Если объединить статистические данные спортивных соревнований с распределением Пуассона, то можно рассчитать вероятное количество мячей, которые будут забиты во время футбольной игры. На этом основании можно понять откуда берутся букмекерские ставки, а также научиться самостоятельно их рассчитывать с помощью R.

В конце XIX в. русский экономист и статистик польского происхождения Владислав Борткевич, ^[1] проанализировав данные в 14 корпусах прусской армии за 20 лет, придумал способ предсказывать случаи гибели солдат от удара копытом лошади. Для этого он одним из первых использовал на практике распределение Пуассона ^[2]. Результаты его расчетов показаны в таблице.

Смертность от удара лошади	Согласно формуле Пуассона	Наблюдения
0	108.67	109
1	66.29	65
2	20.22	22
3	4.11	3
4	0.63	1
5	0.08	0
6	0.01	0

Как видим теоретико-вероятностные вычисления отлично сочетаются с реальными данными. Можно ли применить этот способ в ставках на спорт, чтобы развлечься и заработать?

Формула Пуассона

В учебнике по теории вероятностей Б В. Гнеденко дается такое определение теоремы Пуассона.

Если же говорить простым языком, то на основе этой формулы можно рассчитать распределение вероятностей для событий, которые:

• происходят за единицу времени или на единицу площади;
• дискретны, их можно пронумеровать;
• независимы друг от друга;
• не имеют верхней границы, по крайней мере — теоретической;

Можно привести уйму примеров из повседневной жизни: количество пострадавших от удара молнии, от ДТП, количество рекламных звонков и сообщений, число поломок лифта за год, изюминок в пасхальном куличе и т. д. Для нас же интерес представляют примеры из спорта.

Футбольная статистика

Оказывается, количество забитых мячей в футбольном матче очень хорошо вписывается в Пуассоново распределение. Так, на диаграмме слева мы видим число голов, забитых каждой командой в каждом из 380 матчей чемпионата Испании 2008–2009 годов. На диаграмме справа подсчитаны теоретические данные модели.

Диаграммы очень похожи, следовательно модель Пуассона хорошо объясняет соотношение мячей, забитых командой в течение матча.

Теперь немного о спортивных ставках. Те, кто захаживает в букмекерские конторы, может увидеть их на табло. Вот, как выглядят некоторые ставки на игру ^[3] команд английской Премьер-Лиги в ближайший понедельник.

Англия — Премьер-лига	1	x	2
Манчестер Юнайтед — Сандерленд	1,25	6,80	15,00
Челси — Борнмут	1,39	5,10	10,50
Халл — Манчестер Сити	10,50	5,80	1,35

1 — победа первой команды
x — ничья
2 — победа другой команды.

Достаточно мельком взглянуть на турнирную таблицу и станет понятно, почему так высоки ставки и возможный выигрыш в случае победы Сандерленда над Манчестер Юнайтед. За каждый рубль в этом случае можно заработать 15 рублей, в случае же победы команды Манчестер Юнайтед выигрыш будет всего 1.25 рублей.

Попробуем теперь сами рассчитать ставки на игру Манчестер Юнайтед против Манчестер Сити, которая должна состояться 26-го февраля 2017 г. Несмотря на то, что у двух клубов названия похожи, МС играет на своем поле, а МЮ — в гостях.

Прежде, чем воспользоваться формулой Пуассона надо рассчитать значение µ, а для этого надо получить среднее количество забитых и пропущенных мячей участников игры относительно среднего для всех команд.

µ^MU — Ожидаемое количество забитых мячей для Манчестер Юнайтед
µ^MC — Ожидаемое количество забитых мячей для Манчестер Сити

Тогда

• µ^MU = нападение МЮ ✕ оборона МС ✕ среднее количество забитых на выездных матчах.
• µ^MC = нападение МС ✕ оборона МЮ ✕ среднее количество забитых голов на своем поле.

За весь сезон 2015/2016 было 380 футбольных игр, в которых команды у себя дома забили 567 мяча (1.49 за игру), а в гостях — 459 (1.20 за игру).

(5:563)$ echo 'scale=5;567/380;459/380' | bc -q
1.49210
1.20789

Далее, считаем коэффициенты нападения МЮ, нападения МC, оборона МЮ и обороны МС.

На выездных матчах Манчестер Юнайтед забивал в среднем 1.15 мячей за игру, а пропускал — 1.36.

(5:552)$ echo 'scale=5;22/19;26/19' | bc -q
1.15789
1.36842

У себя дома Манчестер Сити забивал в среднем 2.47 мячей за игру, а пропускал — 1.10.

(5:553)$ echo 'scale=5;47/19;21/19' | bc -q
2.47368
1.10526

Теперь те же самые значения мы взвешиваем относительно общих средних значений. Относительное среднее нападения МЮ на чужом поле равно 0.958, а относительное среднее обороны МС на своем поле — 0.915.

(5:554)$ echo 'scale=5;22/19/1.20789;21/19/1.20789' | bc -q
.95860
.91503

Относительное среднее обороны МЮ на чужом поле равно 0.917, а относительное среднее нападения МС на своем поле — 1.657.

(5:555)$ echo 'scale=5;26/19/1.49210;47/19/1.49210' | bc -q
.91711
1.65785

И наконец, перемножая все промежуточные средние значения, находим µ.

µ^MU = 1.06
µ^MC = 2.27

(5:556)$ echo 'scale=5;.95860*.91503*1.20789;1.65785*.91711*1.49210' |bc -q
1.05948
2.26863

Голы по Пуассону

Теперь мы можем посчитать вероятности на разные исходы этой встречи. В R это делается очень просто, но можно срезать углы и воспользоваться статистическим онлайн калькулятором ^[4].

> dpois(x=(0:5), lambda=2.26863)
[1] 0.10345381 0.23469843 0.26622195 0.20131970 0.11417998 0.05180642
> dpois(x=(0:5), lambda=1.05948)
[1] 0.346636014 0.367253924 0.194549094 0.068706958 0.018198412 0.003856171

Итак, вероятности распределены следующим образом.

Голы	0	1	2	3	4	5
МЮ	34.663%	36.725%	19.454%	6.870%	1.819%	0.385%
МС	10.345%	23.469%	26.622%	20.131%	11.417%	5.180%

Вероятность того, что Манчестер Юнайтед не забьет ни одного гола составляет 34.663%, то же самое для Манчестер Сити — 10.345%, вероятность нулевого исхода встречи равна их произведению и составляет 3.586%. Матрица всех результатов от 0:0 до 5:5.

> a=dpois(x=(0:5), lambda=1.05948)
> b=dpois(x=(0:5), lambda=2.26863)
> A=a%*%t(b)
> A
             [,1]         [,2]        [,3]         [,4]         [,5]         [,6]
[1,] 0.0358608180 0.0813549276 0.092282115 0.0697846579 0.0395788921 0.0179579724
[2,] 0.0379938195 0.0861939186 0.097771055 0.0739354494 0.0419330446 0.0190261126
[3,] 0.0201268459 0.0456603665 0.051793239 0.0391665649 0.0222136111 0.0100788929
[4,] 0.0071079969 0.0161254150 0.018291300 0.0138320641 0.0078449589 0.0035594618
[5,] 0.0018826951 0.0042711387 0.004844817 0.0036636988 0.0020778943 0.0009427947
[6,] 0.0003989356 0.0009050372 0.001026597 0.0007763231 0.0004402975 0.0001997744

Попробуем теперь рассчитать вероятность победы каждой из сторон, вероятность ничейного исхода и наконец определимся со ставками. Начнем с ничейного результата. Перемножаем векторы событий для МЮ и МС, и считаем сумму диагональной матрицы. Ставка 1 к 5.264.

> sum(diag(A))
[1] 0.1899577
> 1/sum(diag(A))
[1] 5.26433

Шансы победы МС равны сумме всевозможных 1:0, 2:0, … 5:0, 2:1, 3:1, … и т. д. до 5:4. Ставка равна 1.619.

sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6]
[1] 0.6174305
1/(sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6])
1.619615

Шансы победы МЮ поменьше, соответственно побольше будет ставка и денежный выигрыш — 1 к 5.191.

> 1 - (sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6] + sum(diag(A)))
[1] 0.1926118
> 1/(1 - (sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6] + sum(diag(A))))
[1] 5.19179

Ставки сделаны!

Ставки на игру	1	x	2
Манчестер Сити — Манчестер Юнайтед	1.620	5.264	5.192

Конечно, модель Пуассона довольно проста и не учитывает множество факторов и обстоятельств: новый игрок, новый тренер, статус матча, обстоятельства клуба и т. д. Тем не менее Elihu Feustel умудряется на ставках зарабатывать миллионы ^[5], используя математические алгоритмы.

Использованные материалы

• How to calculate football betting odds using Poisson Distribution ^[6]
• Распределение Пуассона на примере футбольных ставок ^[7]
• Football stats and results ^[8]
• Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики ^[9]

Автор: temujin

Источник ^[10]