Навигация без GPS: как B-52 ориентировался по звёздам с помощью шестерёнок

Как самолёты ориентировались до появления GPS? Одним из важных способов была навигация по небесным объектам: определение места по положению звёзд, планет или Солнца. Навигация по небесным объектам точна, не подвержена глушению и не требует никакой передающей инфраструктуры, но вручную это сложный и трудоёмкий процесс. 

В начале 1960-х для бомбардировщика B-52 разработали автоматизированную систему, которая могла автоматически сопровождать звёзды и вычислять навигационные данные. Цифровые ЭВМ в то время для этой задачи не подходили, поэтому система звёздного сопровождения выполняла тригонометрические расчёты с помощью электромеханического аналогового компьютера, который назывался угловым вычислителем.^{(примеч.1) [1]}

На фото выше показан механизм внутри углового вычислителя.^{(примеч.2) [2]} Хотя он может напоминать гироскоп или блок инерциальных измерений (IMU, Inertial Measurement Unit), устроен он совершенно иначе: внутри ничего не вращается. Угловой вычислитель физически моделирует «небесную сферу»: внутри находится сложный механизм, перемещающий указатель, который обозначает положение звезды.

Соответствующие углы, азимут и высота светила, считываются электрически с помощью устройств, называемых сельсинами, и передаются в навигационную систему по жгутам проводов. 

В этой статье я кратко расскажу, как работает небесная навигация, и объясню, как угловой вычислитель выполняет свои расчёты.

Система Astro Compass

Угловой вычислитель был одной из частей системы Astro Compass, то есть астрокомпаса. Эта система захватывала звезду на сопровождение и выдавала очень точный курс, то есть направление по компасу, с точностью до одной десятой градуса. Хотя курс был основным выходным параметром Astro Compass, штурман также мог использовать систему для определения места с помощью метода «линий положения», описанного далее.

Навигационная система Astro Compass строилась вокруг «Astro Tracker» — оптической системы сопровождения звезды, показанной выше. Astro Tracker устанавливался на самолёте так, что четырёхдюймовый стеклянный купол выступал над верхней частью фюзеляжа.

В этом блоке находился следящий телескоп, который использовал фотоумножитель для регистрации света звезды. Гироскоп и сложная система электродвигателей образовывали «стабилизированную платформу», удерживая телескоп строго вертикально даже при наклонах и движении самолёта. Призма поворачивалась и наклонялась, чтобы навести телескоп на конкретную звезду.^{(примеч.3) [3]}

Система Astro Compass устроена поразительно сложно: для работы Astro Tracker в неё входили 19 компонентов, показанных выше.^{(примеч.4) [5]} Справа расположены десять усилительных и вычислительных блоков, управлявших системой; угловой вычислитель находится в правом нижнем углу. Слева — девять панелей управления и индикации, которыми пользовался штурман B-52. На фото ниже показаны четыре такие панели в работе на борту B-52 в 1972 году.

Управление Astro Compass

У Astro Compass был интересный пользовательский интерфейс: значения вводились по одному поворотом ручки. Сначала на главной панели управления выбирался параметр, например показания часов, SHA, то есть звёздное дополнение (Sidereal Hour Angle), для звезды № 1 или склонение для звезды № 3. Затем ручку «Set Control» поворачивали по часовой стрелке или против неё, перебирая значения, пока не будет установлено нужное.

У каждой ручки на главной панели управления была своя геометрическая форма, так что пользователь мог различать их на ощупь. Главная панель управления видна в левом нижнем углу фото выше, в пределах удобной досягаемости штурмана.

Для каждого значения данных был предусмотрен отдельный электромеханический индикатор. На фото ниже показан индикатор Star Data, отображающий звёздное дополнение и склонение звезды. Я снял крышку, чтобы было видно: цифровая индикация фактически реализована аналоговыми шкалами, которые поворачиваются электродвигателями под управлением сельсинов. 

В системе есть три индикатора Star Data, поэтому она может одновременно хранить положения трёх звёзд. Определение места по трём разным звёздам полезно при вычислении линий положения. Система использует одну звезду за раз, но звезду можно быстро сменить, переключив тумблер Star на главной панели управления.

Но откуда штурман брал данные для ввода в Astro Compass, если Солнце, Луна, звёзды и планеты постоянно движутся?^{(примеч.5) [9]} Необходимые астрономические сведения публикуются в книге под названием Air Almanac ^[10] («Авиационный альманах»). 

Правительство США начало выпускать Air Almanac в 1941 году, новый том выходил каждые четыре месяца. В альманахе для каждого дня был отдельный лист с астрономическими данными с интервалом в 10 минут. В первом столбце указывалось время GMT, то есть среднее гринвичское время,^{(примеч.6) [11]} а в остальных — положение Солнца, важная величина под названием первая точка Овна, обозначаемая символом ♈︎, положения видимых планет и положение Луны. 

Отдельная таблица и карта давали координаты звёзд; для звёзд ежедневных поправок не было, поскольку они почти неподвижны.^{(примеч.7) [12]} Сейчас Air Almanac доступен в интернете; здесь ^[13] можно скачать Air Almanac за 2026 год.

Навигационный треугольник: вычисление положения звезды

Air Almanac даёт координаты звёзд в глобальной системе координат, но Astro Compass нужно было знать координаты звезды в местной системе координат самолёта. Чтобы определить положение звезды, нужно перейти из одной системы координат в другую с помощью сферической тригонометрии и так называемого навигационного треугольника. Здесь довольно много терминов, поэтому в этом разделе я их поясню.

Astro Tracker, как и многие телескопы, наводится по азимуту и высоте светила. Представьте, что вы вышли во двор, указали на горизонт и повернулись по кругу на 360°; направление, в котором вы смотрите, называется азимутом. Точка прямо над головой называется зенитом. 

Теперь поднимите руку от горизонта вверх к зениту на 90°. Этот угол называется высотой светила. Вносит путаницу то, что термин «altitude»(высота) используется и для угловой высоты звезды, и для высоты полёта самолёта. Таким образом, если вы наводитесь на конкретную звезду, её положение можно задать двумя углами: горизонтальный поворот от севера даёт азимут, а угол подъёма от горизонта даёт высоту светила.^{(примеч.8) [16]} 

Эта система называется горизонтальной системой координат, поскольку она основана на горизонте. Это местная система координат, потому что в другой точке для той же звезды азимут и высота светила будут другими. Азимут и высота светила постоянно меняются со временем, поскольку из‑за вращения Земли звезда кажется движущейся.

Уравнения ^[17] для вычисления высоты светила и азимута довольно сложны: в них входят синусы, косинусы, арксинус и арктангенс. Чтобы понять, почему эти уравнения такие сложные, достаточно посмотреть на фотографию звёздных треков с длинной выдержкой. По мере вращения Земли каждая звезда описывает окружность вокруг Полярной звезды. Чтобы проследить этот круговой путь, нужно учитывать, что высота светила и азимут изменяются по тригонометрическим законам.

Именно эти вычисления угловой вычислитель выполняет электромеханическим способом, как будет показано ниже.

Теперь перейдём к тому, как положение звезды задаётся, например, в Air Almanac, независимо от вашего местоположения. Представим, что звёзды находятся на поверхности огромной сферы, окружающей Землю, которая называется небесной сферой. Звёзды неподвижны на поверхности небесной сферы, а Земля вращается в центре один раз за звёздные сутки.^{(примеч.9) [19]}

Поэтому, глядя на небесную сферу, вы видите, как звёзды движутся. Если мысленно продолжить земной экватор до небесной сферы, получится небесный экватор. Точно так же у небесной сферы есть небесные полюса, соответствующие земным полюсам. На Земле положение точки, например положение самолёта, задаётся широтой и долготой, показанными красным цветом. Широта отсчитывается от экватора, а долгота — от фиксированного меридиана, показанного оранжевым цветом. Нулевой меридиан условно проведён через Гринвич в Англии, а не в Коннектикуте.

Аналогично положение звезды задаётся углом относительно небесного экватора, который называется склонением вместо широты, и углом относительно меридиана, который вместо долготы называется звёздным дополнением, или SHA.^{(примеч.10) [20]}

Но какой меридиан принимается за начальную точку, 0°, при отсчёте звёздного дополнения звезды? Небесный экватор соответствует земному экватору, но с гринвичским меридианом такой приём не сработает, потому что он постоянно движется относительно небесной сферы. Поэтому нулевой небесный меридиан условно определяют как положение, в котором Солнце пересекает экватор в день весеннего равноденствия, то есть в начале весны.

Если рассматривать положение Солнца на небесной сфере, за год оно обходит эту сферу один раз. Поскольку земная ось наклонена, половину года Солнце находится выше экватора, а половину года ниже него, пересекая экватор в весеннее равноденствие в марте и в осеннее равноденствие в сентябре.

Эта опорная точка на небесной сфере называется первой точкой Овна и обозначается символом ♈︎, то есть рогами барана; возможно, вы помните этот символ по Air Almanac. В этой точке Солнце находится в созвездии Рыб. Почему же тогда она называется первой точкой Овна, а не Рыб? Ещё в 130 году до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх определил первую точку Овна как начальную точку движения Солнца.

В ту далёкую эпоху в момент равноденствия Солнце находилось в созвездии Овна, а не Рыб, как сейчас. Оказалось, что направление земной оси не фиксировано: оно меняется в цикле длиной 26 000 лет, который называется прецессией равноденствий.^{(примеч.11) [22]} Цикл в 26 000 лет может показаться несущественным, но он достаточно быстр, чтобы со времён Гиппарха Солнце сместилось из Овна в Рыбы. А с момента выпуска первого B-52 точка равноденствия сместилась ещё на 1°!

Все эти разговоры об Овне и Рыбах могут звучать как астрология, и да, связь здесь действительно прямая. Овен — первый знак зодиака, начинающийся с весеннего равноденствия, обычно 21 марта. Прецессия точки равноденствия идёт «назад», поэтому точка равноденствия сместилась в Рыбы, последний знак зодиака. С астрономической точки зрения точка равноденствия перейдёт в созвездие Водолея примерно в 2600 году н. э., но астрологи спорят, началась ли уже Эра Водолея; возможно, 1960-е и были зарёй Эры Водолея ^[23].

Как преобразовать фиксированную координату звезды во вращающуюся земную систему координат? Сначала нужно найти угол между гринвичским меридианом и небесным меридианом точки Овна в заданный момент времени. Этот угол, показанный фиолетовым, называется гринвичским часовым углом точки Овна. Затем нужно найти звёздное дополнение звезды, (Sidereal Hour Angle, SHA). Их сумма даёт гринвичский часовой угол звезды, показанный красным: угол между гринвичским меридианом и звездой. 

Если вычесть долготу самолёта, получится местный часовой угол (Local Hour Angle, LHA, не показан): угол между меридианом самолёта и звездой. Обратите внимание, что все эти действия сводятся к сложению и вычитанию, поэтому механическая система легко может выполнять их с помощью дифференциальных передач.

Заключительный шаг, то есть получение азимута и высоты светила, требует уже более сложной сферической тригонометрии. Жёлтый треугольник — это навигационный треугольник, сферический треугольник на поверхности небесной сферы. Его верхняя вершина — Северный полюс, красная вершина — зенит самолёта, то есть точка прямо над самолётом, а третья вершина — звезда. Две стороны треугольника и один угол, показанный фиолетовым, известны, поэтому остальные углы и стороны можно найти с помощью сферической тригонометрии. 

В частности, первая сторона, показанная фиолетовым, равна 90° − склонение, вторая сторона равна 90° − широта,^{(примеч.12) [24]} а угол между ними — это местный часовой угол, LHA. Если найти угол при зените, получится азимут, показанный синим, а если найти третью сторону, получится 90° − высота светила, показанная зелёным, то есть угол от зенита вниз до звезды.

Таким образом, ключевая задача состоит в решении навигационного треугольника. Штурманы могли решать его вручную, отыскивая углы в толстом сборнике ^[25] «таблиц редукции высот» и выполняя некоторые вычисления. Но как автоматизировать этот процесс? Именно для этого и был нужен угловой вычислитель.

Угловой вычислитель

Задача углового вычислителя состояла в том, чтобы механически решать навигационный треугольник. На его вход подавались склонение звезды, высота и местный часовой угол. На их основе он вычислял азимут и высоту светила для текущего положения самолёта.^{(примеч.13) [26]}

Идея, лежащая в основе углового вычислителя, заключалась в том, что он физически моделировал небесную сферу с помощью полусферы радиусом 2 5/8 дюйма. Указатель звезды механически устанавливался на поверхности этой сферы по склонению звезды и местному часовому углу с поправкой на широту наблюдателя. Указатель звезды приводил в движение отсчётный механизм, который преобразовывал положение звезды в азимут и высоту светила для заданного места. 

Таким образом, угловой вычислитель механически переходил от одной системы координат к другой, используя физическую модель и тем самым решая навигационный треугольник.

На схеме ниже показано, как указатель звезды устанавливается на двумерной поверхности сферы с помощью сложного механизма внутри неё. U‑образный рычаг склонения перемещается вверх и вниз в соответствии со склонением звезды, то есть углом над небесным экватором. Одновременно этот рычаг склонения непрерывно вращается вокруг полярной оси в соответствии с местным часовым углом, LHA. За одни звёздные сутки механизм совершает полный цикл, соответствующий вращению Земли. 

Наконец, широтный рычаг перемещает механизм вверх или вниз в соответствии с широтой наблюдателя. Справа три шестерни подают входные значения широты, LHA и склонения.

Отдельный механизм, приводимый указателем звезды, формирует выходные значения высоты светила и азимута. Ключевой элемент здесь — полукруглая азимутальная дуга, представляющая дугу от горизонта наблюдателя до зенита, ориентированную на определённый азимут. Указатель звезды соединён с азимутальной дугой через ползунок (slider), поэтому при движении указателя он перемещает ползунок вдоль азимутальной дуги и одновременно поворачивает саму дугу. 

Иными словами, азимутальная дуга представляет линию от горизонта до зенита при определённом азимуте. Положение ползунка на азимутальной дуге соответствует высоте светила: от 0° на горизонте до 90° в зените.^{(примеч.14) [27]} Азимутальная дуга вращается вокруг точки зенита, расположенной в её задней части; это вращение показывает значение азимута.

При вращении азимутальная дуга поворачивает шестерню в точке зенита, формируя выход по азимуту. На дуге ползунка есть зубья; когда ползунок движется, эти зубья поворачивают вторую шестерню, формируя выход по высоте светила.

С задней стороны видны многочисленные сельсин‑передатчики, сельсин‑трансформаторы управления и электродвигатели. Хотя сами вычисления выполняются механически, в угловом вычислителе много электрических компонентов. В верхней половине сельсин‑передатчики формируют электрические выходные сигналы азимута и высоты светила. 

Сельсин‑передатчик использует неподвижные и подвижные обмотки, чтобы преобразовать угол поворота вала в трёхпроводной электрический сигнал. Большая шестерня формирует выход по высоте светила. В нижней половине более длинные цилиндры — это электродвигатели, которые приводят в движение механизмы углового вычислителя. 

Электродвигатели поворачиваются в заданное положение через контур обратной связи: сельсин‑трансформаторы управления передают обратную связь на внешние усилители сервоприводов, питающие электродвигатели.

При частичной разборке углового вычислителя становятся видны сложные зубчатые передачи внутри: они связывают сельсины, электродвигатели и физический механизм. Приземистые латунные узлы внизу по центру — это дифференциальные механизмы, предназначенные для сложения или вычитания сигналов.^{(примеч.15) [28]} Один из приводных электродвигателей, длинный цилиндр, виден внизу справа.

Линия положения

Хотя основным выходным параметром Astro Compass был курс, система также могла помогать определять местоположение самолёта с помощью метода, называемого астрономической линией положения. Этот метод был открыт в 1837 году и затем широко применялся в судовождении при навигации с секстантом. Его можно было использовать и на борту самолёта.

Чтобы понять, что такое линия положения, представьте, что вы вышли на улицу и нашли звезду прямо над головой. Если измерить её высоту, то есть угол от горизонта до звезды, с помощью секстанта, угол составит 90°, поскольку звезда находится в зените. 

Теперь предположим, что вы переместились на 60 морских миль в любом направлении. Секстант теперь покажет высоту светила 89°, поскольку морская миля удобно определена так, что соответствует одной угловой минуте, то есть одной шестидесятой градуса. И наоборот: если вы измерили высоту светила 89°, значит, вы находитесь в 60 милях от исходной точки под звездой, которая называется подзвёздной точкой. 

Аналогично, если вы измерили высоту 88°, вы находитесь на окружности радиусом 120 морских миль вокруг подзвёздной точки. Если же вы измерили, скажем, высоту 40°, значит, вы находитесь на очень большой окружности радиусом 3000 миль вокруг подзвёздной точки. Как это помогает в навигации?

Предположим, вы находитесь на судне посреди Тихого океана и примерно представляете, где вы находитесь, допустим с точностью до 100 миль, но хотите определить своё точное место. Нанесите на карту точку там, где, по вашему мнению, вы сейчас находитесь. Затем выберите звезду и рассчитайте, какой должна быть её высота из этой точки. Измерьте высоту светила секстантом. 

Допустим, вы ожидали 50°, а измерили 51°. Теперь вы знаете, что находитесь где‑то на окружности радиусом 2340 миль вокруг далёкой подзвёздной точки. На первый взгляд это не очень полезно. Однако поскольку измеренный угол оказался на 1° больше ожидаемого, вы знаете, что эта окружность проходит на 60 миль ближе к той далёкой точке, чем ваше расчётное место. 

Кроме того, поскольку у вас уже есть примерное представление о своём положении, вы знаете, что находитесь на участке этой окружности рядом с расчётной точкой. А небольшой участок большой окружности можно приблизить прямой линией. 

Поэтому вы возвращаетесь к карте, от расчётной точки откладываете 60 миль в сторону звезды и проводите перпендикулярную линию. Это и есть ваша линия положения: вы более или менее знаете, что находитесь на этой линии.

Знание того, что вы находитесь на одной линии, само по себе не слишком полезно, но процесс можно повторить со звездой в другой части неба. Допустим, на этот раз измеренный угол оказался на 2° меньше ожидаемого, поэтому вы проводите линию положения на 120 миль дальше от расчётного места, уже в другом направлении. Две линии пересекаются, указывая точку, где вы, вероятно, находитесь.^{(примеч.16) [29]} Обычно процесс повторяют с третьей звездой: три линии положения позволяют определить место и оценить точность этого определения.

Astro Compass использовал показанную выше панель, чтобы отображать азимут звезды и расстояние в милях от принятого места до линии положения. Эта величина называется разностью измеренной и вычисленной высот (Altitude Intercept). Имея эти данные, штурман мог провести линию положения на карте. Затем он повторял процесс ещё с двумя звёздами, чтобы получить определение местоположения.^{(примеч.17) [30]}

Заключение

Угловой вычислитель — реликт эпохи, когда механический аналоговый компьютер был лучшим способом решить такую задачу, хотя сам вычислитель был ещё и электрическим. Механический аппарат решал навигационный треугольник, но в нужное положение его приводили электродвигатели, а выходные данные передавались электрически, по проводам. 

Более того, угловой вычислитель управлялся электронными усилителями и цепями обратной связи, в которых использовались и электронные лампы, и транзисторы.

Разработчики Astro Compass рассматривали несколько подходов к вычислению навигационного треугольника (подробности ^[31]). Первый заключался в использовании небольших электромеханических устройств, называемых вращающимися трансформаторами, которые преобразуют физический поворот в значения синуса и косинуса. 

Объединив шесть таких вращающихся трансформаторов с усилителями, можно было получить высоту светила и азимут. От этого варианта отказались: он получался слишком крупным и требовал прецизионного источника питания. 

Второй подход предполагал использование цифровой ЭВМ для нахождения решения. Его тоже отклонили, поскольку в 1963 году цифровая ЭВМ была дорогой, медленной и менее надёжной. 

В итоге был принят третий подход: построить механическую физическую модель небесной сферы. Так угловой вычислитель оказался на непростом стыке физических механизмов, электрических цепей, электронных ламп и полупроводниковой электроники — всего того, что вскоре должно было устареть из‑за цифровых компьютеров.

^{Дисклеймер от автора (Ken Shirriff): для написания этой статьи ИИ не использовался.}

Примечания и ссылки (осторожно, много текста)

1. На угловом вычислителе есть маркировка «Computer, Altitude‑Azimuth, Automatic Astro Compass Type MD-1» («вычислитель высоты‑азимута, автоматический астрокомпас, тип MD-1»), а также наклейка «MD-3». Предположительно, MD-3 — это модернизированная версия MD-1. Эта система также известна как «Kollsman KS-50-03 Astro Tracking System» или, возможно, 50–08.

По этой системе доступно несколько документов, включая Operating Instructions Handbook ^[32] («Руководство по эксплуатации»), Operating Instructions Pocket Manual («карманное руководство по эксплуатации»), техническую статью The Celestial Tracker as an Astro Compass ^[33] («Небесный следящий прибор как астрокомпас») и патент Celestial Data Computer ^[34] («Вычислитель небесных данных»). На странице PRC68: Automatic Astro Compass Type MD-1 ^[35] собрана обширная подборка ссылок. У CuriousMarc есть серия роликов на YouTube об Astro Tracker, начиная с первой части ^[36]. Если хотите подробнее разобраться в небесной навигации, в этом учебном фильме ^[37] времён Второй мировой войны процесс объясняется достаточно подробно. 

2. Снаружи угловой вычислитель выглядит как ничем не примечательный чёрный цилиндр с разъёмами на торце. Цилиндр был герметизирован припаянной металлической лентой, которую мы сняли с помощью паяльной лампы. Внутри он был заполнен сухим азотом под избыточным давлением через заправочный клапан в центре — клапан Шрадера, такой же, как на автомобильной шине.

3. Astro Compass нужно было примерно знать, где в небе искать звезду, чтобы направить свой датчик в нужную сторону. Направление не должно было быть точным, потому что Astro Compass выполнял спиральный поиск звезды. Такая схема поиска охватывала ±4° по пеленгу и ±2,5° по высоте светила. Для сравнения: угловой диаметр Луны составляет 0,5°, так что область поиска была довольно большой. 

4. На схеме ниже показаны физические соединения компонентов Astro Compass.

Если посмотреть на систему немного с другой стороны, следующая схема показывает поток данных в Astro Compass.

5. Обычно Astro Compass получал широту и долготу от бомбардировочного вычислителя. Приблизительный курс, называемый BATH (Best Available True Heading, то есть «наилучший доступный истинный курс»), он обычно получал от магнитного компаса. При необходимости все эти значения можно было ввести вручную. 

6. Среднее гринвичское время сейчас в основном устарело: его заменило UTC, (Coordinated Universal Time, всемирное координированное время). Среднее гринвичское время основано на моменте, когда Солнце достигает своей высшей точки над Гринвичем в Англии, то есть над долготой 0°.

По солнечному времени ^[38] Солнце оказывается в высшей точке ровно в полдень. К сожалению, орбита Земли эллиптическая, поэтому длительность солнечных суток в течение года меняется ^[39] почти на минуту. Поскольку удобно иметь постоянные 24-часовые сутки, было введено среднее время.

Идея в том, чтобы усреднить длительность суток в течение года: каждый день длится ровно 24 часа, хотя Солнце уже не находится точно над головой ровно в полдень. UTC по сути соответствует GMT, но определяется атомными часами, а не положением Солнца над Гринвичем. Эти шкалы времени могут расходиться на величину до 0,9 секунды; чтобы сохранять их согласованность, к UTC добавляют високосную секунду. 

7. Все звёзды движутся в разных направлениях, но для большинства из них видимое изменение положения, то есть собственное движение (proper motion), очень мало. Однако сравнение Air Almanac за 1960 год с Air Almanac за 2026 год показывает, что многие из перечисленных звёзд из‑за прецессии равноденствий сместились на градус или больше. Величина смещения отличается от звезды к звезде: во‑первых, угловое изменение зависит от положения звезды, а во‑вторых, изменение SHA становится сильнее заметным по мере приближения к полюсам (подробности ^[40]). 

8. Обратите внимание: в зените азимут имеет разрыв. Чтобы это увидеть, представьте звезду, которая проходит прямо над головой: вытяните руку к горизонту, затем поднимайте её вверх, пока она не будет направлена строго вертикально. Чтобы продолжить движение, вам пришлось бы мгновенно развернуться на 180°, а затем опускать руку.

Разрыв азимута важен для Angle Tracker, поскольку он не может мгновенно изменить азимут на 180°. Чтобы избежать этой проблемы, в угловом вычислителе используются кулачки и микровыключатели, удерживающие высоту светила ниже 85°. Иначе азимутальная дуга заклинила бы вместо плавного вращения. У Astro Tracker также есть ограничения по склонению: от +90° до −47°, а нижний предел по высоте светила составляет −6°. Широта ограничена диапазоном от −2° до +90°; система автоматически переключает полушария, поэтому можно использовать как северные, так и южные широты. 

9. Есть одна неудобная особенность: длительность суток немного отличается в зависимости от того, ориентироваться ли по Солнцу, то есть по солнечным суткам, или по звёздам, то есть по звёздным суткам. Солнечные сутки — это стандартные 24 часа, за которые Земля делает один оборот и Солнце примерно возвращается в прежнее положение. Но если смотреть на звёзды, им требуется немного меньше времени, 23 часа 56 минут и 4 секунды, чтобы вернуться в прежнее положение. Дело в том, что за год Земля проходит путь от одной стороны Солнца к другой, а затем возвращается на первую сторону.

С точки зрения звёзд это даёт один «лишний» оборот, поэтому в году 366,25 звёздных суток против 365,25 солнечных суток. Иначе говоря, это «ошибка на единицу» (off‑by‑one error). Поэтому каждые звёздные сутки немного короче. Можно представить это и иначе: Солнце за год один раз проходит по небесной сфере, и его положение относительно звёзд постоянно меняется. 

10. В небесной навигации для измерения положения звезды относительно меридиана обычно используется звёздное дополнение (sidereal hour angle, SHA). Астрономы вместо него часто используют прямое восхождение. Прямое восхождение отсчитывается в противоположном направлении и измеряется в часах, а не в градусах. Эти величины связаны формулой RA = (360° − SHA) / 15°. 

11. Земная ось также совершает колебание с периодом 18,6 года, потому что Земля не является идеальной сферой. Для многих задач это колебание усредняют и используют «среднее равноденствие». Физическое равноденствие называется «истинным равноденствием». Среднее гринвичское звёздное время, GMST, отсчитывается относительно среднего равноденствия, а истинное гринвичское звёздное время, GAST, — относительно истинного равноденствия. Разность между средним и истинным равноденствием называется уравнением равноденствий. Разница между двумя равноденствиями мала: менее примерно 1,1 секунды. 

12. Угол 90° − склонение иногда называют полярным расстоянием, то есть дополнением склонения: это угол вниз от полюса. Аналогично 90° − широта иногда называют дополнением широты.

Треугольник можно решить с помощью сферической теоремы синусов и сферической теоремы косинусов. Альтернатива, которая кажется мне более понятной, — найти ответ, применив матрицы поворота для перехода к другой системе координат. Подробности здесь ^[41], а на Wikipedia ^[42] есть удобное краткое изложение. 

13. Может показаться, что в навигации возникает ситуация «курица и яйцо»: нужно знать своё место, чтобы вычислить высоту светила и азимут звезды, и нужно знать курс самолёта, чтобы понять, в каком направлении наводить телескоп. На самом деле достаточно знать приблизительные широту, долготу и курс, с точностью до 4°, после чего система выдаёт более точные широту, долготу и курс. Процесс можно повторять, пока значения не сойдутся.

Кроме того, Astro Compass — лишь один из приборов, которыми пользуется штурман. Магнитный компас может дать приблизительный курс, а счисление пути или инерциальная навигация — приблизительное местоположение. Astro Compass может использовать эти данные, чтобы получить более точную информацию, которая, в свою очередь, повышает точность счисления пути или инерциальной навигации. 

14. Поскольку азимутальная дуга представляет собой полуокружность, то есть 180°, может показаться, что указатель звезды мог бы перемещаться вдоль неё по высоте на 180°. Это не имело бы смысла, поскольку высота светила изменяется от 0° на горизонте до 90° в зените. Объяснение в том, что ползунок представляет собой четверть окружности, то есть 90°. Поэтому положение звезды может сместиться только на 90°, прежде чем другой конец ползунка упрётся в конец азимутальной дуги. 

15. Дифференциальные передачи необходимы потому, что оси механически не независимы. Например, когда широтный рычаг поднимается и опускается, он одновременно смещает приводные валы склонения и LHA, вызывая нежелательное вращение по этим осям. Дифференциалы вычитают движение по широте из входов склонения и LHA, так что итоговые перемещения по каждой оси оказываются независимыми. 

16. Строго говоря, две разные окружности на сфере могут пересекаться в 0, 1 или 2 точках. На практике обычно есть две точки пересечения, но одна из них находится очень далеко, и ею можно пренебречь. 

17. Работу штурмана осложняло несколько факторов. К моменту, когда штурман завершал измерение, самолёт мог сместиться на десятки миль, поэтому штурману нужно было корректировать линии положения с учётом этого перемещения. Но из‑за ветра и других факторов он не знал точно, насколько именно сместился самолёт. Поэтому даже с Astro Compass штурману приходилось работать с неопределённостью: сопоставлять разные измерения и пытаться получить наилучший результат, несмотря на постоянные источники погрешности. 

Если вам было интересно, как B-52 решал навигационный треугольник не кодом, а шестерёнками, можно продолжить тему на открытых уроках OTUS — уже про современные вычисления, рантаймы и работу ближе к железу.

• 18 мая 20:00. «Go внутри: планировщик» ^[43].
  _{Как рантайм Go распределяет работу под капотом: горутины, потоки, планирование и та самая невидимая механика, без которой код работает менее эффективно.}

• 2 июня 20:00. «Системы счисления и побитовые операторы в Java» ^[44].
  _{Разберёмся, как данные выглядят на нижнем уровне и почему понимание битов всё ещё помогает писать более эффективный код.}

📌 Подписывайтесь на блог OTUS ^[45] — будем дальше разбирать инженерные штуки, которые обычно остаются за кадром.