не детерминирован, и вычисления степеней матрицы продолжаются, пока не выполнится условие останова алгоритма. Обычно таким условием является

image

Заметим, что классический алгоритм имеет потребление памяти image. Описанный алгоритм, в виду необходимости хранить n-1 степень матрицы A, имеет потребление памяти image.

Нами был проведен вычислительный эксперимент с целью сравнить быстродействие алгоритмов. Для этого была разработана KipDblK программа из комплекса [3] на языке C++, реализующая оба алгоритма. С помощью данной программы были произведены расчеты матричной экспоненты для матриц различного размера. Порядок матрицы изменялся от 2 до 100. Матрица инициализировалась случайными числами в диапазоне [0;1]. Экспонента вычислялась для t=1. Результаты сравнительного эксперимента представлены на рис. 1. По оси абсцисс отложен порядок матрицы A, по оси ординат — время счета. Полученные точки соединены сплайнами для наглядности.

image

Рис. 1. Сравнение временных характеристик классического алгоритма (верхняя кривая) вычисления матричной экспоненты и описанного в данном топике (нижняя кривая).

P.S.

Данный топик был подготовлен по материалам нашей статьи [4].

Литература

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967.
3. KipDblK maxima_comm.tar.gz.
4. Безгин С.В., Пчелинцев А.Н. Организация матричных и символьных вычислений для исследования поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Системы управления и информационные технологии, 2012. Т. 47, №1. — С. 4-7.

Автор: pchelintsev_an

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля