Метка «геометрия»

Играем с Евклидом
Отличное интерактивное пособие для школьников, ну а для окончивших школу технарей — возможность ненадолго вернуться в детство.
Помните эти задачи «при помощи циркуля и линейки постройте...»?
Вот здесь можно поупражняться в таких построениях.
20 уровней построены по принципу «от простого к сложному». Предыдущие достижения (к примеру, умение строить равносторонний треугольник) на следующих уровнях доступны уже в виде инструментов.
Прошёл всё, правда на последнем уровне пришлось немного повозиться с касательными к окружностям.

Читать полностью »

Математики нашли способ одновременного соприкосновения 7 цилиндров

Более 50 лет назад автор популярных статей о математике в журнале Scientific American Мартин Гарднер предложил читателям задачу: «Можете ли вы разместить семь сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась со всеми остальными?».
Читать полностью »

Для студентов технических специальностей ВУЗов в качестве исторической справки.
Заведующая автомобильно-механическим отделением Лозовского филиала Харьковского автомобильно-дорожного техникума, преподаватель высшей категории, Кожокару Елена Владимировна

125 лет назад, 31 марта 1889 г., состоялось официальное открытие самой узнаваемой архитектурной достопримечательности Парижа — Эйфелевой башни. Теперь она известна во всем мире как символ Франции.

Во время строительства Густав Эйфель решил выгравировать под первым балконом башни, на всех четырёх её сторонах, имена 72-х самых известных французских инженеров, математиков и ученых, которые внесли весомый вклад в историю развития науки. Причем, какой-либо алфавитный или хронологический порядок следования имён на башне отсутствует.

История Эйфелевой башни и… «Начертательная Геометрия»
Эйфелева башня, Париж
Читать полностью »

Ещё из школьного курса алгебры все знают, как определить количество корней в квадратном уравнении. Оказывается, на аналогичный вопрос о кубическом уравнении проще всего ответить, перейдя от алгебры к геометрии, а решать само уравнение для этого вовсе не обязательно. Важная геометрическая конструкция, о которой пойдет речь на лекции, используется в математике и для других целей.

Начнем мы издалека, с квадратных уравнений. Возьмем простое уравнение: x2+px+q=0. Теперь определим, сколько у него корней в зависимости от p и q. Два корня у нас будет в том случае, если p2-4q>0. Если же p2-4q<0, то у нашего уравнения будет 0 корней. Ну и в промежуточном варианте p2-4q=0 будет один корень.

Теперь рассмотрим подобное кубическое уравнение: x3+ax2+bx+c=0. И поставим такой же вопрос: сколько корней будет у уравнения, в зависимости от a, b и c. Формула для корней кубического уравнения была открыта еще в XVI веке, однако понять с ее помощью, сколько у уравнения может быть корней, достаточно затруднительно, и сегодня мы ей пользоваться не будем. Мы постараемся узнать, сколько у уравнения корней, формулы для них не находя.
Читать полностью »

Сегодня мы поговорим об одной из первых задач теории больших сетей, которая может быть решена полностью на самом простом базовом уровне, но которая от этого не становится менее интересной. Это задача о кратчайшей системе дорог или задача Штейнера.

Впервые она появилась, когда еще никаких практических надобностей для больших сетей не было: в тридцатые годы XX века. На самом деле Штейнер начал ее изучать еще раньше, в XIX веке. Это была чисто геометрическая задача, практические приложения которой стали известны только несколько десятилетий спустя.

Разговор пойдет о той области математики, которая впоследствии выросла в теорию больших сетей и разбилась на несколько областей. Это прикладная отрасль, которая задействует очень много методов из других математических дисциплин: дискретной математики, теории графов, функционального анализа, теории чисел и т.д. Бурное развитие теории больших сетей пришлось на конец девяностых и начало двухтысячных годов. Связано это конечно, с прикладными задачами: развитием интернета, мобильной связи, транспортных задач для больших городов. Кроме того теория сетей используется в биологии (нейронные сети), при построении больших электронных плат и т.п.

Сама задача формулируется очень просто. Есть несколько точек на плоскости, которые нужно связать системой дорог наименьшей суммарной длины таким образом, чтобы по этим дорогам можно было из каждой точки добраться в любую другую. Число точек конечно.

Начать рассказ стоит с истории о том, как на Малом мехмате двум группам учеников – восьмиклассникам и одиннадцатиклассникам дали решать одну и ту же задачу. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной четыре километра. Существует ли система дорог, которая связывала бы все эти деревни между собой и имела бы суммарную длину не превосходящую 11 километров.
Читать полностью »

Создание 3D иллюстраций — прототип системы

Привет! В институте на моей специальности был курс 'Начертательная геометрия'. Дисциплина мне понравилась с самого начала. А когда к концу курса я узнал, какие страшные штуки можно вытворять, имея за душой всего линейку и циркуль, начертательная геометрия навсегда покорила мое сердце. С тех пор меня не покидала навязчивая идея сделать что-нибудь на компьютере в духе объемных чертежных построений.

Не так давно, я с удивлением обнаружил, что даже мой ноутбук (далеко не самый новый и мощный) поддерживает стандарт WebGL. Стало понятно, что подходящий момент пришел. В результате некоторых усилий получился прототип системы создания и публикации 3D-иллюстраций.

http://ewclid.headfire.ru/

Интересная возможность, которую удалось реализовать — просмотр иллюстраций на 3D-телевизорах в стереорежиме без каких-либо драйверов и плагинов. Вывод осуществляется прямо из браузера в формате Side-By-Side. В общем-то ради этого все и затевалось.

Вполне возможно, что увидеть систему в работе удастся совсем немногим. Прошу простить за возможные хабра-эффекты и торчащие уши – это лишь прототип. Кто хочет узнать о системе подробнее – прошу под кат.

Читать полностью »

Построение конических сечений

Намедни, отлаживая фрагмент программы, связанной с геометрическими вычислениями я заметил, что одна из переменных имеет одно и то же значение вне зависимости от значений входных параметров. Естественно, в первую очередь я заподозрил ошибку и потратил некоторое время на ее поиски, но, немного подумав, я понял, что это не ошибка, а одно из известных свойств конических сечений о котором зачастую забывают. После этого я потратил уже значительно больше времени, рисуя красивые геометрические построения, и в итоге решил, что стоит поделиться картинками с кем-то. Так появилась эта пятничная статья.
Читать полностью »

Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.
Пространства с иным числом Пи

Читать полностью »

Иногда мне в голову попадают задачи, не имеющие какой-то очевидной практической ценности, но, тем не менее, они захватывают так или иначе мое воображение, по крайней мере, пока не решу. Практическая ценность задачи, как правило, нулевая, но в процессе решаются другие, которые могут иметь бОльшую ценность, чем решенная.

Все началось с желания изучить свойства правильных октагонов и октаграмм, но результаты оказались применимы ко всем выпуклым многоугольникам (полигонам) и звездам, построенным в них (по аналогии назову их полиграммами — пентаграмма, гексаграмма, септаграмма, октаграмма и т.д. — хотя этот термин имеет и иные значения).

Для начала терминология. Пентаграммой называют совокупность всех диагоналей пятиугольника, в случае гексаграммы — это уже не все диагонали, а только те, которые соединяют непротивоположные вершины шестиугольника. Во обоих случаях эти вершины идут через одну друг от друга. Например, если вершины пятиугольника перенумеровать (0, 1, 2, 3, 4), то пентаграмма — совокупность линий (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 0), (4, 1). Гексаграмма (0, 1, 2, 3, 4, 5), соответственно, является совокупностью линий (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 0), (5, 1). Нули в качестве начальной точки взяты не случайно и не как дань програмистскому мышлению, удобство этого обозначения я опишу ниже. Линии, образующие полиграмму, я буду называть ребрами. Вершинами полиграммы я буду называть вершины исходного полигона, а не все точки пересечения ребер.

О звездах

Читать полностью »

Вчерашняя провокационная реклама Microsoft против планшетов iPad вызвала массу споров. Среди доводов критиков есть один аргумент, который объективно уличает рекламу Microsoft во лжи. Речь идет о страничке на официальном сайте, где сравниваются технические характеристики iPad и планшетов под Windows 8.

Вот как показана на сайте разница в размере экрана iPad (слева) и планшета Asus VivoTab Smart (справа).

Хитрый трюк в рекламе Microsoft

Левая картинка имеет размер 102×79 пикселов, а правая — 140×78. Создаётся впечатление, что экран Asus на 36% больше по площади, чем экран iPad.
Читать полностью »