Элементарные свойства элементарных функций с точки зрения современного анализа

В этой статье речь пойдет об элементарных функциях с позиций современного анализа. Это — рассказ в духе двухтомника Феликса Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей».

Дисклеймер: данная статья, как и предыдущие публикации автора, не имеет никакого отношения к методике преподавания математики или физики в средней школе.

Определение. Экспонентой называется функция

$exp(z)=sum_{k=0}^inftyfrac{z^k}{k!},quad z=t+itauinmathbb{C}.$

Экспонента — функция целая, радиус сходимости её ряда равен бесконечности; она ставит в соответствие действительному аргументу действительное значение.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что экспонента удовлетворяет следующей задаче Коши:

$frac{dw}{dz}=w,quad w(0)=1,quad w(z)=exp(z).qquad(1)$

В силу группового свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений имеем:

Из этой формулы ясно, что экспонента не обращается в ноль на , так как если бы она обращалась в ноль в какой-нибудь точке , то она была бы тождественно равна нулю.

Следовательно, функция положительна и монотонно возрастает на действительной прямой , что непосредственно вытекает из (1).

Определим числоследующим образом:. Из определения экспоненты следует, что.

Из формулы (2) находим:

$exp(m/n)=sqrt[n]{e^m},quad minmathbb{Z},quad ninmathbb{N}.qquad(3)$

Следовательно, $lim_{ttoinfty}exp(t)=infty,quad lim_{tto-infty}exp(t)=0.$

Формула (3) оправдывает обозначение:.

Определение. Натуральным логарифмом называется функция, обратная к экспоненте:

Кроме того,

$log_a xi:=frac{ln xi}{ln a},quad a^t:=exp(tln a),quad a>0,quad ane 1.$

Перейдем к тригонометрии.

Определение.

$cos z:=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},quad sin z:=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$

Отсюда и из (1), (2) следует, что

$cos^2z+sin^2z=1,quad frac{d}{dz}cos z=-sin z,quad frac{d}{dz}sin z=cos z.qquad(4)$

Также непосредственно из определений синуса и косинуса вытекает формула Эйлера:

$e^{iz}=cos z+isin z.$

Чтобы связать построенную теорию с элементарными наглядными представлениями о синусах и косинусах в терминах единичной окружности, введем на евклидовой плоскости $mathbb{R}^2$ декартовы координатыи рассмотрим кривую

Из формул (4) получаем:

$x^2(t)+y^2(t)=1,quad dot x^2+dot y^2=1,quad begin{vmatrix}x(t)&y(t)\dot x(t)&dot y(t)end{vmatrix}=1.$

Точкой сверху здесь обозначена производная по.

Из этих формул вытекает следующая теорема.

Теорема. Функции (5) представляют собой параметрическое уравнение окружности радиуса 1 c центром в нуле, причем -- натуральный параметр. Увеличению соответствует обход окружности против часовой стрелки.

Черезобозначим половину длины единичной окружности. Из доказанной теоремы вытекают следующие формулы:

В заключение напомним определение длины дуги кривой, которое мы здесь используем. Зададим параметрически кривую:

где

Длиной кривой называется число

$ell=int_{t_1}^{t_2}sqrt{dot x^2(t)+dot y^2(t)}dt.$

Параметр называется натуральным, если подкоренное выражение в этом интеграле тождественно равно единице.

Автор: drzewo

Источник ^[1]

Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru

Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/analiticheskie-funktsii/447384

Ссылки в тексте:

[1] Источник: https://habr.com/ru/articles/1013252/?utm_campaign=1013252&utm_source=habrahabr&utm_medium=rss

Нажмите здесь для печати.