Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

в 14:20, , рубрики: Без рубрики

Здесь я расскажу, как при помощи математических формул нарисовать красивую звездочку к 23 февраля. В конце поста вы найдете математическую открытку к 8 Марта.
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Этот пост является продолжением моего предыдущего поста Математические рисунки для начинающих.

Сразу оговорюсь, что звезду можно нарисовать, соединив вершины правильного пятиугольника через одну (статья на Википедии), но мне хотелось бы получить простую аналитическую формулу, которую можно записать в одну строчку.
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Будем использовать полярные координаты Математическая звезда ко Дню защитника Отечества: Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — длина радиус-вектора, Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — ориентированный угол между осью Ox и радиус-вектором.
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Сначала нарисуем вот такую звездочку, а потом повернем ее на 90° против часовой стрелки.
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Нам понадобится полярное уравнение прямой. Чтобы получить это уравнение, сначала запишем нормальное уравнение прямой:
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества
Здесь Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — угол между вектором нормали к прямой и осью Ox, Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — отклонение начала координат от прямой, которое равно плюс или минус расстоянию от начала координат до прямой в зависимости от направления вектора нормали к прямой.
Подставляя в нормальное уравнение выражение декартовых координат через полярные Математическая звезда ко Дню защитника Отечества, получаем полярное уравнение прямой:
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Для того чтобы задать звезду в полярных координатах, разделим множество полярных углов Математическая звезда ко Дню защитника Отечества (или, если хотите, единичную окружность) на 10 равных частей и на каждом промежутке Математическая звезда ко Дню защитника Отечества зададим прямую со своими параметрами Математическая звезда ко Дню защитника Отечества и Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Заметим, что в силу симметрии звезды параметр Математическая звезда ко Дню защитника Отечества будет один и тот же для всех прямых (для всех Математическая звезда ко Дню защитника Отечества).

Посмотрите на картинку в самом начале поста. Последняя формула — это итоговое уравнение звезды, связывающее полярные координаты Математическая звезда ко Дню защитника Отечества и Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Это уравнение получается из уравнения Математическая звезда ко Дню защитника Отечества преобразованием поворота звезды на угол Математическая звезда ко Дню защитника Отечества против часовой стрелки. Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — это кусочно-постоянная функция, определяющая угол наклона прямой на каждом промежутке полярных углов.

Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Найдем параметры Математическая звезда ко Дню защитника Отечества и Математическая звезда ко Дню защитника Отечества на промежутке Математическая звезда ко Дню защитника Отечества (участок А на рисунке).
На рисунке Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — половина угла луча звезды, Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — вектор нормали к прямой.
Для данного промежутка Математическая звезда ко Дню защитника Отечества, параметр Математическая звезда ко Дню защитника Отечества находим из полярного уравнения прямой для Математическая звезда ко Дню защитника Отечества: Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Здесь Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — расстояние от начала координат до вершины звезды.
Как было сказано выше, для всех участков параметр Математическая звезда ко Дню защитника Отечества один и тот же, мы его уже нашли. Для участка Б параметр Математическая звезда ко Дню защитника Отечества будет противоположный: Математическая звезда ко Дню защитника Отечества.

Теперь нам остается найти значения параметра Математическая звезда ко Дню защитника Отечества для остальных лучей звезды. Пронумеруем их: для рассмотренного луча звезды при Математическая звезда ко Дню защитника Отечества порядковый номер Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Порядковому номеру Математическая звезда ко Дню защитника Отечества соответствует промежуток Математическая звезда ко Дню защитника Отечества.

Очевидно, что при переходе от луча звезды к следующему к параметру Математическая звезда ко Дню защитника Отечества прибавляется Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Следовательно, для луча с номером Математическая звезда ко Дню защитника Отечества имеем Математическая звезда ко Дню защитника Отечества (*).

Для заданного Математическая звезда ко Дню защитника Отечества номер луча можно найти из неравенства Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. Получим Математическая звезда ко Дню защитника Отечества.

Каждый луч звезды состоит из двух отрезков: на промежутке Математическая звезда ко Дню защитника Отечества в формуле (*) для Математическая звезда ко Дню защитника Отечества нужно взять знак «минус», а для промежутка Математическая звезда ко Дню защитника Отечества — знак «плюс».
Знак можно записать следующим образом: Математическая звезда ко Дню защитника Отечества.

Вот, собственно, и всё. Определив функции Математическая звезда ко Дню защитника Отечества и Математическая звезда ко Дню защитника Отечества (см. картинку в самом начале), можно записать выражение для функции Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. А уже эта функция входит в полярное уравнение прямой.

Параметр Математическая звезда ко Дню защитника Отечества (половина угла луча звезды) можно варьировать. Приведенная в начале звезда соответствует значению Математическая звезда ко Дню защитника Отечества. При Математическая звезда ко Дню защитника Отечества получаем звездочку, похожую на морскую звезду:
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества
При Математическая звезда ко Дню защитника Отечества получаем остроконечную звезду:
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Чтобы нарисовать звезду в Wolfram Mathematica, можно использовать следующий код:

gamma = Pi/10;
rho = 1;
p = rho*Sin[gamma];
k[phi_] := Floor[(phi + 0.2*Pi)/(0.4*Pi)];
s[phi_] := Sign[phi - 0.4*k[phi]*Pi];
alpha[phi_] := s[phi]*(Pi/2 - gamma) + 0.4*k[phi]*Pi;
PolarPlot[p/Cos[phi - Pi/2 - alpha[phi - Pi/2]], {phi, 0, 2*Pi}, PlotStyle -> Directive[Red, Thickness[0.01]]]

В заключение приведу математическую открытку к 8 Марта.
Эта кривая — не что иное, как перевернутая лемниската Бернулли.
Математическая звезда ко Дню защитника Отечества

Автор: grenkin

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля