Фильтр Калмана. Первый взгляд

Введение

Эта публикация дает простое и интуитивно понятное введение к вопросу об использовании фильтра Калмана. Публикация рассчитана на тех, кто слышал о фильтре Калмана, но не знает, как он работает, а также на тех, кто знает уравнения фильтра Калмана, но не знает, откуда они берутся.

Требуемые знания: знакомство с матричной алгеброй, нормальным многомерным распределением, ковариацией матриц и т. д.

Постановка задачи

Фильтр Калмана имеет множество применений в технике и экономике. Выберем не тривиальную задачу – отслеживание местоположения ракеты запущенyой из страны Y. Обозначим текущее местоположение ракеты как пару координат широты – a и долготы – b, на контурной карте это .

На данный момент времени, точные координаты х неизвестны, но мы можем определить вероятность нахождения ракеты в данной точке исходя из двумерной плотности вероятности . Предполагая гауссовским закон распределения, значение плотности вероятности в точке можно записать в виде:

(1)

где: — распределение вероятности местоположения ракеты;
Σ – ковариационная матрица 2×2.

В рассматриваемой модели:

(2)

Используем следующий листинг для построения на плоскости эллиптической области распределения вероятности с центром красного цвета.

from scipy import linalg
import numpy as np
import matplotlib.cm as cm
from matplotlib.mlab import bivariate_normal
import matplotlib.pyplot as plt
# == Настройка гостовской плотности р == #
Σ = [[0.4, 0.3], [0.3, 0.45]]
Σ = np.matrix(Σ)
x_hat = np.matrix([0.2, -0.2]).T
# ==Определим матрицы G и R из уравнения y = G x + N(0, R) == #
G = [[1, 0], [0, 1]]
G = np.matrix(G)
R = 0.5 * Σ
# == Матрицы A и Q== #
A = [[1.2, 0], [0, -0.2]]
A = np.matrix(A)
Q = 0.3 * Σ
# == Матрицы A и Q == #
y = np.matrix([2.3, -1.9]).T
# == Настройка сетки для построения графика== #
x_grid = np.linspace(-1.5, 2.9, 100)
y_grid = np.linspace(-3.1, 1.7, 100)
X, Y = np.meshgrid(x_grid, y_grid)
def gen_gaussian_plot_vals(μ, C):
"µTorrent.lnk "
m_x, m_y = float(μ[0]), float(μ[1])
s_x, s_y = np.sqrt(C[0, 0]), np.sqrt(C[1, 1])
s_xy = C[0, 1]
return bivariate_normal(X, Y, s_x, s_y, m_x, m_y, s_xy)
#Построить график
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.grid()
Z = gen_gaussian_plot_vals(x_hat, Σ)
ax.contourf(X, Y, Z, 6, alpha=0.6, cmap=cm.jet)
cs = ax.contour(X, Y, Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs, inline=1, fontsize=10)
plt.show()

Получим:

Определение шага фильтрации

Датчики, установленные на ракете, сообщают координаты её текущего положения . Поместим эту точку на график с помощью следующего листинга.

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.grid()
Z = gen_gaussian_plot_vals(x_hat, Σ)
ax.contourf(X, Y, Z, 6, alpha=0.6, cmap=cm.jet)
cs = ax.contour(X, Y, Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs, inline=1, fontsize=10)
ax.text(float(y[0]), float(y[1]), "$y$", fontsize=20, color="black")
plt.show()

Получим:

Датчики неточны поэтому мы должны интерпретировать выход нашего датчика не как , а следующим образом:
(3)
Здесь матрицы G и R имеют размерность 2×2, а матрица R содержит только положительные элементы. Помеха в виде шумов – , не зависит от измеряемых координат – .
Для объединения плотности вероятности и полученного соотношения для y воспользуемся уравнением Байеса используя безусловную и условную вероятности:

где:

Для определения воспользуемся следующими соотношениями и условиями:

• ;
• с учётом соотношения (3), относительная вероятность равна ;
• не зависит от и входит в вычисления только как нормализующая постоянная.

Поскольку мы находимся в линейной и гауссовой структуре, обновленная плотность может быть вычислена путем вычисления линейных регрессий; в частности, известно решение [1]:

где:

(4)
где: — матрица коэффициентов регрессии.

Эта новая плотность показана на следующем рисунке через контурные линии и цветовую карту. Первоначальная плотность оставлена в виде контурных линий для сравнения.

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.grid()
Z = gen_gaussian_plot_vals(x_hat, Σ)
cs1 = ax.contour(X, Y, Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs1, inline=1, fontsize=10)
M = Σ * G.T * linalg.inv(G * Σ * G.T + R)
x_hat_F = x_hat + M * (y - G * x_hat)
Σ_F = Σ - M * G * Σ
new_Z = gen_gaussian_plot_vals(x_hat_F, Σ_F)
cs2 = ax.contour(X, Y, new_Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs2, inline=1, fontsize=10)
ax.contourf(X, Y, new_Z, 6, alpha=0.6, cmap=cm.jet)
ax.text(float(y[0]), float(y[1]), "$y$", fontsize=20, color="black")
plt.show()

Получим:

Наша новая плотность «закручивает» предыдущую в направлении, определяемом новой информацией .
При генерации фигуры мы устанавливаем G как единичную матрицу и
, матрица для согласно соотношению (2).

Прогноз на шаг вперёд

Подведём промежуточные итоги. Нами получено вероятное текущее положение ракеты с использованием информации о начальном и текущем её положении. Это имеет название фильтрация, но не прогнозирование, поскольку фильтруем от шума, но не можем предсказать местоположение ракеты в следующий момент времени.

Давайте предположим, что нам поставлена другая задача: предсказать местоположение ракеты после истечения единицы времени, не имея никакой информации о новом её местоположении.

Для решения этой задачи используем линейную гауссовою модель вида:

(5)

Наша цель – объединить этот закон движения и наше текущее распределение , чтобы придумать новое предсказательное распределение для местоположения ракеты за одну единицу времени.

Ввиду (5) все, что нам нужно сделать, – ввести случайный вектор и выработать распределение , где w не зависит от и имеет распределение

Поскольку в (5) используются линейные комбинации случайных переменных с гауссовыми распределениями, то и также является гауссовой переменной.

После преобразований соотношений (4) с учётом введенных переменных получим:

Матрица часто записывается как и называется усилением Кальмана. Добавлен индекс , напоминающий нам, что зависит от , но не зависит от или

Используя эти обозначения, мы можем суммировать наши результаты следующим образом. Наше обновленное предсказание – имеет плотность вероятности , где:

(6)

Плотность называется прогностическим распределением. Прогностическое распределение – это новая плотность, показанная на следующем рисунке, где использованы обновлённые параметры:

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.grid()
# Плотность 1
Z = gen_gaussian_plot_vals(x_hat, Σ)
cs1 = ax.contour(X, Y, Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs1, inline=1, fontsize=10)
# Плотность 2
M = Σ * G.T * linalg.inv(G * Σ * G.T + R)
x_hat_F = x_hat + M * (y - G * x_hat)
Σ_F = Σ - M * G * Σ
Z_F = gen_gaussian_plot_vals(x_hat_F, Σ_F)
cs2 = ax.contour(X, Y, Z_F, 6, colors="black")
ax.clabel(cs2, inline=1, fontsize=10)
# Плотность 3
new_x_hat = A * x_hat_F
new_Σ = A * Σ_F * A.T + Q
new_Z = gen_gaussian_plot_vals(new_x_hat, new_Σ)
cs3 = ax.contour(X, Y, new_Z, 6, colors="black")
ax.clabel(cs3, inline=1, fontsize=10)
ax.contourf(X, Y, new_Z, 6, alpha=0.6, cmap=cm.jet)
ax.text(float(y[0]), float(y[1]), "$y$", fontsize=20, color="black")
plt.show()

Получим:

Рекурсивная процедура

Давайте посмотрим на то, что мы сделали. Мы начали текущий период с для размещения координат ракеты. Затем мы использовали текущее измерение для обновления вероятности до. Наконец, мы использовали закон движения (5) для обновить до .

Если мы сейчас переходим к следующему периоду, мы снова готовы взять в качестве предшествующего периода. Обозначая для и для , полная рекурсивная процедура состоит:

1. Начинаем текущий период с предшествующего
2. Получаем текущее измерение
3. Вычислить распределение фильтрации из и, применяя правило Байеса и условное распределение (3) ;
4. Вычислить прогностическое распределение из фильтрационного распределения (5);
5. Приращение t на единицу и переход к шагу 1.

Повторяя (6), динамика для и выглядит следующим образом:

(7)

Это стандартные динамические уравнения для фильтра Калмана (см., например, [2], с. 58)

Конвергенция

Матрицa является мерой неопределенности нашего предсказания из . Помимо особых случаев, эта неопределенность никогда не будет полностью решена, независимо от того, сколько времени истекает.

Одна из причин заключается в том, что наше предсказание составлено на основе информации, доступной в t-1, а не t. Даже если мы знаем точное значение (чего мы не делаем), из уравнения перехода (5) следует, что:

Поскольку не наблюдается при t-1, в любое время предсказание повлечет за собой некоторую ошибку (если не вырождается).

Однако, конечно, возможно, что сходится к постоянной матрице при . Чтобы изучить эту тему, давайте разберем второе уравнение в (7):

(8)

Это нелинейное разностное уравнение для . Фиксированная точка (8) является постоянной матрицей Σ такой, что:

Уравнение (8) известно, как разностное уравнение Риккати дискретного времени. Уравнение (9) называется дискретным временным алгебраическим уравнением Риккати.

Условия, при которых существует неподвижная точка и сходящаяся к ней последовательность , обсуждаются в [3] и [4], глава 4.

Достаточным (но не необходимым) условием является то, что все собственные значения матрицы A удовлетворяют (см., например, [4], стр. 77). Это сильное условие гарантирует, что безусловное распределение сходится при .

В этом случае для любого начального выбора , неотрицательного и симметричного, последовательность в (8) сходится к неотрицательной симметрической матрице , которая является решением (9).

Реализация

Класс Kalman из пакета QuantEcon.py реализует фильтр Kalman на основе линейной модели пространства состояний следующего вида:

Приведём переход переменных к принятым в публикации обозначениям:

Класс Kalman из пакета QuantEcon.py [5] имеет ряд методов, приведём те, которые относятся к данной публикации:

• before_to_filtered, метод обновляет до ;
• filter_to_forecast, метод обновляет распределение фильтрации до прогнозирующего распределения – которое становится новым ранее ;
• update, обновление, которое сочетает в себе последние два метода;
• stationary_values, метод вычисляет решение уравнения (9) и соответствующее (стационарное) усиление Кальмана.

Примеры использования класса Kalman из пакета QuantEcon.py

Пример 1

Рассмотрим следующее простое применение фильтра Калмана взятое из [2], раздел 2.9.2. Предположим, что все переменные являются скалярами, скрытое состояние фактически является постоянным, равным некоторому значению . Динамика состояний отражена в выражении (5) с, и . Уравнение измерения: , где равно .

Задача этого примера с использованием kalman.py построить первые пять предсказательных плотностей . При моделировании использовать следующие значения переменных .

from quantecon import Kalman
import numpy as np
from quantecon import LinearStateSpace
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
# == параметры == #
θ = 10 # Постоянное значение состояния x_t
A, C, G, H = 1, 0, 1, 1
ss = LinearStateSpace(A, C, G, H, mu_0=θ)
# ==задание до инициализации фильтра Калмана == #
x_hat_0, Σ_0 = 8, 1
kalman = Kalman(ss, x_hat_0, Σ_0)
# == наблюдение за измерением в модели пространства состояний== #
N = 5
x, y = ss.simulate(N)
y = y.flatten()
# == настроить график == #
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))
xgrid = np.linspace(θ - 5, θ + 2, 200)
for i in range(N):
# == записать текущее прогнозируемое среднее и дисперсию== #
m, v = [float(z) for z in (kalman.x_hat, kalman.Sigma)]
# =обновление фильтра == #
ax.plot(xgrid, norm.pdf(xgrid, loc=m, scale=np.sqrt(v)), label=f'$t={i}$')
kalman.update(y[i])
ax.set_title(f'Первые {N} распределений плотности вероятности n при $\theta = {θ:.1f}$')
ax.legend(loc='upper left')
plt.show()

Получим:

Как показано в [2], в разделах 2.9.1-2.9.2, эти распределения асимптотически приближаются к неизвестному значению .

Пример 2

На предыдущем графике приведена некоторая поддержка идеи о том, что интеграл плотности вероятности сходится к .
Чтобы проверить идею, нужно выбрать небольшое и вычислить интеграл:

для .

from quantecon import Kalman
from numpy import*
from quantecon import LinearStateSpace
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad
ϵ = 0.1
θ = 10  # Постоянное значение состояния x_t
A, C, G, H = 1, 0, 1, 1
ss = LinearStateSpace(A, C, G, H, mu_0=θ)
x_hat_0, Σ_0 = 8, 1
kalman = Kalman(ss, x_hat_0, Σ_0)
T = 600
z = empty(T)
x, y = ss.simulate(T)
y = y.flatten()
for t in range(T):
# Запись текущего предсказанного среднего, дисперсии  их плотности распределения
m, v = [float(temp) for temp in (kalman.x_hat, kalman.Sigma)]
f = lambda x: norm.pdf(x, loc=m, scale=sqrt(v))
integral, error = quad(f, θ - ϵ, θ + ϵ)
z[t] = 1 - integral
kalman.update(y[t])
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_xlim(0, T)
ax.plot(range(T), z)
ax.fill_between(range(T), zeros(T), z, color="blue", alpha=0.2)
plt.show()

Получим:

Пример 3

Как обсуждалось выше, последовательность не вырождена, то в общем случае невозможно предсказать без ошибок в момент времени t-1 (и это было бы так, даже если бы мы могли наблюдать ). Давайте теперь сравним предсказание , сделанное фильтром Калмана, против конкурента, которому разрешено наблюдать .

Этот конкурент будет использовать условное ожидание , которое в этом случае является .. Известно, что условное ожидание является оптимальным методом прогнозирования с точки зрения минимизации среднеквадратической ошибки. (Точнее, минимизатор по g равен ).

Таким образом, мы сравниваем фильтр Калмана с конкурентом, который имеет больше информации (в смысле возможности наблюдать скрытое состояние) и ведет себя оптимально с точки зрения минимизации квадратичной ошибки. Наши переходы будут оцениваться по квадрату ошибки.

В частности, ваша задача состоит в том, чтобы генерировать график, отображающий наблюдения как , так и против t при t=1,...,50.

Для параметров задайте , и , где I — тождество 2 × 2.

Задать

.

Чтобы инициализировать предыдущую плотность, следует установить:

.

и .

Наконец, установите .

from scipy.linalg import eigvals
from quantecon import Kalman
import numpy as np
from quantecon import LinearStateSpace
import matplotlib.pyplot as plt
# === Определение A, C, G, H === #
G = np.identity(2)
H = np.sqrt(0.5) * np.identity(2)
A = [[0.5, 0.4],
      [0.6, 0.3]]
C = np.sqrt(0.3) * np.identity(2)
# === Настроить модель пространства состояний, начальное значение x_0 установить на ноль=== #
ss = LinearStateSpace(A, C, G, H, mu_0 = np.zeros(2))
# === Определить предыдущую плотность=== #
Σ = [[0.9, 0.3],
      [0.3, 0.9]]
Σ = np.array(Σ)
x_hat = np.array([8, 8])
# === Инициализировать фильтр Калмана === #
kn = Kalman(ss, x_hat, Σ)
# == Печатать собственные значения A == #
print("Собственные значения A:")
print(eigvals(A))
# == Печать стационарная Σ== #
S, K = kn.stationary_values()
print("Дисперсия ошибки стационарного прогноза:")
print(S)
# === Создать сюжет=== #
T = 50
x, y = ss.simulate(T)
e1 = np.empty(T-1)
e2 = np.empty(T-1)
for t in range(1, T):
kn.update(y[:,t])
e1[t-1] = np.sum((x[:, t] - kn.x_hat.flatten())**2)
e2[t-1] = np.sum((x[:, t] - A @ x[:, t-1])**2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9,6))
ax.plot(range(1, T), e1, 'k-', lw=2, alpha=0.6, label='Ошибка фильтра Калмана')
ax.plot(range(1, T), e2, 'g-', lw=2, alpha=0.6, label='Условная математическая ошибка')
ax.legend()
plt.show()

Получим:

Собственные значения A:
[ 0.9+0.j -0.1+0.j]
Дисперсия ошибки стационарного прогноза:
[[0.40329108 0.1050718 ]
[0.1050718 0.41061709]]

Пример 4

Попробуйте изменить коэффициент 0.3 в Q=0.3I вверх и вниз. Для Q=0.5I получим:

Собственные значения A:

[ 0.9+0.j -0.1+0.j]

Дисперсия ошибки стационарного прогноза:
[[0.62286148 0.12527948]
[0.12527948 0.63270989]]

Для Q=0.1I получим:

Собственные значения A:
[ 0.9+0.j -0.1+0.j]
Дисперсия ошибки стационарного прогноза:
[[0.16433113 0.06508848]
[0.06508848 0.16752408]]

Заметим, как диагональные значения в стационарном решении (см. (9)) возрастают и убывают в соответствии с этим коэффициентом.

Интерпретация заключается в том, что большая случайность в законе движения для приводит к большей (постоянной) неопределенности в прогнозировании.

1. C. M. Bishop. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006.
2. L Ljungqvist and T J Sargent. Recursive Macroeconomic Theory. MIT Press, 4 edition, 2018.
3. E. W. Anderson, L. P. Hansen, E. R. McGrattan, and T. J. Sargent. Mechanics of Forming and Estimating Dynamic Linear Economies. In Handbook of Computational Economics. Elsevier, vol 1 edition, 1996.
4. D. B. O. Anderson and J. B. Moore. Optimal Filtering. Dover Publications, 2005.
5. kalman.py.https://github.com/QuantEcon/QuantEcon.py/blob/master/quantecon/kalman.py

Автор: Юрий Тараненко

Источник ^[1]