Решаем загадку круглых чисел на графике выборов 2018

Данная статья является ответом на вот эту статью (Анализ результатов президентских выборов 2018 года. На федеральном и региональном уровне ^[1]).

В той статье меня удивила фраза автора:

Вместо нормального или логнормального распределения мы видим интересную кривую, с очень странными пиками на круглых значениях (70%, 75%, 80% и т.д.), возрастающую на около-100% явке и уходящей далеко вверх на 100%.

Сразу возникают вопросы:
Почему автор считает, что вместо «странных» пиков должно быть нормальное или логнормальное распределение?
Почему вообще пики считаются «странными»?
Откуда могут появиться «естественные» пики на круглых значениях?

Та статья сильно политизирована и комментарии в ней соответствующие. В этой статье мы будем обсуждать только математику, поэтому политические взгляды попрошу держать при себе.

А в качестве бонуса, в конце статьи будет выложен ключ к решению загадки «круглых чисел» на графике выборов 2018.

Исходные данные

Файл БД (MongoDB) с результатами голосования (парсинг с гос. сайта ^[2]), который был выложен автором исходной статьи:

Файл = 15-04-18.tar.xz ^[3]
MD5 = 3a1c198cbc4ce102fbc074752fc0ca99

Мы будем исследовать график зависимости процента явки и количества УИКов с данной явкой. В исходной статье он выглядит так:

Вступление

Все желающие могут скачать ^[3] БД и самостоятельно проверить на наличие ошибок. Мной из полученной БД были случайным образом выбраны и проверены данные по нескольким УИКам, что позволяет с некоторой вероятностью утверждать, что данные были загружены с гос. сайта корректно.

Официальная ^[4] формула расчета явки:
Число бюллетеней, выданных на участке +
Число бюллетеней, выданных вне участка +
Число бюллетеней, выданных досрочно

Все графики в данной статье построены по следующим параметрам:
Явка на каждом уике = формула приведенная выше
Округление до ближайшего целого:
10.2 => 10
10.5 => 11

Округление до первого знака после запятой и последующих..:
0.22 => 0.2
0.25 => 0.3

Визуализация #1

Давайте посмотрим на графики с визуализацией кол-ва УИК по проценту явки, дополнительно добавив линию со средним размером УИК, чтобы проверить возможную корреляцию:

График_1а:
Ось Х – Процент явки (интервал = 1%)
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Средний размер одного УИК (кол-во зарег. избирателей)
^[5]

Видно, что на точке X=100 значение очень высокое, а средний размер УИК при этом уменьшается. В обсуждении fediq ^[6] высказывалось логичное предположение:

Высокая явка — нормальное явление для высокоорганизованных УИКов типа традиционных общин, режимных учреждений, военных частей.

В качестве подтверждения, давайте посмотрим на первые 10 регионов по кол-ву УИК со 100% явкой:
K_ALL — кол-во УИК в регионе
K_100 — кол-во УИК со 100% явкой
REGION — название региона

K_ALL K_100 REGION
393 346 foreign-countries
1580 213 primorsk
1911 165 dagestan
482 156 sakhalin
596 138 murmansk
2817 132 tatarstan
2052 128 st-petersburg
317 123 kamchatka_krai
948 67 arkhangelsk
854 60 khabarovsk

График_1б:
Ось Х – Процент явки (интервал = 0.1%)
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Средний размер одного УИК (кол-во зарег. избирателей)
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[7]

Появились те самые пики на круглых значениях.

График_1в:
Ось Х – Процент явки (интервал = 0.01%)
Ось Y(левая) – Количество УИК
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[8]

Как и ожидалось с уменьшением шага кол-во пиков увеличивается и они расположены по всему графику.

График_1г:
Ось Х – Процент явки (интервал = 0.001%)
Ось Y(левая) – Количество УИК
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[9]

Как мы видим весь график в пиках, т.е. на данном масштабе – пики это нормальное явление.

График_1д:
Ось Х – Процент явки (интервал = 0.001%)
Ось Y(левая) – Количество УИК
Увеличенная область для значения 80%
^[10]

Видим, что рядом с круглым 80% много мелких значений.

Визуализация #2

Теперь давайте посмотрим на те же самые графики, но под другим углом. Так как расположенные рядом друг с другом на графике по оси X точки (процент явки) ни чем не связаны (в каждую такую точку-выборку попадают совершенно разные УИКи с различным гео-положением, размером и настроением избирателей и т.п...), то разницы в каком порядке они стоят нет, поэтому отсортируем их по оси Х не по возрастанию процента явки, а по возрастанию кол-ва УИКов.

Т.е. на графиках выше мы видели, как при возрастании процента явки ведет себя кол-во УИК, а на данном графике мы увидим, как при возрастании кол-ва УИК ведет себя процент явки.

График_2а:
Ось Х – номер точки из БД по порядку
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Процент явки (интервал = 1%)
^[11]

Это тот же самый график, который приведен выше, но ось X (белый цвет) теперь перенесена на Ось Y(правая) и отображается в виде отдельной линии, Ось Y(левая) так же как и раньше отображает кол-во УИК, а на оси X теперь отображается просто номер выборки из БД (номер точки по оси X по порядку).

Пояснение
Точке по оси X с номером 60 соответствует:
процент явки = 95
кол-во УИК = 1680

График_2б:
Ось Х – номер точки из БД по порядку
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Процент явки (интервал = 0.1%)
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[12]

Давайте найдем на этом графике нашу круглую точку 80% (обведена красным кружком), которая на графике выше выглядела как пика с мелкими значениями вокруг себя.
Здесь она уже выглядит менее вычурно на линии с точками близкими ей по значению процента явки (желтые кружки).

График_2в:
Ось Х – номер точки из БД по порядку
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Процент явки (интервал = 0.01%)
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[13]

А вот это уже интересно, те, кто разбирается в математике уже наверно начинают понимать в чем фишка. А точку 80% уже не различить, т.к. на этом масштабе она уже не видна.

График_2г:
Ось Х – номер точки из БД по порядку
Ось Y(левая) – Количество УИК
Ось Y(правая) – Процент явки (интервал = 0.001%)
+ Не выводится точка 100%, т.к. с ней остальные значения слишком мелкие.
^[14]

А этот график – просто откровение. Можно даже посчитать кол-во ступенек в каждом периоде…

Ключ к решению загадки круглых цифр

Ну и в качестве бонуса, любителям «конспиралогии» и математических ребусов посвящается:

PROCENTX KOLVO X2 X5 X10
25 2 2 0 0
40 5 2 5 2
45 3 3 3 3
50 70 70 15 15
55 10 10 10 10
60 108 57 108 57
65 34 34 34 34
70 57 57 57 57
75 140 140 29 29
80 122 62 122 62
85 36 36 36 36
90 78 78 78 78
95 64 64 64 64
100 2613 1370 582 324

Это красивая закономерность, которую я обнаружил в «круглых цифрах».
Суть в том, что начиная с точки 40% и далее с шагом 5% количество УИК всегда кратно 2, 5 или 10. Собственно таблица выше это отображает.

PROCENTX – процент явки
KOLVO – общее кол-во УИК ровно с данным процентом без каких-либо округлений
X2 – количество УИК в которых кол-во зарег. избирателей кратно 2
X5 – количество УИК в которых кол-во зарег. избирателей кратно 5
X10 – количество УИК в которых кол-во зарег. избирателей кратно 10

Далее, я решил проверить кратность с шагом 1…

PROCENTX KOLVO X2 X5 X10
25 2 2 0 0
34 1 1 1 1
36 1 1 1 1
40 5 2 5 2
42 1 1 1 1
44 2 0 2 0
45 3 3 3 3
46 1 1 1 1
47 1 1 1 1
48 2 0 2 0
50 70 70 15 15
51 3 3 3 3
52 7 4 7 4
53 4 4 4 4
54 4 4 4 4
55 10 10 10 10
56 10 6 10 6
57 5 5 5 5
58 9 9 9 9
59 4 4 4 4
60 108 57 108 57
61 3 3 3 3
62 18 18 18 18
63 1 1 1 1
64 23 10 23 10
65 34 34 34 34
66 14 14 14 14
67 8 8 8 8
68 22 10 22 10
69 2 2 2 2
70 57 57 57 57
71 4 4 4 4
72 17 5 17 5
73 6 6 6 6
74 8 8 8 8
75 140 140 29 29
76 23 11 23 11
77 4 4 4 4
78 10 10 10 10
79 2 2 2 2
80 122 62 122 62
81 10 10 10 10
82 14 14 14 14
83 6 6 6 6
84 24 11 24 11
85 36 36 36 36
86 10 10 10 10
87 3 3 3 3
88 23 8 23 8
89 4 4 4 4
90 78 78 78 78
91 4 4 4 4
92 31 17 31 17
93 6 6 6 6
94 13 13 13 13
95 64 64 64 64
96 25 11 25 11
97 6 6 6 6
98 17 17 17 17
99 4 4 4 4
100 2613 1370 582 324

Получается, что такая закономерность соблюдается кроме 100 на всех целых числах (в которых имеется ровно целое значение, если целого значения нет – оно в списке пропущено).

Ну и напоследок, общее разбиение по кратности количества зарегистрированных избирателей x2-10 для всех УИК:

KOLVO X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
97699 49413 32753 24724 20283 16649 13923 12464 10917 10411

KOLVO – общее кол-во УИК в которых проводились выборы
X2-10 – количество УИК в которых кол-во зарег. избирателей кратно 2-10

И общее разбиение по кратности пришедших на выборы избирателей x2-10 для всех УИК:

KOLVO X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
97699 49268 32712 24634 20608 16492 14085 12192 10938 10752

KOLVO – общее кол-во УИК в которых проводились выборы
X2-10 – количество УИК в которых кол-во пришедших избирателей кратно 2-10

Ну, а дальше обычно в таких случаях математики пишут… решение тривиально :)

Автор: FreeMind2000

Источник ^[15]