Формула интегрирования по частям с точки зрения дифференциальной геометрии

Формула интегрирования по частям известна всем со школьной скамьи. В вузах она, как правило, изучается в координатном виде вв курсах математического анализа и УРЧП. В этой статье мы приведем инвариантную геометрическую версию этой формулы и отметим некоторые конструкции теории динамических систем, с которыми она естественным образом связана.

Напомним некоторые определения.

Возьмём гладкое многообразие с локальными координатами и зададим на нём векторное поле (все объекты далее мы считаем гладкими).

Будем считать, что для определено семейство диффеоморфизмов , удовлетворяющее следующей задаче Коши:

Это семейство называется фазовым потоком поля .

В координатной записи компоненты этого отображения выглядят следующим образом:

Производной Ли вдоль поля от дифференциальной -формы

называется -форма

Кроме линейности, оператор обладает ещё рядом замечательных свойств, которые мы будем восстанавливать по мере надобности, а сейчас отметим лишь одно: на -форму, т.е. функцию , производная Ли действует так:

По повторяющимся индексам ведётся суммирование.

Итак, для функций производная Ли — это производная в силу системы ОДУ с векторным полем .

Нам ещё понадобится оператор внутреннего дифференцирования . Этот оператор действует на -формы,. Он по определению линеен и задаётся на базисных -формах следующим образом:

Символ означает, что соответствующий сомножитель пропущен.

Основная теорема.

Теорема. Предположим, что на задана -форма

причём

(Об этом интересном предположении поговорим подробнее ниже.)

Пусть — компактное -мерное подмногообразие с гладкой границей , которое получается в результате замыкания открытого множества.

Тогда для любых гладких функций верна формула:

Это и есть инвариантная дифференциально-геометрическая версия формулы интегрирования по частям.

На самом деле в этой теореме достаточно, чтобы все объекты были определены во внутренности и вели себя регулярно во всём вплоть до границы включительно.

Для проверки условий теоремы полезно иметь в виду, что

Чаще всего в учебниках по анализу и УРЧП формула (2) встречается для случая:

Тогда она приобретает вид:

где — компонента вектора внешней единичной нормали к поверхности , а — элемент площади на этой поверхности.

Равенство (1) имеет следующий динамический и геометрический смысл. Предположим, что на . Тогда на определено понятие объёма (меры) множества:

Если равенство (1) выполнено, то поток сохраняет объём любого (измеримого по Лебегу) множества:

Отметим, что если многообразие не имеет границы (), то в силу равенства (2) оператор оказывается кососимметричным на пространстве гладких функций в смысле -скалярного произведения.

Это весьма неслучайный факт. Рассмотрим семейство линейных операторов на пространстве:

В силу отмеченного выше свойства фазового потока сохранять объем, каждый из операторовоказывается изометрией:

Если функциягладкая, то

В этом смысле мы можем написать

Это равенство соответствует конечномерной ситуации, когда экспонента от кососимметрической матрицы является матрицей ортогональной.

Доказательство теоремы.

Оператор подчиняется правилу Лейбница:

Последнее слагаемое справа равно нулю в силу (1).

Воспользуемся магической формулой Картана (Cartan’s magic formula):

Последнее слагаемое в ней равно нулю как внешний дифференциал от -формы на -мерном многообразии.

Для завершения доказательства нам остаётся проинтегрировать получившееся равенство

по и воспользоваться формулой Стокса:

Теорема доказана.