- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Системы компьютерной математики (СКА) творят чудеса. Развитие математических пакетов достигло того уровня, когда невольно закрадывается мысль — а зачем нам теперь нужны классические методики преподавания математики (или физики, или механики) в школе или вузе, если большую часть «грязной» работы по преобразованию выражений можно переложить на плечи машины. А если нельзя, или трудно получить аналитическое решение задачи, то почему бы не «прощелкать» её численно в одном из популярных пакетов. Так что, давайте ограничим уровень понимания учеников составлением исходной системы уравнений, а решать учить не будем — всё легко и непринужденно сделает за них компьютер.
Не буду скрывать, что катализатором для написания данного поста послужила статья про задачу о двух старушках, [1] любительницах пеших прогулок, взятая из книги В. И. Арнольда. В связи с этим, появилась мысль рассмотреть простую математическую задачу, решение которой показывает, что возможности СКА часто упираются в, довольно закономерный, верхний предел, и для получения компактного решения, пригодного для дальнейшего анализа, необходимо таки немного напрячь извилины.
Когда, в не слишком далеком 2003 году я начал работать над кандидатской диссертацией, я столкнулся с необходимостью решать систему тригонометрических уравнений вида
причем на корни уравнения накладываются условия
Где мы сталкиваемся с такими системами? При расчете кинематики замкнутых четырехзвенников, например. Такой замкнутый четырехзвенник был в моей работе, почти такой же попался мне около года назад, когда я взялся сделать «шабашку» (помог одному профессору в его работе).
Тогда, в 2003-м я только познакомился с системой Maple и был в восторге от её возможностей, естественно я поручил эту систему ей. И меня ждал «облом»… Посмотрим, какое решение дают Maple 18 и Mathematica 10 для этой задачи сегодня.
В моем любимом Maple задаем систему уравнений
restart;
eq01 := a*cos(x) + b*cos(y) = A;
eq02 := a*sin(x) - b*sin(y) = B;
и пробуем решить
solv := solve({eq01, eq02}, {x, y});
и получаем…
Эта бяка не влезла в онлайн-LaTeX, поэтому пришлось привести скриншот. Такой результат получается из-за того, что постановка задачи слишком общая. Необходимо указать системе, какое решение нас интересует, воспользовавшись условием (3)
solv := solve({eq1, eq2, x > 0 and x < Pi, y > 0 and y < Pi}, {x, y});
В этом случае результат выглядит получше
Ещё раз попрошу прощения у читателя за корявый скриншот и замечу, что мы получили два решения системы (1) — (3) и нам теперь ещё предстоит разобраться, какой ответ соответствует механическому смыслу задачи (он там есть, да), а учитывая, что за a, b, A и B могут таится довольно значительные выражения (не зависящие, естественно, от x и y) нам должно стать довольно грустно в этот момент.
У системы Mathematica 10 с этими уравнениями лучше дела обстоят в том смысле, что она получает конечную форму общего решения, часть которого на скрине
Если систему дополнить условием (3), то Вольфрам говорит нам, что Solve[...] не имеет метода решения для такого случая (был бы признателен читателю за подсказку по этому вопросу, ибо считаю что сам я вопрос изучил не полностью, а пока продолжу повествование).
Кроме того, обе СКА выдают в решении богомерзкий арктангенс, который не всегда удобен по разным причинам, о которых говорить не буду — в каждом случае причины свои.
Когда мой покойный ныне «шеф» увидел эти решения в 2003 году, он задумался и изрек, что «эти крокодилы надо причесать», чем заставил меня погрузится в дальнейшие раздумья. И я снова вооружился листком бумаги и карандашом…
Чтобы получить достаточно компактное решение, надо преобразовать систему (1) — (3) к линейной относительно неизвестных. Для этого надо воспользоваться школьными знаниями по тригонометрии.
Итак, возведем уравнения (1) и (2) в квадрат и сложим, перенеся всё, что не зависит от x и y в правую часть уравнения
left1 := lhs(eq01):
left2 := lhs(eq02):
right1 := rhs(eq01):
right2 := rhs(eq02):
eq03 := simplify(left1^2 + left2^2)= right1^2 + right2^2;
eq03 := eq03 - (a^2 + b^2);
left3 := combine(lhs(eq03));
eq03_1 := left3 = rhs(eq03);
используя формулу «косинус суммы», получим новое уравнение
Теперь, разрешая его относительно суммы неизвестных приходим к линейному уравнению
Линейное уравнение оно и в Африке линейное — найдя одну неизвестную, получим и другую. Займемся другой неизвестной, исключив x из одного их уравнений. Так как у нас есть условие (3), то очевидно, что
а это дает нам возможность воспользоваться основным тригонометрическим тождеством без неоднозначности «плюс-минус»
Косинус икса берем из первого уравнения
получая, таким образом для синуса икс
Чтобы не пыхтеть над бумагой, поручим всё это Maple
eq01_1 := subs(cos(x) = u, eq01);
slv := solve(eq01_1, u);
eq02_1 := subs(sin(x) = sqrt(1-slv^2), eq02);
eq02_1 := eq02_1 + b*sin(y);
имея на выходе уравнение
Уравнение (7) надо возвести в квадрат и провести некоторые преобразования
left := expand(lhs(eq02_1)^2):
right := expand(rhs(eq02_1)^2):
eq02_2 := collect(simplify(right - left), b);
eq02_3 := subs(coeff(eq02_2, b) = tmp, eq02_2);
slv2 := solve(eq02_3, tmp);
eq02_4 := -2*A*cos(y) + 2*B*sin(y) = slv2;
eq02_5 := eq02_4/(-2);
А теперь выполним, известный многим, «финт ушами»
left2 := lhs(eq02_5);
left3 := subs(A = O2A*cos(xi), B = O2A*sin(xi), left2);
left4 := subs(O2A = sqrt(A^2 + B^2), combine(left3));
то есть, делим обе части уравнения на [13] и сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы, справедливо полагая что
Получаем новое уравнение,
которое успешно решаем относительно y
eq02_6 := left4 = rhs(eq02_5);
slv3 := subs(xi = arccos(A/sqrt(A^2 + B^2)), solve(eq02_6, y)):
Как видим, игрек вышел довольно компактным. Возвращаемся к уравнению (5) и находим икс
А теперь сравнив полученное с вышеприведенными «крокодилами», сделаем
Системы компьютерной алгебры — незаменимый помощник современного ученого, упрощающий ему жизнь и избавляющий от необходимости зарываться в «простыни» решений на бумаге, избавляющий от досадных ошибок/описок, освобождающий
Спасибо за внимание к моей писанине!
Автор: maisvendoo
Источник [19]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/88816
Ссылки в тексте:
[1] статья про задачу о двух старушках,: http://habrahabr.ru/company/nerepetitor/blog/255061/
[2] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=acos&space;x&space;+&space;bcos&space;y&space;=&space;A&space;quad&space;(1)
[3] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=asin&space;x&space;-&space;bsin&space;y&space;=&space;B&space;quad&space;(2)
[4] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x,&space;y&space;in&space;left(0,&space;pi&space;right&space;)&space;quad&space;(3)
[5] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=2,abcos&space;left(&space;x+y&space;right)&space;={A}^{2}+{B}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}&space;quad&space;(4)
[6] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x&space;+&space;y&space;=&space;arccos&space;frac{A^2&space;+&space;B^2&space;-&space;a^2&space;-&space;b^2}{2,ab}&space;quad&space;(5)
[7] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sin&space;x&space;>&space;0,&space;quad&space;sin&space;y&space;>&space;0&space;quad&space;(6)
[8] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sin&space;x&space;=&space;sqrt{1&space;-&space;cos^2,&space;x}
[9] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=cos&space;x&space;=&space;frac{1}{a}left(A&space;-&space;bcos&space;y&space;right&space;)
[10] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sin&space;x&space;=&space;frac{1}{a}sqrt{a^2&space;-&space;left(A&space;-&space;bcos&space;y&space;right&space;)^2}
[11] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=asqrt&space;{-{frac&space;{&space;left(&space;-bcos&space;left(&space;y&space;right)&space;+A&space;right)&space;^{2}}{{a}^&space;{2}}}+1}=B+bsin&space;left(&space;y&space;right)&space;quad&space;(7)
[12] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=Acos&space;left(&space;y&space;right)&space;-Bsin&space;left(&space;y&space;right)&space;=frac{1}{2},{frac&space;{{A}^{2}+{&space;B}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}}{b}}&space;quad&space;(8)
[13] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sqrt{A^2&space;+&space;B^2}
[14] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sin&space;xi&space;=&space;frac{B}{sqrt{A^2&space;+&space;B^2}},&space;quad&space;cos&space;xi&space;=&space;frac{A}{sqrt{A^2&space;+&space;B^2}}
[15] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=sqrt&space;{{A}^{2}+{B}^{2}}cos&space;left(&space;y+xi&space;right)&space;=frac{1}{2},{frac&space;{{A}^{2}&space;+{B}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}}{b}}
[16] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=y&space;=&space;-arccos&space;left(&space;{frac&space;{A}{sqrt&space;{{A}^{2}+{B}^{2}}}}&space;right)&space;+arccos&space;left(&space;{frac&space;{{A}^{2}+{B}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}}{2bsqrt&space;{{A}^{2}+{&space;B}^{2}}}}&space;right)
[17] Image: http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=x&space;=&space;arccos&space;left(&space;{frac&space;{A}{sqrt&space;{{A}^{2}+{B}^{2}}}}&space;right)&space;-arccos&space;left(&space;1/2,{frac&space;{{A}^{2}+{B}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}}{sqrt&space;{{A}^{2}+{&space;B}^{2}}b}}&space;right)&space;+arccos&space;left(&space;1/2,{frac&space;{{A}^{2}+{B}^{2}-{a}^{2&space;}-{b}^{2}}{ab}}&space;right)
[18] мозг: http://www.braintools.ru
[19] Источник: http://habrahabr.ru/post/255705/
Нажмите здесь для печати.