Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии

в 10:41, , рубрики: wolfram language, wolfram mathematica, π, Блог компании Wolfram Research, визуализация данных, Занимательные задачки, майкл тротт, математика, нормальное число, Программирование, случайные числа, число e, число пи, число чамперноуна, метки:
Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 1

Перевод поста Майкла Тротта (Michael Trott) "Dates Everywhere in Pi(e)! Some Statistical and Numerological Musings about the Occurrences of Dates in the Digits of Pi".
Код, приведенный в статье, можно скачать здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации


Содержание
Получим все даты за последние 100 лет
Найдём все даты в цифрах числа пи
Статистика всех дат
Первые появления дат
Даты в других представлениях и других константах


В недавнем своём посте (см. перевод поста "3/14/15 9:26:53 Празднование «Дня числа Пи» века, а также рассказ о том, как получить свою очень личную частичку числа пи" на Хабре) Стивен Вольфрам писал об уникальном положении векового дня числа пи и представил разные примеры содержания дат в цифрах числа пи (здесь и далее — в десятичном представлении). В этом посте я рассмотрю статистику распределений всех возможных дат за последние 100 лет в первых 10 миллионах цифр числа пи. Мы увидим, что 99,998% цифр представляют собой какую-то дату, и что можно обнаружить миллионы дат в первых десяти миллионах цифр числа пи.

Я сосредоточусь на датах, которые могут быть заданы не более чем шестью цифрами. То есть я смогу одназначно задавать даты в промежутке длительностью в 36 525 дней, начиная с 15 марта 1915 года и заканчивая 14 марта 2015 года.

Начнём с графической визуализации нашей темы для задания настроения.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 2

Получим все даты за последние 100 лет

Как и обычно, день числа пи в этом году выпал на 14 марта.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 3

С векового дня пи 20 века прошло 36 525 дней.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 4

Создадим список из всех 36 525 рассматриваемых дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 5

Для дальнейшей работы определим функцию dateNumber, которая для заданной даты возвращает порядковый номер даты, начиная с первой (15 марта 1915 г. имеет номер 1).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 6

Месяцам с сентября по январь я позволю задаваться лишь одной цифрой — то есть 9 для сентября вместо 09; аналогично и для дней. То есть некоторые даты могут быть заданы разными последовательностями цифр. Функция makeDateTuples генерирует все последовательности целых чисел, представляющих даты. Можно использовать несколько различных обозначений дат — всегда с нулями или всегда в короткой записи. С опциональным включением нулей в запись дней и месяцев получится больше возможных соответствий и больше результатов, так что я буду использовать их в дальнейшем. (А если вы предпочитаете обычный формат записи дат в виде день-месяц-год, то тогда нужно будет просто внести изменения в функцию makeDateTuples).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 7

Даты могут быть представлены одним, двумя либо четырьмя способами:

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 8

Следующий график показывает то, какие дни прошлого года представимы четырьмя, пятью, и шестью цифрами. Первые девять дней в период с января по сентябрь для записи требуют четыре или пять цифр, а последние дни октября, ноября и декабря требуют шесть.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 9

Для быстрого (за постоянное время) повторяющегося распознавания последовательности как даты я задам функции dateQ и datesOf. datesOf дает нормализованную форму последовательности цифр даты. Начнем с создания пары последовательностей и их интерпретации как дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 10

Вот некоторые примеры.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 11

Большинство (77 350) последовательностей могут быть однозначно истолкованы как даты; некоторые (2700) имеют две возможные интерпретации.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 12

Вот некоторые из последовательностей цифр с двумя интерпретациями.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 13

Последовательность {1,2,1,5,4} имеет две интерпретации — как 21 января 1954 или как 1 декабря 1954 — восстановленные с помощью функции datesOf.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 14

Это количества четырех-, пяти-, и шестизначных представлений дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 15

А это число определений каждого из типов, установленных для функции datesOf.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 16

Найдём все даты в цифрах числа пи

Для всех дальнейших расчетов я буду использовать первые десять миллионов десятичных цифр числа пи (позже будет показано, что десяти миллионов вполне достаточно, чтобы найти в них любую дату). Мы запросто можем заменить пи на любую другую константу (код универсален).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 17

Вместо того чтобы использовать полную последовательность цифр как строку, я буду использовать последовательность цифр, разделённую на (перекрывающиеся) последовательности. Теперь можно быстро и независимо работать с каждой последовательностью. И я проиндексировал последовательности порядковыми номерами цифр. Например:

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 18

Используя определенные выше функции dateQ и datesOf, я могу теперь быстро найти все последовательности цифр, которые могут быть интерпретированы как даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 19

Вот некоторые найденные интерпретации дат. Каждый подсписок имеет вид:

{date, startingDigit, digitSequenceRepresentingTheDate}
(дата, начальная цифра, последовательность цифр представляющих дату).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 20

Мы нашли около 8,1 млн. дат, представленных четырьмя цифрами; около 3,8 млн. дат — пятью; около 365 тыс. дат — шестью, итого в сумме более 12 млн. дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 21

Обратите внимание, что я мог бы использовать строковые функции обработки (особенно StringPosition), для поиска позиций последовательностей дат. И, конечно, я бы получил тот же результат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 22

В то время как использование StringPosition хорошо подошло бы для поиска одной даты, работа же со всеми 35 000 последовательностей заняло бы гораздо больше времени.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 23

Остановимся на секунду и посмотрим на счётчик найденных последовательностей из 4 цифр. Из 10 000 возможных четырёхзначных последовательностей используется 8 100, при этом каждая из них появляется в среднем (1/10)⁴ * 10⁷ = 10⁴ раз, что следует из «случайности» распределения цифр числа пи. Полагаю, стандартное отклонение должно быть около 1000^½≈31.6. Небольшой расчёт и график подтверждают эти цифры.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 24

Кривая распределения количества различных дат из четырёх цифр имеет ожидаемый вид колокола.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 25

А следующий график показывает то, как часто каждая из 4-значных последовательностей, которая представляет какую-то дату, появляется в первых десяти миллионах цифр числа пи в десятичном представлении. Мы пронумеровали все 4-значные последовательности путём объединения цифр в число; в результате можно увидеть пустые вертикальные полосы в областях, в которых 4-значные последовательности не представляют даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 26

Продолжим теперь обрабатывать найденные позиции дат. Сгруппируем результаты в подсписки из одинаковых дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 27

И в самом деле, в первых 10 миллионах цифр встречаются все даты, то есть получается, что найдено 36 525 разных дат (далее мы увидим, что выбор числа цифр для анализа был оптимальным).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 28

Вот как выглядит типичный член dateGroups.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 29

Статистика всех дат

Рассмотрим теперь найденные данные с точки зрения статистики. Вот число вхождений каждой даты в первые десять миллионов цифр числа пи. Интересно, а может быть даже несколько неожиданно, но многие даты встречаются сотни раз. Периодически возникающие вертикальные полосы появляются из-за квартала октябрь-ноябрь-декабрь.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 30

Среднее расстояние между датами также ясно показывает раннее появление четырёхзначных записей годов со средними промежутками менее 10 000, пятизначным соответствуют промежутки около 100 000, шестизначным — около 1 000 000.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 31

Для облегчения читаемости, я отформатировал тройки {date, StartingPosition, dateDigitSequence} индивидуальным образом.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 32

Самая частая дата среди первых 10 миллионах цифр — 6 августа 1939 года — встречается 1 362 раза.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 33

Давайте найдём теперь самые редкие. Вот эти три даты встречаются только по разу.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 34

А эти по два (вывод результата укорочен для экономии места).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 35

Вот распределение числа вхождений дат. Три пика, соответствующих четырёх-, пяти- и шестициферным представлениям дат (слева направо) явно различаются. Даты, которые представляются последовательностями из 6 цифр, возникают нечасто; как было показано выше, появляются в среднем около 1200 раз.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 36

Можно также собирать и отображать даты по годам (меньшие значения в концах появляются из-за усечения дат для обеспечения их уникальности). Распределение практически равномерное.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 37

Давайте посмотрим на даты с красивыми последовательностями цифр и на то, как часто они появляются. Так как результаты в dateGroups сортируются по дате, я могу легко получать доступ к указанным датам. Скажем, где располагается дата 11-11-11?

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 38

А дата 1-23-45?

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 39

Ни одна из дат не начинается на своей собственной позиции (то есть нет примеров наподобие того, что 1 января 1945 [1-1-4-5] находится на позиции 1145).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 40

Но имеется один «палиндромный случай»: 3 марта 1985 (3.3.8.5) лежит на палиндромной позиции 5833.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 41

Весьма особая дата — 9 января 1936: она появляется на позиции 1936-го простого числа — 16 747.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 42

Давайте рассмотрим памятные события в этот день в истории.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 43

Так как не было ни одной даты, которая появилась бы на своей позиции, то мы можем смягчить условия и найти все даты, которые «накладываются» на свои позиции.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 44

И более чем 100 раз в первых 10 миллионах цифр числа пи можно встретить известную комбинацию первых цифр числа пи — 314159.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 45

В числе пи можно найти не просто даты дней рождений, но и дни физических констант, такие как ħ-день (день редуцированной постоянной Планка), который, к примеру, отмечался как вековой 5 октября 1945 года.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 46

Вот позиции совпадающих дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 47

А вот попытка визуализировать встречаемость всех дат. В плоскости даты-цифры зададим точки для начала каждой даты. Мы используем логарифмическую шкалу для позиций цифр, и в результате количество точек значительно больше в верхней части графика.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 48

Для дат, которые рано появляются в цифровой последовательности, конечный объём дат в цифрах также может быть визуализирован. Даты задаются четырьмя-шестью цифрами. Следующий график показывает цифры всех дат, которые начинаются в первых 10 000 цифрах.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 49

После огрубления, распределение становится довольно равномерным.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 50

До сих пор я брал дату и смотрел, с какой позиции она начинается в последовательности цифр числа пи. Давайте теперь поступим наоборот: сколько дат содержат данную цифру числа пи? Чтобы найти общее число дат для каждой цифры, можно пройтись циклом по датам.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 51

Получается до 20 дат на каждую цифру.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 52

Вот два интервала по 200 цифр каждый. Мы видим, что большинство цифр содержатся в датах.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 53

Выше я отмечал, что у меня в последовательности цифр нашлось около 12 миллионов дат. Последовательность цифр, которую я использовал, имеет длину всего в десять миллионов цифр, а каждая дата содержит около пяти цифр. Это означает, что на все эти даты нужно около 60 миллионов цифр. Из этого следует, что многие из десяти миллионов цифр должны быть многократно использованы — в среднем около пяти раз. Только 2005 из первых десяти миллионов цифр не используются ни в одной из последовательностей, интерпретированных как даты, и это означает, что 99,98% всех цифр используются в датах (не все на первой позиции).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 54

А вот гистограмма распределения числа дат, присутствующих на каждой конкретной цифре. Можно отчётливо увидеть без особых вычислений, что в среднем на одну цифру приходится около 6 дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 55

2005 не входящих ни в одну дату цифр довольно равномерно распределены в первых десяти миллионах цифр.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 56

Если я изображу конкретные позиции незадействованых цифр по сравнению с их ожидаемой средней позицией, то я получу нечто наподобие графика случайных блужданий.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 57

Итак, с кем граничат неиспользованные цифры? Существует 162 различные окрестности из 5 цифр. Глядя на них, сразу видно, почему центральная цифра не может быть частью даты: слишком много нулей в округе.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 58

И самый большой неиспользованный блок цифр — шесть цифр между положениями 8 127 088 и 8 127 093.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 59

В большинстве цифр перекрываются даты разных лет. График ниже показывает диапазон лет от ранних к поздним, как функцию от позиции цифры.

Вот неиспользованные цифры вместе с тремя левыми и тремя правыми соседями.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 60

Для того, чтобы проиллюстрировать работу алгоритма выше, я возьму случайную цифру и найду все даты, которые ее «накрывают».

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 61

А вот визуализация «наложения» дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 62

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 63

Наиболее используемая цифра — единица на позиции 2 645 274 — она присутствует в 20 различных датах.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 64

Вот цифры в её окрестности и возможные даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 65

Если я построю года, начиная с данной цифры для большего количества цифр (скажем, для первых 10 000), то я увижу относительно плотное покрытие дат на плоскости цифры-даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 66

Давайте теперь построим график связанных дат. Будем считать две даты связанными, если они имеют хотя бы одну общую цифру (не обязательно начальную).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 67

Ниже показан такой же граф, только для первых 600 цифр, но с выделенными сообществами (community).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 68

Высчитаем теперь среднее расстояние между двумя появлениями одной и той же даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 69

Первые появления дат

Наиболее интересны первые появления дат, так что давайте извлечём их. Мы будем работать с двумя версиями списка дат, первый представляет собой список списков вида {дата, первая позиция даты} (firstOccurrences), а второй — тот же список, отсортированный по номеру позиции в цифрах числа пи (firstOccurrencesSortedByOccurrence).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 70

Все возможные интерпретации дат в первых десяти цифрах числа пи.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 71

Или вот другая крайность — даты, которые встречаются в первый раз как можно позже.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 72

Можно увидеть, что среда 23 ноября 1960 начинается только в положении 9 982 546 (= 2*7*713039) — так, используя лишь первые десять миллионов цифр, мне повезло поймать её. Вот быстрая прямая проверка этой «рекордной» даты.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 73

И кто же те счастливчики из известных людей, кому повезло родиться в этот день?

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 74

И в каких фазах была луна во время каждой из топ-10 самых «глубоко зарытых» дат?

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 75

И в то время, как среда 23 ноября 1960 — это самая дальняя дата в десятичной последовательности цифр, самая последняя позиция в виде простого числа соответствует дате 22 октября 1995.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 76

В целом получается, что менее 10% всех дат появляются на позициях в виде простых чисел.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 77

Часто некоторые направляют цифры числа пи по определённому направлению на плоскости, формируя случайные блуждания. Мы сделаем то же самое в зависимости от расстояния между первыми появлениями дат. Получим изображения типичных двумерных случайных блужданий.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 78

Вот позиции первых появлений дат за последние несколько лет. Всплески в октябре, ноябре и декабре каждого года вызваны необходимостью задания дат последовательностями из пяти или шести цифр, в то время как с января по сентябрь даты можно задать меньшим количеством цифр, если пропустить необязательные нули.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 79

Если я включу все даты, я получу, конечно же, гораздо более «плотные» графики.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 80

Логарифмическая вертикальная ось показывает, что большинство дат впервые появляются между тысячной и миллионной цифрами.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 81

Чтобы получить более глубокое и интуитивное понимание общей однородности и локальных «случайностей» в последовательности цифр (и, как следствие, в датах), я приведу диаграмму Вороного в плоскости дни-цифры, основанную на точках первых появлений дат. Уменьшение плотности при возрастании номера объясняется тем, что я рассматривал лишь первые появления дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 82

Пасхальное воскресенье — отличная дата для визуализации, так как каждый год оно выпадает на разные дни.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 83

Средняя позиция первого появления даты, как функция от количества цифр, необходимых для её указания зависит, конечно, от количества цифр, необходимых для её кодирования.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 84

Средняя позиция первого появления даты приходится на 239 083, но из-за разброса в несколько миллионов цифр, стандартное отклонение гораздо больше.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 85

Вот первые вхождения «хороших» дат, образованных повторением одной цифры.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 86

Подробное распределение числа появлений первых дат имеет наибольшую плотность в первых нескольких десятках тысяч цифр.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 87

Логарифмические оси гораздо лучше подходят для демонстрации распределения, однако из-за увеличения размеров ячеек следует осторожно подходить к интерпретации максимума.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 88

Последнее распределение есть по сути взвешенная суперпозиция из первых появлений четырех-, пяти-, и шестизначных последовательностей.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 89

А вот совокупное распределение дат в зависимости от позиции цифры. Можно увидеть, что первый 1% из десяти миллионов цифр содержит уже 60% всех дат.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 90

На чётных позициях дат чуть больше, чем на нечётных.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 91

Можно сделать то же самое для чисел, кратным трём, четырём и так далее. Левое изображение показывает отклонение каждого класса соответствий от среднего значения, а правое — наибольшие соответствия, рассмотренные по критерию чётности.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 92

Фактические количества первых вхождений в каждый определённый год колеблются вокруг среднего значения.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 93

Средние числа первых вхождений дат, отсортированные по месяцам, отчётливо разделяют двузначные и однозначные записи для месяцев.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 94

Средние числа по дням месяца (1-31) в основном представляют из себя медленно возрастающие функции.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 95

Наконец, вот средние по дням недели. Большинство первых вхождений для дат приходится на даты, соответствующие среде.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 96

Выше я отмечал, что большинство цифр входят в какие-то даты. Лишь небольшое число цифр содержатся в датах, которые появляются впервые (121 470).

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 97

Некоторые из позиций последовательностей в любом случае перекрываются, и я могу сформировать сеть из цепей дат с перекрывающимися последовательностями цифр.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 98

Следующий график показывает возрастающие размеры промежутков между последовательными датами.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 99

Распределение размеров промежутков:

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 100

Вот пары наиболее отдалённых друг от друга последовательных дат. На предпоследнем рисунке отчётливо видны большие промежутки.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 101

Даты в других представлениях и других константах

Теперь рассмотрим особые даты, в которых левые части цепной дроби (числа перед знаком плюс) совпадают с числами в десятичном представлении.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 102

Это дает следующую строку цепной дроби числа пи:

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 103

И, что интересно, есть только один такой день.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 104

Ни один из расчетов, проведенных до сих пор не проводились относительно цифр числа пи. Цифры любых других иррациональных чисел (или даже достаточно длинных рациональных чисел) содержат даты. Было занятно найти много числовых выражений, которые содержат даты этого года (2015). Здесь они собраны вместе в интерактивной демонстрации.

Теперь мы подошли к концу наших размышлений. В качестве последнего примера, давайте попробуем проинтерпретировать положения цифр в качестве секунд после времени пи в этом году, которое случилось 14 марта в 9:26:53. Как долго мне придётся ждать появления последовательности цифр 3 • 1 • 4 • 1 • 5 в десятичном представлении других констант? Можно ли найти такое выражение (небольшое), в первый миллион цифр которого не попадает последовательность 3 • 1 • 4 • 1 • 5?(Большинство элементов следующего списка ξs есть случайные выражения. Последние элементы были найдены при поиске выражений, которые имеют последовательность цифр 3 • 1 • 4 • 1 • 5 настолько далеко, насколько это возможно)

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 105

Вот два рациональных числа, которые в десятичной записи содержат последовательность цифр:

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 106

И вот два целых числа с начальными цифрами числа пи.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 107

Использование новой функции TimelinePlot, которую Brett Champion, описал в его последнем посте в посте (см. пост "Новое в Wolfram Language: функция TimelinePlot для создания временной шкалы " на Хабре), я могу легко показать, как долго мне придется ждать.

Даты среди цифр числа Пи: некоторые мысли с позиции статистики и нумерологии - 108

Мы призываем читателей провести более глубокое исследование дат в цифрах числа пи, или же рассмотреть вместо пи другую постоянную (например, число e Эйлера), и, возможно даже в другой системе счисления. В целом, качественные структуры будут одинаковыми для почти всех иррациональных чисел (чтобы посмотреть другую картину, попробуйте постоянную Чамперноуна ChampernowneNumber[10]). Будут ли первые десять миллионов цифр числа e содержать все даты? А на какой позиции будет находиться 21 октября 2014? Какие особенные даты содержатся в других константах? Эти и многие другие вопросы, ожидают своих ответов.

Автор: Wolfram Research

Источник

Поделиться новостью

* - обязательные к заполнению поля