Игра Жизнь и преобразование Фурье

в 10:50, , рубрики: fft, life, жизнь, математика, ненормальное программирование, Программирование, свертка, фурье, метки: , , , ,

Игра Жизнь и преобразование ФурьеМногие слышали о великом и ужасном быстром преобразовании Фурье (БПФ / FFT — fast fourier transform) — но как его можно применять для решения практических задач за исключением JPEG/MPEG сжатия — зачастую остается неясным вопросом.

Недавно я наткнулся на интересную реализацию игры «Жизнь» Конвея, использующую быстрое преобразование Фурье(!!!) — и надеюсь, оно поможет вам понять всю силу и универсальность этого алгоритма.

Правила

Вспомним правила классической «Жизни» — на поле с квадратными клетками, живая клетка погибает если у неё больше 3 или меньше 2 соседей, и если у пустой клетки ровно 3 соседей — она рождается. Соответственно, для эффективной реализации алгоритма нужно быстро считать количество соседей вокруг клетки.

Алгоритмов для этого существует целая куча (в том числе и моя JS реализация). Но есть у задачи и математическое решение, которое может давать хорошую скорость для плотно заполненных полей, и быстро уходит в отрыв с ростом сложности правил и площади/объема суммирования (например в Smoothlife-подобных, и 3D вариантах)

Реализация на БПФ

Идея алгоритма следующая:

  1. Формируем матрицу суммирования (filter), где 1 стоят в ячейках, сумму которых нам нужно получить (8 единиц, остальные нули). Выполняем над матрицей прямое преобразование Фурье (это нужно сделать только 1 раз).
  2. Выполняем прямое преобразование Фурье над матрицей с содержимым игрового поля.
  3. Перемножаем каждый элемент результата на соответствующий элемент матрицы «суммирования» из пункта 1.
  4. Выполняем обратное преобразование Фурье — и получаем матрицу с нужной нам суммой количества соседей для каждой клетки.

Весь этот процесс называется сверткой / сonvolution.

Реализация на C++

//Author: Mark VandeWettering http://brainwagon.org/2012/10/11/crazy-programming-experiment-of-the-evening/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>
#include <unistd.h>
#include <fftw3.h>
 
#define SIZE    (512)
#define SHIFT   (18)
 
fftw_complex *filter ;
fftw_complex *state ;
fftw_complex *tmp ;
fftw_complex *sum ;
 
int
main(int argc, char *argv[])
{
    fftw_plan fwd, rev, flt ;
    fftw_complex *ip, *jp ;
    int x, y, g ;
 
    srand48(getpid()) ;
 
    filter = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ;
    state = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ;
    tmp = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ;
    sum = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ;
 
    flt = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, 
                filter, filter, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE) ;
    fwd = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, 
                state, tmp, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE) ;
    rev = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, 
                tmp, sum, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE) ;
 
    /* initialize the state */
    for (y=0, ip=state; y<SIZE; y++) {
        for (x=0; x<SIZE; x++, ip++) {
            *ip = (fftw_complex) (lrand48() % 2) ;
        }
    }
 
    /* initialize and compute the filter */
 
    for (y=0, ip=filter; y<SIZE; y++, ip++) {
        for (x=0; x<SIZE; x++) {
            *ip = 0. ;
        }
    }
 
 
#define IDX(x, y) (((x + SIZE) % SIZE) + ((y+SIZE) % SIZE) * SIZE)
    filter[IDX(-1, -1)] = 1. ;
    filter[IDX( 0, -1)] = 1. ;
    filter[IDX( 1, -1)] = 1. ;
    filter[IDX(-1,  0)] = 1. ;
    filter[IDX( 1,  0)] = 1. ;
    filter[IDX(-1,  1)] = 1. ;
    filter[IDX( 0,  1)] = 1. ;
    filter[IDX( 1,  1)] = 1. ;
 
    fftw_execute(flt) ;
     
    for (g = 0; g < 1000; g++) {
        fprintf(stderr, "generation %03dr", g) ;
         
        fftw_execute(fwd) ;
 
        /* convolve */
        for (y=0, ip=tmp, jp=filter; y<SIZE; y++) {
            for (x=0; x<SIZE; x++, ip++, jp++) {
                *ip *= *jp ;
            }
        }
 
        /* go back to the sums */
        fftw_execute(rev) ;
 
        for (y=0, ip=state, jp=sum; y<SIZE; y++) {
            for (x=0; x<SIZE; x++, ip++, jp++) {
                int s = (int) round(creal(*ip)) ;
                int t = ((int) round(creal(*jp))) >> SHIFT ;
                if (s) 
                    *ip = (t == 2 || t == 3) ;
                else
                    *ip = (t == 3) ;
            }
        }
 
        /* that's it!  dump the frame! */
 
        char fname[80] ;
        sprintf(fname, "frame.%04d.pgm", g) ;
        FILE *fp = fopen(fname, "wb") ;
        fprintf(fp, "P5n%d %dn%dn", SIZE, SIZE, 255) ;
 
        for (y=0, ip=state; y<SIZE; y++) {
            for (x=0; x<SIZE; x++, ip++) {
                int s = ((int) creal(*ip)) ;
                fputc(255*s, fp) ;
            }
        }
 
        fclose(fp) ;
    }
    fprintf(stderr, "n") ;
 
    return 0 ;
}

Для сборки нужна библиотека FFTW. Ключи для сборки в gcc:

gcc life.cpp -lfftw3 -lm -lstdc++

в Visual Studio нужны изменения в работе с комплексными числами.
Результат вполне ожидаемый:

«Закольцовывание» поля получается автоматически из-за БПФ.

Плюшки БПФ для этой задачи

  • Вы можете суммировать любое количество элементов с любыми коэффициентами — а время работы остается фиксированным, N2logN. Т.е. если для классической жизни — обычные алгоритмы на заполненных полях все еще достаточно быстрые, то с увеличением площади/объема суммирования — они становятся все медленнее, а скорость работы БПФ остается фиксированной.
  • БПФ — уже написан, отлажен и оптимизирован идеально — с использованием SSE, AVX.
  • Вы легко можете использовать все процессоры и видеокарты взяв готовые многопроцессорные и CUDA/OpenCL реализации БПФ. Опять же, об оптимизации БПФ вам заботится не нужно.
  • Тот же подход применим и к 3D пространству.

Надеюсь, мистики в преобразовании Фурье теперь стало немного меньше.

Автор: BarsMonster

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля