Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю

в 10:19, , рубрики: Wolfram Alpha, wolfram language, wolfram mathematica, Блог компании Wolfram Research, Геоинформационные сервисы, Дороти Воган, Занимательные задачки, Кэтрин Джонсон, математика, метод эйлера, Мэри Джексон, наса, Программирование, расчет орбиты, скрытые фигуры, спутник, метки:
Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 1

Перевод поста Джеффри Брайанта (Jeffrey Bryant), Пако Джейна (Paco Jain) и Майкл Тротта (Michael Trott) "Hidden Figures: Modern Approaches to Orbit and Reentry Calculations".
Код, приведенный в статье, можно скачать здесь.
Выражаю огромную благодарность Полине Сологуб за помощь в переводе и подготовке публикации


Содержание

Размещение спутника в определенном месте
Константы и первичная обработка
Вычисления
Построение графика
Как рассчитываются орбиты сегодня
Моделирование возвращаемого спутника


Вышедший недавно в кинотеатрах фильм Скрытые фигуры получил хорошие отзывы. Действие разворачивается в важный период истории США; в нем затрагивается также ряд тем вроде гражданских прав и космической гонки. В центре повествования — история Кэтрин Джонсон и ее коллег (Дороти Воган и Мэри Джексон) из NASA в период развертывания программы Меркурий и ранних исследований пилотируемых космических полетов. Внимание также акцентируется на драматической борьбе за гражданские права афро-американских женщин в NASA, происходившей в то время. Компьютеры в то время едва появились, так что способность Джонсон и ее коллег решать сложные навигационные задачи орбитальной механики без использования компьютера обеспечили важную проверку ранних компьютерных результатов.

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 2

Я остановлюсь на двух аспектах ее научной работы, упомянутых в фильме: вычислениях орбиты и расчетах, связанных с вхождением в атмосферу. Для орбитальных вычислений я сначала сделал ровно то же, что и Джонсон, а затем применил более современный прямой подход с использованием инструментов Wolfram Language. В фильме упоминается о решении дифференциальных уравнений методом Эйлера; я же буду сравнивать этот метод с более современным и вычислю возвратную траекторию с помощью данных модели атмосферы, полученных непосредственно из Wolfram Language).

В фильме не освещаются детали решения математических задач командой Джонсон, однако того, что вы увидите, хватит, чтобы прочувствовать и сравнить подход, отображенный в фильме, с тем, который существует на данный момент.

Размещение спутника в определенном месте

Одна из самых ранних работ, в которой Джонсон была соавтором ("Определение азимутального угла в точке выгорания для размещения спутника над выбранной точкой") имеет дело с проблемой проверки, может ли спутник быть размещен над определенной точкой Земли после определенного количества витков вокруг орбиты при определенной стартовой позиции (например, мыс Канаверал, штат Флорида) и траектории вращения. Подход, который команда Джонсон использовала для определения азимутального угла (угол, образованный вектором скорости космического аппарата в момент отключения двигателя, с фиксированным направлением, скажем, на север) для запуска ракеты основывался на других орбитальных параметрах. Это важный шаг для обеспечения правильного местонахождения астронавта для входа в атмосферу на Землю.

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 3

Константы и первичная обработка

В статье Джонсон определяет ряд констант и входных параметров, необходимых для решения задачи вручную. Отступлю немного, чтобы объяснить термин «выгорание», относящийся к остановке ракетного двигателя. После «выгорания» параметры орбиты как бы «замораживаются», и космический аппарат движется только под действием силы тяжести Земли (в соответствии с законами Ньютона). В этом разделе я следую тем определениям единиц, которые были приняты в статье.

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 4

Некоторые функции для удобства определены, чтобы взаимодействовать с углами в градусах вместо радиан. Это позволяет плавно регулировать время вычисления углов:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 5

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 6

Джонсон описывает несколько других производных параметров, хотя интересно отметить, что иногда она принимает определенные значения для них, а не использует значения, полученные с помощью ее формул. Принятые ею значения часто были близки к значениям, полученным по формулам. Для простоты здесь используются значения из формул.

Semilatus rectum эллиптической орбиты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 7

Угол в плоскости орбиты между перигеем и точкой выгорания:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 8

Эксцентриситет орбиты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 9

Период орбиты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 10

Эксцентрическая аномалия:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 11

Для описания следующего параметра проще будет процитировать оригинальную статью: "требование о том, чтобы спутник с точкой выгорания φ1, λ1 проходил через выбранную позицию φ2, λ2 после завершения n прохождений по орбите эквивалентно требованию, в соответствии с которым в ходе первого оборота спутник проходит через эквивалентное место с широтой φ2 так же, как и при выбранном положении, но с долготой λ2, смещенной в восточном направлении от λ2 на величину, достаточную для компенсации вращения Земли в течение n полных вращений, то есть полярного часового угла nωЕТ. Долгота этой эквивалентной позиции, таким образом, определяется соотношением":

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 12

Время от перигея для угла θ:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 13

Вычисления

Часть окончательного решения заключается в определении значения для промежуточных параметров δλ1-2е и θ2е. Это может быть сделано несколькими способами. Во-первых, я могу использовать ContourPlot для получения графического решения с помощью уравнений 19 и 20 из статьи:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 14

FindRoot можно использовать для нахождения численных решений:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 15

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 16

Конечно, у Джонсон не было доступа к функциям ContourPlot или FindRoot, так что в ее статье описывается итерационный метод. Я перевел методику, описанную в статье, на язык Wolfram, а также раскрыл ряд других параметров с помощью ее итерационного метода. Поскольку базовые выкладки рассчитаны для сферической формы Земли, поправки на сплющенности включены:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 17

Графическое изображение значения θ2е для различных итераций демонстрирует быструю сходимость:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 18

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 19

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 20

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 21

Я могу преобразовать метод в команде FindRoot следующим образом:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 22

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 23

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 24

Интересно, что даже итерационные шаги поиска корня этой более сложной системы сходятся довольно быстро:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 25

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 26

Построение графика

Когда орбитальные параметры определены, можно визуализировать решение. Во-первых, из предыдущих решений должны быть извлечены некоторые параметры:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 27

Далее должны быть получены широта и долгота спутника в зависимости от азимутального угла:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 28

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 29

φs и λs — широта и долгота как функция θs:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 30

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 31

Наземный трек спутника может быть построен путем создания таблицы точек:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 32

В статье Джонсон представлена схема орбитального решения, включая маркеры, отмечающие выгорание, а также выбранные и эквивалентные положения. Подобную схему легко воспроизвести:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 33

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 34

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 35

Вот ее оригинальная схема для сравнения:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 36

Более визуально полезная версия может быть построена с помощью функции GeoGraphics, которая преобразует геоцентрические координаты в геодезические:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 37

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 38

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 39

Как рассчитываются орбиты сегодня

Сегодня практически у каждого из нас есть доступ к вычислительным ресурсам гораздо более мощным, чем те, что были у НАСА в 1960-е годы. Сейчас, используя только настольный компьютер и Wolfram Language, вы можете легко найти прямые численные решения задач орбитальной механики вроде тех, которыми занимались Кэтрин Джонсон и ее команда.

Чтобы вычислить азимутальный угол ψ с помощью более современных методов, давайте установим параметры для простой круговой орбиты, берущей свое начало после выгорания над Флоридой; предположим также, что Земля сферически симметрична (я не буду пытаться искать точное соответствие с данными из статьи Джонсон и переопределю некоторые величины, используя современную систему единиц СИ). Начиная с той же высоты околоземной орбиты, используемой Джонсон, и с помощью сферической тригонометрии несложно вывести начальные условия для нашей орбиты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 40

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 41

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 42

Соответствующие физические параметры могут быть получены непосредственно с помощью Wolfram Language:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 43

Далее я получил дифференциальное уравнение движения нашего космического корабля с учетом гравитационного поля Земли. Есть несколько способов моделирования гравитационного потенциала вблизи Земли. Предположим, что планета сферически симметрична и используем декартову систему координат:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 44

Кроме того, вы можете использовать более реалистичную модель гравитации Земли, где в качестве формы планеты берется сплюснутый эллипсоид вращения. Точная форма потенциала такого эллипсоида (при условии постоянной плотности массы эллипсоидальных оболочек) доступна с помощью EntityValue:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 45

Для общего однородного трехосного эллипсоида потенциал содержит кусочные функции:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 46

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 47

Здесь κ является наибольшим корнем выражения х2/(a2 + κ) + у2/(b2 + k) + z2/(c2 + κ) = 1. В случае, если мы имеем дело со сплющенным эллипсоидом, предыдущая формула может быть упрощена до элементарных функций…

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 48

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 49

… где κ=((2 z2 (a2-c2+x2+y2)+(-a2+c2+x2+y2)2+z4)1/2-a2-c2+x2+y2+z2)/2.

Более простая форма, которую я буду использовать здесь, задается так называемой общепринятой формулой ускорения силы тяжести (IGF). В данной формуле учитываются отличия от сферически симметричного потенциала до второго порядка в сферических гармониках, и даются численно неотличимые от точного потенциала, на который ссылались ранее, результаты. В терминах четырех измеренных геодезических параметров потенциал IGF может быть определен следующим образом:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 50

Я мог бы легко использовать даже еще более точные значения для силы тяжести с помощью функции GeogravityModelData. В исходном положении потенциал IGF только на 0,06% отклоняется от приближения высокого порядка:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 51

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 52

С этими функциональными формами потенциала нахождение орбитального пути требует вычисления градиента потенциала, чтобы получить вектор гравитационного поля, с применением затем третьего закона Ньютона. Я получаю орбитальные уравнения движения для двух моделей гравитации:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 53

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 54

Теперь я готов использовать силу NDSolve для вычисления орбитальных траекторий. Однако перед тем, как сделать это, будет неплохо отобразить орбитальный путь в виде кривой в трехмерном пространстве. Чтобы встроить эти кривые в контекст, я построил их по текстурной карте поверхности Земли и спроецировал на сферу. Здесь я построил нужные графические объекты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 55

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 56

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 57

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 58

В то время, как орбитальный путь, вычисляемый в инерциальной системе отсчета, образует периодическую замкнутую кривую, получается, что космический корабль будет проходить через различные точки на поверхности Земли во время каждого последующего оборота. Я могу визуализировать этот эффект, добавив дополнительное время вращения к решениям, которые я получаю от функции NDSolve. Примем, что число орбитальных периодов будет три (по аналогии с полетом Джона Гленна), я использовал функцию Manipulate чтобы увидеть, как орбитальный путь зависит от азимутального угла ψ, подобно исследованию в статье Джонсон. Я построю один график для сферической Земли (белый цвет) и другой, зеленый, чтобы продемонстрировать эффект сплюснутости (обратите внимание, что расхождение увеличивается с каждым витком):

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 59

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 60

В документе, который прилагается к этой записи, вы сможете увидеть функцию Manipulate в действии; обратите внимание на скорость, с которой находится каждое новое решение. Хочется надеяться, что Кэтрин Джонсон и ее коллеги в НАСА были бы впечатлены!

Теперь, изменяя угол ψ в точке выгорания, легко вычислить положение космического аппарата после, скажем, трех оборотов:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 61

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 62

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 63

Моделирование возвращаемого спутника

В фильме также в связи с фазой возвращения упоминается метод Эйлера. После решения исходной задачи нахождения азимутального угла, как это было сделано в предыдущих разделах, пришло время вернуться на Землю. Для замедления вращения происходит запуск ракет, и затем, при переходе из безвоздушной среды космоса в атмосферу, происходит сложный комплекс событий. Для благополучного возвращения космонавта на Землю долны быть приняты во внимание такие факторы, как изменение плотности атмосферы, быстрое торможение и фрикционный нагрев. Необходимо решить проблемы высоты, скорости и ускорения как функции времени. Этот набор проблем может быть решен с помощью метода Эйлера, как это было сделано Кэтрин Джонсон, или с помощью функциональных возможностей решения дифференциальных уравнений в Wolfram Language.

Для простых дифференциальных уравнений можно получить подробное пошаговое решение с помощью указанного метода квадратур. Эквивалентом известной формулы Ньютона F = для зависящей от времени массы m(t) является так называемое уравнение для идеальной ракеты (в одном измерении)…

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 64

… где m(t) — масса ракеты, vе скорость выхлопа ракетного двигателя, и m'p(t) — производная массы топлива от времени. При постоянной m'p(t) структура уравнения оказывается относительно простой и легко разрешимой в замкнутой форме:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 65

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 66

Имея начальные и конечные условия для массы, я получаю знаменитое уравнение движения ракеты ( К.Э.Циолковский, 1903):

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 67

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 68

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 69

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 70

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 71

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 72

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 73

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 74

Детали решения этого уравнения с конкретными значениями параметров я могу взять из Wolfram|Alpha. Вот эти детали вместе со сравнением с точным решением, а также с другими методами численного интегрирования:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 75

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 76

Следуя сюжету фильма, я реализую теперь минималистическую модель процесса повторного входа. Начнем с определения параметров, которые имитируют полет Гленна:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 77

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 78

Я полагаю, что в процессе торможения используется 1% от тяги двигателя первой ступени, и длится он, скажем, 60 секунд. Уравнение движения:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 79

Здесь Fgrav — сила тяжести, Fexhaust(t) — зависящая от времени сила двигателя, и сила трения Ffriction(x(t),v(t)). Последняя зависит как от плотности воздуха в положении x(t), так и от закона трения для v(t).

Для плотности воздуха, которая зависит от высоты, я могу использовать функцию StandardAtmosphereData. Я учитываю ее также из-за парашюта, который открывается на высоте около 8,5 км над землей:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 80

Это дает следующий набор связанных нелинейных дифференциальных уравнений, которые необходимо решить. Функция WhenEvent[...] указывает на конец построения решения ДУ, когда капсула достигает поверхности Земли. Я использую векторные значения положения и скорости переменных X и V:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 81

С учетом этих определений для веса, выхлопных газов и силы трения воздуха точки зрения…

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 82

… результирующая сила может быть найдена с помощью:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 83

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 84

В этой модели я пренебрег вращением Земли, внутренними углами вращения капсулы, активными изменениями угла полета, сверхзвуковыми эффектами силы трения и многим другим. Уравнения, решаемые Кэтрин Джонсон:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 85

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 86

Эту систему уравнений просто решить численно, если дополнить ее начальным положением и скоростью. Для этого нужно всего лишь обратиться к функции NDSolve. Мне не придется беспокоиться об используемом методе, управлении размером шага, контроле ошибок и так далее, потому что Wolfram Language автоматически выбирает те значения, которые гарантируют значимые результаты:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 87

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 88

Здесь представлен график высоты, скорости и ускорения в зависимости от времени:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 89

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 90

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 91

Кривая зависимости от высоты вместо времени демонстрирует, что экспоненциальное возрастание плотности воздуха отвечает за сильное торможение. Это не связано с парашютированием, которое происходит на относительно малой высоте. Пик замедления происходит на очень большой высоте, когда капсула быстро переходит из вакуума к атмосферной среде:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 92

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 93

А вот график вертикальной и тангенциальной скоростей капсулы в процессе повторного входа:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 94

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 95

Теперь я повторю численное решение методом Эйлера с фиксированным шагом:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 96

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 97

Качественно это решение выглядит так же, как и предыдущее:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 98

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 99

Для используемого размера шага интегрирования по времени накопленная ошибка составляет порядка нескольких процентов. Меньшие размеры шага будут уменьшать ошибку:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 100

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 101

Обратите внимание, что время посадки, предсказываемое методом Эйлера, отклоняется всего на 0,11% по сравнению с предыдущим временем (для сравнения: если бы я решал уравнение двумя современными методами, — скажем, «BDF» или «Adams», то ошибка была бы меньше на несколько порядков).

В процессе повторного входа генерируется большое количество тепла. Здесь нужен теплозащитный экран. На какой высоте производится наибольшее количество тепла на единицу площади Q? Не вдаваясь в подробности, я могу, чисто из соображений размерности, применить гипотезу Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 102:

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 103

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 104

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 105

Фильм «Скрытые фигуры»: задачи из фильма и современный подход к расчетам орбиты и возвращения на Землю - 106

Много чего интересного можно было бы вычислить (Hicks 2009), но точно так же, как фильм должен был закончиться, так и я теперь должен завершить мою статью. Надеюсь, вы простите меня за мои слова: с Wolfram Language вы можете сделать все, что захотите.

Автор: Wolfram Research

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля