Гармонические колебания

в 16:16, , рубрики: визуализация данных

На хабре было несколько статей по преобразованию Фурье, и о всяких красивостях типа Цифровой Обработки Сигналов (ЦОС), но неискушённому пользователю совершенно непонятно зачем всё это нужно и где, а главное как это применить.

Гармонические колебания
АЧХ шума.

Лично мне, после прочтения этих статей (например этой ) не стало понятно что это и зачем оно нужно в реальной жизни, хотя было интересно и красиво.
Хочется не просто поглядеть красивые картинки, а так сказать, ощутить нутром что и как работает. И я приведу конкретный пример с генерацией и обработкой звуковых файлов. Можно будет и послушать звук, и поглядеть его спектр и понять почему это так.
Статья не будет интересна тем, кто владеет теорий функций комплексной переменной, ЦОС и прочими страшными темами. Она скорее для любопытствующих, школьников, студентов и им сочувствующих :).

Сразу оговорюсь, я не математик, и многие вещи могу даже сказать не правильно (поправляйте личным сообщением), и данную статью пишу пираясь на собственный опыт и собственное понимание текущих процессов. Если вы готовы, то поехали.

Пару слов о матчасти

Если мы вспомним школьный курс математики, то для построения графика синуса мы использовали круг. В общем-то так и получается, что вращательное движение можно превратить в синусоиду (как и любое гармоническое колебание). Самое лучшая иллюстрация этого процесса приведена в википедии

Гармонические колебания
Гармонические колебания (непорезанная гифка)

Т.е. фактически график синуса получается из вращения вектора, который описывается формулой:

f(x) = A sin (ωt + φ),

где A — длинна вектора (амплитуда колебаний), φ — начальный угол (фаза) вектора в нулевой момент времени, ω — угловая скорость вращения, которая равна:

ω=2 πf, где f — частота в Герцах.

Как мы видим, что зная частоту сигнала, амплитуду и угол, мы можем построить гармонический сигнал.

Магия начинается тогда, когда оказывается, что представление абсолютно любого сигнала можно представить в виде суммы (зачастую бесконечной) различных синусоид. Иначе говоря в виде ряда Фурье.
Я приведу пример из английской википедии. Для примера возьмём пилообразный сигнал.

Гармонические колебания
Пилообразный сигнал

Его сумма будет представлена следующей формулой:

Гармонические колебания

В результате, если мы будем по очерёдно суммировать, брать сначала n=1, затем n=2 и т.д., то увидим как у нас гармонический синусоидальный сигнал постепенно превращается в пилу:

Гармонические колебания
непорезанная гифка

Наверное красивее всего это иллюстрирует одна программа, найденная мной на просторах сети. Выше уже говорилось, что график синуса является проекцией вращающегося вектора, а как же быть в случае более сложных сигналов? Это, как ни странно проекция множества вращающихся векторов, а точнее их суммы и выглядит это всё так:

Гармонические колебания
Вектора рисуют пилу. Непорезанная гифка

Вообще рекомендую сходить самим по ссылке и попробовать самим поиграться с параметрами, и посмотреть как меняется сигнал. ИМХО более наглядной игрушки для понимания я ещё не встречал.

Ещё следует заметить, что есть обратная процедура, позволяющая получить из данного сигнала частоту, амплитуду и начальную фазу (угол), называется Преобразование Фурье.

Гармонические колебания
Разложение в ряд Фурье некоторых известных периодических функций (отсюда)

Я детально на нём останавливаться не буду, но покажу как это можно применить по жизни. В списке литературы порекомендую то, где можно почитать подробнее о матчасти.

Преходим к практическим упражнениям!

Мне кажется, что каждый студент задаётся вопросом, сидя на лекции, например по матану: зачем мне весь этот бред? И как правило не найдя ответа в обозримом будущем, к сожалению теряет интерес к предмету. Поэтому я сразу покажу практическое применение данных знаний, а вы эти знания уже будете осваивать сами :).

Всё дальнейшее я буду реализовывать на сях. Делал всё конечно под Linux, но никой специфики не использовал, по идее будет компилироваться и работать под другими платформами.

Для начала напишем программу для формирования звукового файла. Был взять wav-файл, как самый простой. Прочитать про его структуру можно тут.
Если кратко, то структура wav-файла описывается так: заголовок, который описывает формат файла, и далее идёт (в нашем случае), массив 16-ти битных данных (остроконечник), длинной: частота_дискретизации*t секунд или 44100*t штук.

Для формирования звукового файла был взять пример здесь. Я его немного модифицировал, исправил ошибки, и окончательная версия с моими правками теперь лежит на гитхабе тут

github.com/dlinyj/generate_wav

Сгенерируем двухсекундный звуковой файл с чистым синусом, частотой 100 Гц. Для этого модифицируем программу таким образом:

#define S_RATE  (44100) //частота дискретизации
#define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 second buffer */
….

int main(int argc, char * argv[])
{
...
	float amplitude = 32000; //берём максимальную возможную амплитуду
	float freq_Hz = 100; //частота сигнала
	/* fill buffer with a sine wave */
	for (i=0; i<BUF_SIZE; i++)
	{

		buffer[i] +=(int)(amplitude * sin((float)(2*M_PI*i*freq_Hz/S_RATE))); 
	}
	write_wav("test.wav", BUF_SIZE, buffer, S_RATE);
 
	return 0;
}

Обращаю внимание, что формула чистого синуса соответствует той, о которой мы говорили выше. Амплитуда 32000 (можно было взять 32767) соответствует значению которое может принимать 16-ти битное число (от минус 32767 до плюс 32767).

В результате получаем следующий файл (можно его даже послушать любой звуковоспроизводящей программой). Откроем данный файл audacity, и увидим, что график сигнала в действительности соответствует чистому синусу:

Гармонические колебания
Чистый ламповый синус

Поглядим спектр этого синуса (Анализ->Построить график спектра)

Гармонические колебания
График спектра

Виден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фаза-частотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.

Гармонические колебания

Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять

В данном случае просто логарифм амплитуды, умноженный на 10. Логарифмический масштаб удобно использовать при работе с сигналами.

Мне, честно говоря не очень нравится анализатор спектра в этой программе, по этому я решил написать свой с блекджеком и шлюхами, тем более что это не сложно.

Пишем свой анализатор спектра

Здесь может быть скучно, по этому можете перейти сразу к следующей главе.

Поскольку я прекрасно понимаю, что тут портянки кода размещать нет смысла, те кому реально интересно — сами найдут и поковыряют, а тем кому это не интересно будут скучать, то я остановлюсь только на основных моментах написания анализатора спектра wav-файла.

Во первых, нам wav-файл необходимо читать. Там необходимо прочитать заголовок, чтобы понять что содержит данный файл. Я не стал реализовывать море вариантов чтения данного файла, а остановился только на одном. Пример чтения файла был взять отсюда практически без изменений, ИМХО — отличный пример. Там же есть реализация на питоне.

Следующее, что нам нужно, это быстрое преобразование Фурье. Это то самое преобразование, которое позволяет получить из конечного набора точек _вектора_ исходных сигналов. Пусть вас пока это не пугает, дальше я объясню.
Опять же, велосипед изобретать не стал, а взял готовый пример отсюда.

Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.

Для начала алокируем массивы:

	c = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей
	in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив
	out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массив

Скажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длинной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).

	while( fread(&value,sizeof(value),1,wav) ) {
		in[j]=(float)value;
		j+=2;
		if (j > 2*size_array)  break;
}

Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re[0], im[0], re[1], im[1],… re[fft_size-1], im[fft_size-1]}, где fft_size=1<< p — число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
Это массив комплексных чисел. Я даже боюсь представить, где используются комплексное преобразование Фурье, но в нашем случае мнимая часть у нас равна нулю, а действительная равна значению каждой точке масива.
Ещё одна особенность именно быстрого преобразования Фурье, что он обсчитывает массивы, кратные только степени двойки. В результате мы должны вычислить минимальную степень двойки:

int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Логарифм от количество байт в данных делённых на количество байт в одной точке.

После этого считаем поворотные множители:

fft_make(p2,c);// функция расчёта поворотных множителей для БПФ (первый параметр степень двойки, второй алокированный массив поворотных множителей).

И скармливаем наш считанный массив в преобразователь Фурье:

fft_calc(p2, c,	in,	out, 1); //(единица означает, что мы получаем нормализованный массив).

На выходе мы получаем комплексные числа вида {re[0], im[0], re[1], im[1],… re[fft_size-1], im[fft_size-1]}. Для тех, кто не знает что такое комплексное число, поясню. Я не зря начал эту статью с кучи вращающихся векторов, и кучи гифок. Так вот, вектор на комплесной плоскости определяется действительной координатой a1 и мнимой координатой a2. Или длинной (это у нас амплитуда Am) и углом Пси (фаза).

Гармонические колебания
Вектор на комплексной плоскости

Обратите внимание, что size_array=2^p2. Первая точка массива соответствует частоте 0 Гц (постоянная), последняя точка соответствует частоте дискретизации, а именно 44100 Гц. В результате мы должны расчитать частоту, соотвутствующей каждой точке, они будут отличаться на частоту дельта:

double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //частота дискретизации на размер массива.

Алокируем массив амплитуд:

	double * ampl;
	ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

И, смотрим на картинку: амплитуда — это длинна вектора. А у нас есть его проекции, вспоминаем теорему Пифагора и считаем длину каждого вектора и сразу пишем её в текстовый файл:

for(i=0;i<(size_array);i+=2) {
		fprintf(logfile,"%.6f %fn",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out[i+1]*out[i+1])));
		cur_freq+=delta;
	}

В результате получаем файл примерно такого вида:

…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...

Окончательная версия программы обитает на гитхабе вот тут:
github.com/dlinyj/fft

Пробуем!

Теперь скармливаем получившейся программе тот звуковой файл синуса

./fft_an ../generate_wav/sin 100 Hz.wav 
format: 16 bits, PCM uncompressed, channel 1, freq 44100, 88200 bytes per sec, 2 bytes by capture, 2 bits per sample, 882000 bytes in data

chunk=441000
log2=18
size array=262144 
wav format
Max Freq = 99.928 , amp =7216.136

И получаем текстовый файл АЧХ. Строим его график с помощью гнуплота

Скрипт для построения:

#! /usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript eps enhanced color solid
set output "result.ps"
#set terminal png size 800, 600
#set output "result.png"

set grid xtics ytics
set log xy
set xlabel "Freq, Hz" 
set ylabel "Amp, dB"

set xrange [1:22050]
#set yrange [0.00001:100000]

plot "test.txt" using 1:2 title "AFC" with lines linestyle 1

Обратите внимание на ограничение в скрипте на количество точек по X: set xrange [1:22050]. Частота дискретизации у нас 44100, а если вспомнить теорему Котельникова, то частота сигнала не может быть выше половины частоты дискретизации, следовательно сигнал выше 22050 Гц нас не интересует. Почему так, советую прочитать в специальной литературе.
Итак (барабанная дробь), запускаем скрипт и лицезреем:

Гармонические колебания
Спектр нашего сигнала

Обратите внимание на резкий пик на частоте 100 Гц. Не забывайте, что по осям — логарифмический масштаб! Шерсть справа, как я думаю — ошибки преобразования Фурье.

А давайте побалуем?

А давайте! Давайте поглядим спектры других сигналов!

Вокруг шум…

Для начала построим спектр шума. Это вообще очень интересная тема шумы, случайные сигналы и т.п. достойная отдельного курса. Но мы её коснёмся слегка. Модифицируем нашу программу генерации wav-файла, добавим одну процедуру:

double d_random(double min, double max)
{
    return min + (max - min) / RAND_MAX * rand();
}

она будет генерировать случайное число в заданном диапазоне. В результате мейн будет выглядеть так:

int main(int argc, char * argv[])
{
	int i;
	float amplitude = 32000;
	srand((unsigned int)time(0)); //инициализируем генератор случайных чисел
	for (i=0; i<BUF_SIZE; i++)
	{
		buffer[i] +=(int)amplitude*d_random(-1.0, 1.0); //nois		
	}
	write_wav("test.wav", BUF_SIZE, buffer, S_RATE);
 	return 0;
}

Сгенерируем файл, рекомендую к прослушиванию Поглядим его audacity

Гармонические колебания
Сигнал в audacity

Поглядим им же спектр

Гармонические колебания
Спектр

И поглядим спектр с помощью нашей программы:

Гармонические колебания
Наш спектр

Хочу обратить внимание на очень интересный факт и особенность шума — он содержит в себе спектры всех гармоник. Как видно из графика спектр вполне себе ровный. Как правило белый шум используется для частотного анализа пропускной способности, например аудиоаппаратуры. Существуют и другие виды шумов: розовый, синий и другие. Домашнее задание — узнать чем они отличаются.

А компот?

А теперь давайте посмотрим другой интереснейший сигнал — меандр. Я там выше приводил табличку разложений различных сигналов в ряды Фурье, вы поглядите как раскладывается меандр, выпишите на бумажку и мы продолжим.

Для генерации меандра с частотой 25 Гц мы модифицируем в очередной раз наш генератор wav-файла:

int main(int argc, char * argv[])
{
	int i;
	short int meandr_value=32767;
	/* fill buffer with a sine wave */
	for (i=0; i<BUF_SIZE; i++)
	{
		//meandr
		if (!(i%(S_RATE/((int)freq_Hz/2)))) {
			if (meandr_value==32767) {
				meandr_value=-32767;
			} else { 
				meandr_value=32767;
			}
		}
		buffer[i]=meandr_value;
	}
	write_wav("test.wav", BUF_SIZE, buffer, S_RATE);
	return 0;
}

В результате получим звуковой файл (опять же, советую послушать), который сразу надо посмотреть в audacity

Гармонические колебания
Его величество — меандр или меандр здорового человека

Не будем томиться и поглядим его спектр:

Гармонические колебания
Спектр меандра

Пока не очень что-то понятно, что такое… А давайте поглядим несколько первых гармоник:

Гармонические колебания
Первые гармоники

Совсем другое дело! Ну-ка поглядим табличку. Смотрите-ка, у нас так и получается, у нас есть только 1, 3, 5 и т.д. нечётные гармоники. Мы так и видим, что у нас первая гармоника 25 Гц, следующая (третья) 75 Гц, затем 125 Гц и т.д., при этом у нас амплитуда постепенно уменьшается. Теория сошлась с практикой!
А теперь внимание! В реальной жизни сигнал меандра у нас имеет бесконечную сумму гармоник всё более и более высокой частоты, но как правило реальные электрические цепи не могут пропускать частоты выше какой-то частоты (в силу индуктивности и ёмкости дорожек). В результате на экране осциллографа можно часто увидеть вот такой сигнал:

Гармонические колебания
Меандр курильщика

Эта картинка прям как картинка из википедии, где для примера меандра берутся не все частоты, а только первые несколько

Сумма первых гармоник, и как меняется сигнал

Меандр так же активно используется в радиотехнике (надо сказать, что он основа всей цифровой техники), и стоит понимать что при длинных цепях его может отфильтровать так, что родная мама не узнает. Его так же используют для проверки АЧХ различных приборов. Ещё интересный факт, что глушилки телевизоров работали именно по принципу высших гармоник, когда сама микросхема генерировала меандр десятки МГц, а высшие гармоники могли иметь частоты сотни МГц, как раз на частоте работы телевизора и успешно его глушили.

Вообще тема подобных экспериментов бесконечная, и вы можете теперь сами её продолжить.

Рекомендации по прочтению

Гармонические колебания
Книга

Для тех, кто нифига не понял что мы тут делаем, или наоборот, тех кто понял, но хочет разобраться ещё лучше, а так же студентам изучающим ЦОС крайне рекомендую эту книгу. Это ЦОС для чайников, которым является автор данного поста. Там доступным языком, даже ребёнку, рассказываются сложнейшие понятия.

Заключение

В заключении хочу сказать, что математика — царица наук, но без реального применения многие люди теряют к ней интерес. Надеюсь данный пост подстегнёт вас к изучению такого замечательного предмета, как обработка сигналов, и вообще аналоговой схемотехнике (затыкайте уши, чтобы не вытекали мозги!). :)
Удачи!

З.Ы. Нерабочие гифки не моя вина, хабр перезаливает картинки к себе, и убивает динамику. Увы…

Автор: dlinyj

Источник

Поделиться

* - обязательные к заполнению поля