Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE)

в 13:04, , рубрики: autoencoder, deep learning, keras, machine learning, mnist, python, Алгоритмы, математика, машинное обучение, обработка изображений

Содержание

В прошлой части мы уже обсуждали, что такое скрытые переменные, взглянули на их распределение, а также поняли, что из распределения скрытых переменных в обычных автоэнкодерах сложно генерировать новые объекты. Для того чтобы можно было генерировать новые объекты, пространство скрытых переменных (latent variables) должно быть предсказуемым.

Вариационные автоэнкодеры (Variational Autoencoders) — это автоэнкодеры, которые учатся отображать объекты в заданное скрытое пространство и, соответственно, сэмплить из него. Поэтому вариационные автоэнкодеры относят также к семейству генеративных моделей.

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 1

Иллюстрация из [2]

Имея какое-то одно распределение Z, можно получить произвольное другое X=g(Z), например, пусть Z — обычное нормальное распределение, g(Z)=frac{Z}{|Z|}+ frac{Z}{10} — тоже случайное распределение, но выглядит совсем по-другому

Код

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import seaborn as sns


Z = np.random.randn(150, 2)
X = Z/(np.sqrt(np.sum(Z*Z, axis=1))[:, None]) + Z/10

fig, axs = plt.subplots(1, 2, sharex=False, figsize=(16,8))

ax = axs[0]
ax.scatter(Z[:,0], Z[:,1])
ax.grid(True)
ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)

ax = axs[1]
ax.scatter(X[:,0], X[:,1])
ax.grid(True)
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 6

Пример выше из [1]

Таким образом, если подобрать правильные функции, то можно отобразить пространства скрытых переменных обычных автоэнкодеров в какие-то хорошие пространства, например, такие, где распределение нормально. А потом обратно.

С другой стороны, специально учиться отображать одни скрытые пространства в другие вовсе не обязательно. Если есть какие-то полезные скрытые пространства, то правильный автоэнкодер научится им по пути сам, но отображать, в конечном итоге, будет в нужное нам пространство.


Ниже непростая, но необходимая теория лежащая в основе VAE. Постарался выжать из [1, Tutorial on Variational Autoencoders, Carl Doersch, 2016] все самое принципиальное, остановившись подробнее на тех местах, которые показались сложными мне самому.

Пусть Z — скрытые переменные, а X — данные. На примере нарисованных цифр рассмотрим естественный генеративный процесс, который сгенерировал нашу выборку:

P(X)=int_{z} P(X|Z)P(Z)dZ

  • P(X) вероятностное распределение изображений цифр на картинках, т.е. вероятность конкретного изображения цифры в принципе быть нарисованным (если картинка не похожа на цифру, то эта вероятность крайне мала, и наоборот),
  • P(Z) — вероятностное распределение скрытых факторов, например, распределение толщины штриха,
  • P(X|Z) — распределение вероятности картинок при заданных скрытых факторах, одни и те же факторы могут привести к разным картинкам (один и тот же человек в одних и тех же условиях не рисует абсолютно одинаковые цифры).

Представим P(X|Z) как сумму некоторой генерирующей функции f(Z) и некоторого сложного шума epsilon

P(X|Z)=f(Z) + epsilon

Мы хотим построить некоторый искусственный генеративный процесс, который будет создавать объекты, близкие в некоторой метрике к тренировочным X.

P(X;theta)=int_{z} P(X|Z;theta)P(Z)dZ    (1)

и снова

P(X|Z;theta)=f(Z;theta) + epsilon

f(Z;theta) — некоторое семейство функций, которое представляет наша модель, а theta — ее параметры. Выбирая метрику, мы выбираем то, какого вида нам представляется шум epsilon. Если метрика L_2, то мы считаем шум нормальным и тогда:

P(X|Z;theta)=N(X|f(Z;theta), sigma^2 I),

По принципу максимального правдоподобия нам остается оптимизировать параметры theta, для того чтобы максимизировать P(X), т.е. вероятность появления объектов из выборки.

Проблема в том, что оптимизировать интеграл (1) напрямую мы не можем: пространство может быть высокоразмерное, объектов много, да и метрика плохая. С другой стороны, если задуматься, то к каждому конкретному X может привести лишь очень небольшое подмножество Z, для остальных же P(X|Z) будет очень близок к нулю.
И при оптимизации достаточно сэмплить только из хороших Z.

Для того чтобы знать, из каких Z нам надо сэмплить, введем новое распределение Q(Z|X), которое в зависимости от X будет показывать распределение Z sim Q, которое могло привести к этому X.

Запишем сперва расстояние Кульбака-Лейблера (несимметричная мера «похожести» двух распределений, подробнее [3] ) между
Q(Z|X) и реальным P(Z|X):

KL[Q(Z|X)||P(Z|X)]=mathbb{E}_{Z sim Q}[log Q(Z|X) - log P(Z|X)]

Применяем формулу Байеса:

KL[Q(Z|X)||P(Z|X)]=mathbb{E}_{Z sim Q}[log Q(Z|X) - log P(X|Z) - log P(Z)] + log P(X)

Выделяем еще одно расстояние Кульбака-Лейблера:

KL[Q(Z|X)||P(Z|X)]=KL[Q(Z|X)||log P(Z)] - mathbb{E}_{Z sim Q}[log P(X|Z)] + log P(X)

В итоге получаем тождество:


log P(X) - KL[Q(Z|X)||P(Z|X)]=mathbb{E}_{Z sim Q}[log P(X|Z)] - KL[Q(Z|X)||P(Z)]


Это тождество — краеугольный камень вариационных автоэнкодеров, оно верно для любых Q(Z|X) и P(X,Z).

Пусть Q(Z|X) и P(X|Z) зависят от параметров: Q(Z|X;theta_1) и P(X|Z;theta_2), а P(Z) — нормальное N(0,I), тогда получаем:

log P(X;theta_2) - KL[Q(Z|X;theta_1)||P(Z|X;theta_2)]=mathbb{E}_{Z sim Q}[log P(X|Z;theta_2)] - KL[Q(Z|X;theta_1)||N(0,I)]

Взглянем повнимательнее на то, что у нас получилось:

  • во-первых, Q(Z|X;theta_1), P(X|Z;theta_2) подозрительно похожи на энкодер и декодер (точнее декодер это f в выражении P(X|Z;theta_2)=f(Z;theta_2) + epsilon),
  • слева в тождестве — значение, которое мы хотим максимизировать для элементов нашей тренировочной выборки X + некоторая ошибка KL  (KL(x,y) ge 0   forall x,y), которая, будем надеяться, при достаточной емкости Q уйдет в 0,
  • справа значение, которое мы можем оптимизировать градиентным спуском, где первый член имеет смысл качества предсказания X декодером по значениям Z, а второй член, это расстояние К-Л между распределением Z sim Q, которое предсказывает энкодер для конкретного X, и распределением Z для всех X сразу.

Для того, чтобы иметь возможность оптимизировать правую часть градиентным спуском, осталось разобраться с двумя вещами:

1. Точнее определим что такое Q(Z|X;theta_1)

Обычно Q выбирается нормальным распределением:

Q(Z|X;theta_1)=N(mu(X;theta_1), Sigma(X;theta_1))

То есть энкодер для каждого X предсказывает 2 значения: среднее mu и вариацию Sigma нормального распределения, из которого уже сэмплируются значения. Работает это все примерно вот так:

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 70

Иллюстрация из [2]

При том, что для каждой отдельной точки данных X энкодер предсказывает некоторое нормальное распределение

P(Z|X)=N(mu(X), Sigma(X))

для маргинального распределения X: P(Z)=N(0, I), что получается из формулы, и это потрясающе.

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 75

Иллюстрация из [2]

При этом KL[Q(Z|X;theta_1)||N(0,I)] принимает вид:

KL[Q(Z|X;theta_1)||N(0,I)]=frac{1}{2}left(tr(Sigma(X)) + mu(X)^Tmu(X) - k - log det Sigma(X) right)

2. Разберемся с тем, как распространять ошибки через mathbb{E}_{Z sim Q}[log P(X|Z;theta_2)]

Дело в том, что здесь мы берем случайные значения Z sim Q(Z|X;theta_1) и передаем их в декодер.
Ясно, что распространять ошибки через случайные значения напрямую нельзя, поэтому используется так называемый трюк с репараметризацией (reparametrization trick).

Схема получается вот такая:
Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 80

Иллюстрация из [1]

Здесь на левой картинке схема без трюка, а на правой с трюком.
Красным цветом показано семплирование, а синим вычисление ошибки.
То есть по сути просто берем предсказанное энкодером стандартное отклонение Sigma умножаем на случайное число из N(0,I) и добавляем предсказанное среднее mu.
Прямое распространение на обеих схемах абсолютно одинаковое, однако на правой схеме работает обратное распространение ошибки.

После того как мы обучили такой вариационный автоэнкодер, декодер становится полноправной генеративной моделью. По сути и энкодер-то нужен в основном для того, чтобы обучить декодер отдельно быть генеративной моделью.
Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 84

Иллюстрация из [2]

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 85

Иллюстрация из [1]

Но то, что энкодер и декодер вместо образуют еще и полноценный автоэнкодер — очень приятный плюс.

VAE в Keras

Теперь, когда мы разобрались в том, что такое вариационные автоэнкодеры, напишем такой на Keras.

Импортируем необходимые библиотеки и датасет:

import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import seaborn as sns

from keras.datasets import mnist
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()

x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test  = x_test .astype('float32') / 255.
x_train = np.reshape(x_train, (len(x_train), 28, 28, 1))
x_test  = np.reshape(x_test,  (len(x_test),  28, 28, 1))

Зададим основные параметры. Скрытое пространство возьмем размерности 2, чтобы позже генерировать из него и визуализировать результат.
Замечание: размерность 2 крайне мала, поэтому следует ожидать, что цифры получатся очень размытыми.

batch_size = 500
latent_dim = 2
dropout_rate = 0.3
start_lr = 0.0001

Напишем модели вариационного автоэнкодера.

Для того чтобы обучение происходило быстрее и более качественно, добавим слои dropout и batch normalization.

А в декодере используем в качестве активации leaky ReLU, которую добавляем отдельным слоем после dense слоев без активации.
Функция sampling реализует сэмплирование значений Z из Q(Z|X) с использованием трюка репараметризации.

vae_loss это правая часть из уравнения:

log P(X;theta_2) - KL[Q(Z|X;theta_1)||P(Z|X;theta_2)]=mathbb{E}_{Z sim Q}[log P(X|Z;theta_2)] - left(frac{1}{2}left(tr(Sigma(X)) + mu(X)^Tmu(X) - k - log det Sigma(X) right)right)

далее будет использоваться в качестве лосса.

from keras.layers import Input, Dense 
from keras.layers import BatchNormalization, Dropout, Flatten, Reshape, Lambda
from keras.models import Model

from keras.objectives import binary_crossentropy
from keras.layers.advanced_activations import LeakyReLU
from keras import backend as K

def create_vae():
    models = {}

    # Добавим Dropout и BatchNormalization
    def apply_bn_and_dropout(x):
        return Dropout(dropout_rate)(BatchNormalization()(x))

    # Энкодер
    input_img = Input(batch_shape=(batch_size, 28, 28, 1))
    x = Flatten()(input_img)
    x = Dense(256, activation='relu')(x)
    x = apply_bn_and_dropout(x)
    x = Dense(128, activation='relu')(x)
    x = apply_bn_and_dropout(x)

    # Предсказываем параметры распределений
    # Вместо того, чтобы предсказывать стандартное отклонение, предсказываем логарифм вариации
    z_mean = Dense(latent_dim)(x)
    z_log_var = Dense(latent_dim)(x)

    # Сэмплирование из Q с трюком репараметризации
    def sampling(args):
        z_mean, z_log_var = args
        epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, latent_dim), mean=0., stddev=1.0)
        return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon
    l = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])

    models["encoder"]  = Model(input_img, l, 'Encoder') 
    models["z_meaner"] = Model(input_img, z_mean, 'Enc_z_mean')
    models["z_lvarer"] = Model(input_img, z_log_var, 'Enc_z_log_var')

    # Декодер
    z = Input(shape=(latent_dim, ))
    x = Dense(128)(z)
    x = LeakyReLU()(x)
    x = apply_bn_and_dropout(x)
    x = Dense(256)(x)
    x = LeakyReLU()(x)
    x = apply_bn_and_dropout(x)
    x = Dense(28*28, activation='sigmoid')(x)
    decoded = Reshape((28, 28, 1))(x)

    models["decoder"] = Model(z, decoded, name='Decoder')
    models["vae"]     = Model(input_img, models["decoder"](models["encoder"](input_img)), name="VAE")

    def vae_loss(x, decoded):
        x = K.reshape(x, shape=(batch_size, 28*28))
        decoded = K.reshape(decoded, shape=(batch_size, 28*28))
        xent_loss = 28*28*binary_crossentropy(x, decoded)
        kl_loss = -0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
        return (xent_loss + kl_loss)/2/28/28

    return models, vae_loss

models, vae_loss = create_vae()
vae = models["vae"]

Замечание: мы использовали Lambda-слой с функцией, сэмплирующей из N(0, I) из нижележащего фреймворка, которая явно требует размер батча. Во всех моделях, в которых присутствует этот слой, мы теперь вынуждены передавать именно такой размер батча (то есть в encoder и vae).

Функцией оптимизации возьмем Adam или RMSprop, обе показывают хорошие результаты.

from keras.optimizers import Adam, RMSprop

vae.compile(optimizer=Adam(start_lr), loss=vae_loss)

Код рисования рядов цифр и цифр из многообразия

Код

digit_size = 28

def plot_digits(*args, invert_colors=False):
    args = [x.squeeze() for x in args]
    n = min([x.shape[0] for x in args])
    figure = np.zeros((digit_size * len(args), digit_size * n))

    for i in range(n):
        for j in range(len(args)):
            figure[j * digit_size: (j + 1) * digit_size,
                   i * digit_size: (i + 1) * digit_size] = args[j][i].squeeze()

    if invert_colors:
        figure = 1-figure

    plt.figure(figsize=(2*n, 2*len(args)))
    plt.imshow(figure, cmap='Greys_r')
    plt.grid(False)
    ax = plt.gca()
    ax.get_xaxis().set_visible(False)
    ax.get_yaxis().set_visible(False)
    plt.show()

n = 15 # Картинка с 15x15 цифр
digit_size = 28

from scipy.stats import norm
# Так как сэмплируем из N(0, I), то сетку узлов, в которых генерируем цифры берем из обратной функции распределения
grid_x = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))
grid_y = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))

def draw_manifold(generator, show=True):
    # Рисование цифр из многообразия
    figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
    for i, yi in enumerate(grid_x):
        for j, xi in enumerate(grid_y):
            z_sample = np.zeros((1, latent_dim))
            z_sample[:, :2] = np.array([[xi, yi]])

            x_decoded = generator.predict(z_sample)
            digit = x_decoded[0].squeeze()
            figure[i * digit_size: (i + 1) * digit_size,
                   j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit
    if show:
        # Визуализация
        plt.figure(figsize=(15, 15))
        plt.imshow(figure, cmap='Greys_r')
        plt.grid(None)
        ax = plt.gca()
        ax.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.get_yaxis().set_visible(False)        
        plt.show()
    return figure

Часто в процессе обучения модели требуется выполнять какие-то действия: изменять learning_rate, сохранять промежуточные результаты, сохранять модель, рисовать картинки и т.д.

Для этого в keras есть коллбэки, которые передаются в метод fit перед началом обучения. Например, чтобы влиять на learning rate в процессе обучения, есть такие коллбэки, как LearningRateScheduler, ReduceLROnPlateau, чтобы сохранять модель — ModelCheckpoint.

Отдельный коллбэк нужен для того, чтобы следить за процессом обучения в TensorBoard. Он автоматически будет добавлять в файл логов все метрики и лоссы, которые считаются между эпохами.

Для случая, когда требуется выполнение произвольных функций в процессе обучения, существует LambdaCallback. Он запускает выполнение произвольных функций в заданные моменты обучения, например, между эпохами или батчами.
Будем следить за процессом обучения, изучая, как генерируются цифры из N(0, I).

from IPython.display import clear_output
from keras.callbacks import LambdaCallback, ReduceLROnPlateau, TensorBoard

# Массивы, в которые будем сохранять результаты, для последующей визуализации
figs = []
latent_distrs = []
epochs = []

# Эпохи, в которые будем сохранять
save_epochs = set(list((np.arange(0, 59)**1.701).astype(np.int)) + list(range(10)))

# Отслеживать будем на вот этих цифрах
imgs = x_test[:batch_size]
n_compare = 10

# Модели
generator      = models["decoder"]
encoder_mean   = models["z_meaner"]

# Функция, которую будем запускать после каждой эпохи
def on_epoch_end(epoch, logs):
    if epoch in save_epochs:
        clear_output() # Не захламляем output

        # Сравнение реальных и декодированных цифр
        decoded = vae.predict(imgs, batch_size=batch_size)
        plot_digits(imgs[:n_compare], decoded[:n_compare])

        # Рисование многообразия
        figure = draw_manifold(generator, show=True)

        # Сохранение многообразия и распределения z для создания анимации после
        epochs.append(epoch)
        figs.append(figure)
        latent_distrs.append(encoder_mean.predict(x_test, batch_size))
        
# Коллбэки
pltfig = LambdaCallback(on_epoch_end=on_epoch_end)
# lr_red = ReduceLROnPlateau(factor=0.1, patience=25)
tb     = TensorBoard(log_dir='./logs')

# Запуск обучения 
vae.fit(x_train, x_train, shuffle=True, epochs=1000,
        batch_size=batch_size,
        validation_data=(x_test, x_test),
        callbacks=[pltfig, tb],
        verbose=1)

Теперь, если установлен TensorBoard, можно следить за процессом обучения.

Вот как этот энкодер восстанавливает изображения:

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 91

А вот результат сэмплирования из N(0|I)

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 93

Вот так выглядит процесс обучения генерации цифр:

Гифка

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 94

Распределение кодов в скрытом пространстве:

Гифка

Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 95

Не идеально нормальное, но довольно близко (особенно, учитывая, что размерность скрытого пространства всего 2).

Кривая обучения в TensorBoard
Автоэнкодеры в Keras, Часть 3: Вариационные автоэнкодеры (VAE) - 96

Код создания гифок

from matplotlib.animation import FuncAnimation
from matplotlib import cm
import matplotlib

def make_2d_figs_gif(figs, epochs, fname, fig): 
    norm = matplotlib.colors.Normalize(vmin=0, vmax=1, clip=False)
    im = plt.imshow(np.zeros((28,28)), cmap='Greys_r', norm=norm)
    plt.grid(None)
    plt.title("Epoch: " + str(epochs[0]))

    def update(i):
        im.set_array(figs[i])
        im.axes.set_title("Epoch: " + str(epochs[i]))
        im.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        im.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        return im
    
    anim = FuncAnimation(fig, update, frames=range(len(figs)), interval=100)
    anim.save(fname, dpi=80, writer='imagemagick')

def make_2d_scatter_gif(zs, epochs, c, fname, fig):
    im = plt.scatter(zs[0][:, 0], zs[0][:, 1], c=c, cmap=cm.coolwarm)
    plt.colorbar()
    plt.title("Epoch: " + str(epochs[0]))

    def update(i):
        fig.clear()
        im = plt.scatter(zs[i][:, 0], zs[i][:, 1], c=c, cmap=cm.coolwarm)
        im.axes.set_title("Epoch: " + str(epochs[i]))
        im.axes.set_xlim(-5, 5)
        im.axes.set_ylim(-5, 5)
        return im

    anim = FuncAnimation(fig, update, frames=range(len(zs)), interval=150)
    anim.save(fname, dpi=80, writer='imagemagick')
    
make_2d_figs_gif(figs, epochs, "./figs3/manifold.gif", plt.figure(figsize=(10,10)))
make_2d_scatter_gif(latent_distrs, epochs, y_test, "./figs3/z_distr.gif", plt.figure(figsize=(10,10)))

Видно, что размерности 2 для такой задачи очень мало, цифры очень размытые, а так же в промежутках между хорошими много рваных цифр.
В следующей части посмотрим, как генерировать цифры нужного лейбла, избавиться от рваных, а также как переносить стиль с одной цифры на другую.

Полезные ссылки и литература

Теоретическая часть основана на статье:
[1] Tutorial on Variational Autoencoders, Carl Doersch, 2016, https://arxiv.org/abs/1606.05908
и фактически является ее кратким изложением

Многие картинки взяты из блога Isaac Dykeman:
[2] Isaac Dykeman, http://ijdykeman.github.io/ml/2016/12/21/cvae.html

Подробнее прочитать про расстояние Кульбака-Лейблера на русском можно здесь:
[3] http://www.machinelearning.ru/wiki/images/d/d0/BMMO11_6.pdf

Код частично основан на статье Francois Chollet:
[4] https://blog.keras.io/building-autoencoders-in-keras.html

Другие интересные ссылки:
http://blog.fastforwardlabs.com/2016/08/12/introducing-variational-autoencoders-in-prose-and.html
http://kvfrans.com/variational-autoencoders-explained/

Автор: iphysic

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля