Интересное и простое из комбинаторики. Функция Эйлера

Прежде всего хочу сказать, мне всего 14 лет. Я надеюсь, что информация, которой поделюсь, будет для кого-то интересна.
Речь пойдет о некоторых задачах комбинаторики.

Сколько вариантов расставить n предметов?

Способ №1

Первое, что приходит на ум обычному человеку: «Возьму-ка я 3 предмета и начну их расставлять в ряд. Сколько разных комбинаций получится — столько вариантов расстановок и есть». Да, это так. Но есть способ, который по своей простоте опережает приведенный ранее способ.

Факториал — количество способов расставить n предметов.
Факториал высчитывается перемножением чисел от 1 до n.
Обозначается n! (читать как факториал n).

Допустим, нам нужно узнать, сколько вариантов в расстановке 10 предметов. Умножаем: 1x2x3..x10
Получим: 10! = 3628800

Как из n предметов выбрать k предметов?

Допустим, вы — организатор лотереи. Из 10 участников вам нужно выбрать 2 победителя. Вы можете узнать количество способов сделать это.
Так же как и в случае с факториалом, можно посчитать вручную. Выбирать n предметов, пока не иссякнут все варианты.
Цитирую: но есть способ, который по своей простоте опережает приведенный ранее способ.

Число сочетаний — это количество способов из n предметов выбрать k предметов.
Обозначается так:

Высчитывается по формуле:
Итак, сколько же способов из 10 участников выбрать 2 победителя?

Ответ вполне себе простой -

Числа Фибоначчи

Стоит отдать должное человеку, который «придумал» эти числа. Леонардо Пизанский. Думаю достаточно, чтобы Вы запомнили имя этого великого человека.

Приступим. Числа Фибоначчи применяются в Теории Чисел. Если сказать честно, я знаю не слишком много об этих числах.
Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, в котором каждое последующее числовое значение равно сумме двух предыдущих. Первые два числа Фибоначии — единицы. Соответственно, 3-е число = 2.

Первые 22 числа Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946.

Еще раз повторюсь — я знаю не слишком много об этих числах. Если я еще не слишком вас утомил/отпугнул/надоел — идем дальше.

Функция Эйлера

В этом пункте я попытаюсь выложить все, что знаю об этом. Я потратил достаточно времени и сил, чтобы изучить эту, между прочим абсолютно простою вещь.

По правде говоря, я очень горжусь тем, что такой человек как Леонард Эйлер жил в России.

К делу. Есть три разных способа посчитать функцию Эйлера. На выбор одного из способов влияют некоторые факторы.
Функция Эйлера обозначается (читать как фи от n).

Увы, но этот способ применять следует для высчитывания функции простых чисел.
Например, функция Эйлера для 3 =

Данный способ следует применять если число можно представить как степень какого-то числа. Например, 9 — это
Посчитаем функцию для 9.


Получаем:

Если число нельзя представить как степень, но можно представить как два множителя — этот способ нам и нужен.
Тут немного сложнее. Нужно разложить число на два множителя, посчитать функцию для каждого из множителей и полученные результаты перемножить.
Также хочу отметить, что если число можно представить и как степень и как два множителя, то в преимуществе всегда степень какого-то числа (о как, в рифму).




Таким образом получаем:

Спасибо за внимание.