Простая почти правдоподобная модель траектории полета космического корабля ORION в рамках миссии ARTEMIS-II

Завершившийся недавно полет пилотируемого космического корабля ORION, который совершил облёт Луны и успешно вернулся на Землю, привлёк к себе огромное внимание всего человечества и вызвал гигантское количество комментариев, обсуждений, домыслов и прогнозов. Я решил тоже внести свою лепту. На волне всеобщего интереса к миссии ARTEMIS-II мне захотелось построить траекторию полета корабля Орион к Луне, а также анимированное условное изображение движения корабля к Луне и обратно. Когда-то я уже пытался создать (и опубликовал здесь ^[1]) аналогичные изображения, описывающие не совсем удачный полет корабля APOLLO-13, но параметры того полета несколько отличались от параметров нынешнего. Тем не менее, есть и сходство, поэтому можно применить методы для Аполлона-13 ^[2] и к Ориону. Я попробую также немного усложнить модель, чтобы учесть не только траекторию полета к Луне из окрестностей Земли, но и то, каким образом корабль попадает на эту траекторию после старта с Земли.

В Сети есть множество обычных и анимированных изображение траектории полёта Ориона (например, это ^[3] из Википедии). Я не претендую на то, чтобы соревноваться с другими авторами в красочности и достоверности, но хочу отметить два момента. Во-первых, далее я приведу все параметры модели ^[4], чтобы каждый имел возможность её воспроизвести. Во-вторых, я старался соблюдать относительные размеры небесных тел и орбит (хоть это и не всегда получалось), а так делают далеко не все авторы подобных моделей.

Исходные данные (расстояния) я взял из общедоступных популярных (не научных) источников.

Предположения и упрощения

Модель, построение которой я хочу описать, является относительно простой и опирается на предположения, которые лишь приблизительно соответствуют действительности.

• мы пренебрегаем гравитационным влиянием на Землю и Луну Солнца и других планет Солнечной системы

• мы считаем, что Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите. На самом деле орбита представляет собой близкий к окружности эллипс

• также предполагается, что вращение Луны вокруг Земли происходит в одной плоскости. В действительности при движении Луна отклоняется от плоскости, а ее орбита лежит на эллиптическом цилиндре с небольшой высотой

• Земля и Луна - это идеальные шары (на самом деле форма Земли - это геоид, Луна тоже не совсем шар)

Параметры полета Ориона

Расстояние от Земли до Луны в момент полета Ориона - 400754 км. Мы примем это расстояние за 1, а все другие расстояния будем указывать в долях от этого. Радиус Земли равен 6371 км (0.015898 в единицах расстояния от Земли до Луны). Ближайшее расстояние от Ориона до центра Луны при пролете за Луной 6616 км (0.016509)

Координатные системы, используемые для исследования системы Земля-Луна

Траектории космических аппаратов, совершающих полеты к Луне, удобно рассматривать в упрощенных координатных системах, которые не учитывают то, что Земля вращается вокруг Солнца. В сидерической (инерциальной) системе координат предполагается, что Земля неподвижна, и относительно неподвижной Земли рассматриваются движение Луны и космических кораблей. Синодическая (вращающаяся) система устроена еще проще - в ней неподвижной считается также Луна. Сидерическую систему можно представить себе как точку зрения наблюдателя, который находится высоко над Землей, смотрит на плоскость вращения Луны вокруг Земли, видит Луну и Землю и перемещается вокруг Солнца вместе с Землей. Для синодической системы можно считать, что наблюдатель находится высоко над Луной, видит Луну и Землю и движется вокруг Земли по орбите, повторяющей орбиту Луны, по которой Луна движется вокруг Земли.

Переход от синодических координат (в которых Луна неподвижна) к сидерическим (в которых Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите) осуществляется по формулам:

Во всех дальнейших построениях считается, что центр Земли находится в начале координат, в точке (0,0). Для построений в синодической системе считается, что центр Луны находится на оси X в точке (1,0).

Задача трёх тел, ограниченная задача трёх тел

Задача трёх тел ^[5] состоит в определении траекторий движения трёх массивных тел, которые взаимодействуют в соответствии с Законом всемирного тяготения, если заданы начальные положения тел, а также их скорости. Закон всемирного тяготения утверждает, что массивные небесные тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (эта сила действует вдоль прямой, соединяющей центры масс тел). Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной (обозначается G).

Полная задача трёх тел описывается системой из 18-ти дифференциальных уравнений для трехмерных координат и скоростей тел. При упрощающих предположениях (что движение происходит в одной плоскости и что масса одного из тел - космического корабля намного меньше массы двух других) общую задачу можно свести к ограниченной задаче трёх тел ^[6], которая описывается системой всего 4-х дифференциальных уравнений. Поскольку уравнения зависят не от самих масс тел, а от их отношения, для системы Земля-Луна можно считать массами доли массы каждого из тел в их общей массе (т.е. суммарная масса Земли и Луны равна 1), а гравитационную постоянную равной 1. Все это приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

Эту систему не слишком сложно решить с помощью численных методов.

Периодические траектории

Периодические траектории (т.е. такие, для которых движение с некоторого момента начинает повторяться) играют важную роль при изучении задачи трёх тел. В конце XIX века Анри Пуанкаре ^[7] показал, что для любой траектории, являющейся решением задачи трёх тел, существует сколь угодно близкая к ней периодическая траектория, тоже являющаяся решением задачи. Поэтому периодические траектории удобно использовать в качестве отправной точки для построения траекторий с нужными свойствами.

Траектории свободного возвращения

Практически все полеты к Луне происходят с использованием траекторий свободного возвращения ^[8], по крайней мере те, которые предполагают возвращение на Землю. Такие траектории позволяют перемещаться к Луне и обратно без использования двигателя, только за счет гравитационного взаимодействия космического корабля с Землей и Луной. При этом кораблю необходимо, находясь где-то в окрестностях Земли, оказаться в определенной точке пространства (принадлежащей траектории свободного возвращения), имея определенную величину и направление скорости. Далее перемещение к Луне (и возвращение от Луны, если прилунение не планируется) будет происходить без затрат энергии (или они будут минимальными, если понадобятся какие-то дополнительные маневры). Если планируется посадка на Луну, то траектории свободного возвращения используются на первоначальном этапе для страховки, на случай возникновения какой-либо нештатной ситуации (так было при полете Аполлона-13, он возвращался к Земле практически по такой траектории)

Построение модели для Ориона

Модель траектории Ориона строится так: на основании известных данных о полете подбирается начальная периодическая траектория, часть которой похожа на траекторию свободного возвращения, позволяющую облететь Луну и вернуться в окрестности Земли. Затем часть, соответствующая траектории свободного возвращения, отделяется от начальной траектории с помощью подбора подходящих параметров - начальных условий и временного интервала. Для этого требуется много-много раз решать систему дифференциальных уравнений задачи трёх тел и визуально анализировать результаты. Конечно, это наивный способ, в реальности параметры подбираются с помощью программы, оптимизирующей такие показатели, как масса космического корабля, масса топлива, расход топлива для маневров и прочие. Однако для демонстрационных целей такой модели вполне достаточно, и она воспроизводит основные параметры миссии относительно точно.

Полет Ориона состоял из следующих этапов: сначала старт и вывод корабля на низкую околоземную орбиту. Затем осуществлялся маневр по переходу на более высокую орбиту, при полете по ней проверялось функционирование всех систем корабля. После этого выполнялся маневр по увеличению скорости (Trans-Lunar Injection,TLI ^[9]) для выхода на орбиту свободного возвращения. Далее полет происходил без затрат энергии (ну, или выполнялись лишь небольшие корректировки траектории). Корабль возвращался в окрестности Земли, осуществлялось торможение, вход в атмосферу и посадка. Я не буду рассматривать этапы взлета и посадки, ограничусь только околоземной траекторией, на которой осуществляется разгон Ориона, и его полетом из окрестностей Земли до Луны и обратно к Земле.

Для построения траектории полета Аполлона-13 я использовал четырехлепестковую орбиту Аренсторфа. Её открыл американский ученый-математик Ричард Аренсторф ^[10] в 1963 году. Эта орбита периодическая, она располагается вокруг Земли и Луны и выглядит довольно красиво. С помощью этой орбиты можно построить орбиту свободного возвращения для системы Земля-Луна (я не знаю, действительно ли в реальном полете Aполлона-13 использовалась именно эта орбита, но знаю, что Ричард Аренсторф считается создателем реальной орбиты для Аполлона)

Анимированное изображение полета по орбите Аренсторфа

Если внимательно рассмотреть анимацию движения по орбите Аренсторфа, можно заметить, что её часть в начале периода вместе с другой частью в конце периода как раз и образуют орбиту свободного возвращения. После полета Ориона все теперь знают, что его орбита имела вид “восьмерки”, петли которой окружают Землю и Луну (это известно даже некоторым

необычным персонажам,

https://www.instagram.com/reels/DW2IKd8iOcn ^[11]

которых трудно заподозрить в интересе к астродинамике).

Периодичность орбиты Аренсторфа позволяет построить цельную орбиту из двух частей с требуемыми свойствами - ее петли окружают Землю и Луну.

Поэтому на первом этапе моделирования нужно построить орбиту Аренстрфа именно для Ориона. Воспользоваться орбитой для Аполлона-13 нельзя, поскольку точно известно, что Орион в самой дальней точке полета находился от поверхности Луны намного дальше, чем Аполлон-13. Построение траектории можно выполнить так: поместить ее начало в точку максимального отдаления корабля от Земли, а затем понемногу изменять вертикальную компоненту скорости корабля так, чтобы новая траектория стала периодической (определяя это по изображению траектории)

Построение орбиты Аренсторфа для Ориона

Видно, что орбиты Аренсторфа для Аполлона-13 и Ориона хоть и похожи, но все-таки отличаются.

Когда орбита Аренсторфа для Ориона найдена, можно сначала подобрать её период, а затем вычленить из нее орбиту свободного возвращения (вследствие периодичности можно сделать это, интегрируя систему уравнений от начала в самой дальней от Земли точке вперед и назад с известными начальными условиями, а затем отрезать лишнее визуальным подбором точек начала и конца траектории)

Выделение орбиты свободного возвращения из орбиты Аренсторфа для Ориона

Так выглядит орбита в синодической (вращающейся вместе с Луной) системе координат

При помощи преобразования координат можно получить и вид орбиты для сидерической (инерциальной) системы координат

Увеличенное анимированное изображение траектории полета Ориона вблизи Луны

Можно также сравнить орбиты Аполлона-13 и Ориона

Промежуточная околоземная (разгонная) орбита

Теперь можно заняться определением промежуточной орбиты, при движении по которой осуществлялся маневр перехода на орбиту свободного возвращения (Trans-Lunar Injection,TLI). Известно, что для Ориона это был вытянутый эллипс со следующими параметрами: минимальное расстояние от поверхности Земли 192 км, максимальное расстояние - 70174 км (данные из Википедии). Добавляя к этим значениям величину радиуса Земли, получаем расстояние в перигее (ближайшая к Земле точка) 6563 км от центра Земли (0.016377, если расстояние от Земли до Луны - это единица), в апогее 76545 км от центра Земли (0.191002). Теперь можно воспользоваться известными формулами и найти величины полуосей эллипса, большая - это среднее арифметическое расстояний в перигее и апогее, меньшая - их среднее геометрическое.

После этого можно записать параметрические уравнения такого эллипса (Земля находится в центре координат, а сам эллипс вытянут вдоль оси X)

Но как же должна быть ориентирована такая орбита на плоскости? Далее мне придется немного пофантазировать и предположить, что эллипс своею большею полуосью должен быть направлен примерно в сторону Луны, и при этом касаться орбиты свободного возвращения, чтобы можно было при увеличении скорости перейти на нее. Поэтому орбита может выглядеть так:

Подбор ориентации околоземной разгонной орбиты

Анимированное изображение орбиты Луны

Для согласованной демонстрации движений космического корабля и Луны необходимо правильно определить уравнение движения Луны. Луна перемещается вокруг центра Земли по окружности единичного радиуса. Параметрическое уравнение для любой окружности такого типа следующее:

Нужно подобрать константы так, чтобы выполнялись два условия. Во-первых, за полное время полета Ориона Луна должна была пройти часть окружности, равную доле времени полета в лунном месяце, за который Луна совершает полный оборот вокруг Земли. Лунный месяц равен примерно 29 суткам 12 часам 44 минутам, это 42524 минуты. Общее время полета по орбите свободного возвращения составляло приблизительно 9 суток - это 12960 минут. Используя время начала и конца для орбиты свободного возвращения Ориона (у меня это ), можно выразить длину дуги орбиты Земли двумя разными способами - через интеграл (уж простите, не придумал более простого способа, но интеграл, которым вычисляется длина дуги, очень простой, подынтегральное выражение - константа) от параметрически заданной функции и как долю времени полета в лунном месяце, получим

Во-вторых, учитывая, что Луна и Орион должны пересечь ось Х одновременно, в момент времени, равный периоду орбиты Аренсторфа (), значение найдем из соотношений

Анимированные изображения орбиты Ориона

Теперь можно построить анимацию движения Ориона из окрестностей Земли к Луне и обратно:

Анимированное изображение орбиты для Ориона (с учетом разгонной околоземной орбиты)

Анимированное изображение орбиты для Ориона (только орбита свободного возвращения)

Некоторые другие орбиты свободного возвращения

Когда я занялся экспериментами с поиском орбиты Ориона, я совершил оплошность, указав неверное (слишком большое) значение расстояния до корабля в самой дальней от Земли точке полета. Орбиты получались совсем не такими, как я ожидал, поэтому пришлось искать ошибку. Ошибку я в итоге нашел и исправил, но хочу все-таки привести здесь изображения этих неудачных орбит, они по-своему примечательны

Эта орбита интересна тем, что тоже имеет форму “восьмерки”, однако её меньшая петля не окружает Луну, а находится позади неё.

Эта орбита вообще не имеет форму “восьмерки”, а просто окружает Землю и Луну. Впрочем, её можно считать орбитой свободного возвращения лишь условно - она проходит слишком далеко от Земли

Она же в синодической системе координат

Уравнения, описывающие движение Ориона, в текстовом виде

Эти уравнения можно использовать в ваших любимых программах решения дифференциальных уравнений и построения графиков, чтобы воспроизвести приведенные здесь изображения

(X,Y) - координаты тела с пренебрежимо малой массой (космического корабля)
(VX, VY) - компоненты скорости космического корабля
m1,m2 - массы тел

X' = VX
Y' = VY
VX' = X+2*VY-m1*(X+m2)/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*(X-m1)/((X-m1)^2+Y^2)^1.5
VY' = Y-2*VX-m1*Y/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*Y/((X-m1)^2+Y^2)^1.5

Начальные условия:
T0 = 11.433, T1 = 13.265
X(T0) = -0.0207554738
Y(T0) = -0.02487039372
VX(T0) = 7.766757311
VY(T0) = -3.557349763

Значения масс:
m1  = 0.987722529
m2  = 0.012277471

Начальные условия:
T0 = 0, T1 = 20
X(T0) = 1.016509
Y(T0) = 0
VX(T0) = 0
VY(T0) = -1.255754491

Значения масс:
m1  = 0.987722529
m2  = 0.012277471

X=cos(p1*t+p2)
Y=sin(p1*t+p2)
T0=11.433  
T1=13.265
p1=0.956697 
p2=-11.814206

X=(((p3+p2)+p4)/2*cos(t+pi)+((p3+p2)+p4)/2-p4)*cos(p1)-sqrt((p3+p2)*p4)*sin(t+pi)*sin(p1)
Y=(((p3+p2)+0.016377)/2*cos(t+pi)+((p3+p2)+p4)/2-p4)*sin(p1)+sqrt((p3+p2)*p4)*sin(t+pi)*cos(p1)
T0=0  
T1=6.28
p1=-0.455  
p2=0
p3=0.191
p4=0.016377

Заключение

В заключение мне хотелось бы привести отрывок из стихотворения известного англоязычного поэта и композитора ^[12] (точнее, это припев песни, она хоть и посвящена немного другому Ориону ^[13], но с космосом связана бесспорно)

Orion, won't you give me your star sign?
Orion, get up on the sky-line
I'm high on my hill and I feel fine
Orion, let's sip the heavens' heady wine

Примерный перевод такой: Орион, ты покажешь мне свой звездный знак? Орион, встань над линией горизонта. Я стою на высоком холме и мне хорошо. Давай пить крепкое вино небес маленькими глотками.

Присоединяюсь, давай …

Вышеупомянутый поэт и композитор за работой

Давно

Относительно недавно

Орион, поделись своим знаком небес,
Орион, поднимись над каймой этих мест.
Я стою на холме, в голове — бирюза,
Орион, пригубим хмельной кубок сна.

Орион, подари мне созвездия знак,
Орион, поднимись над грядою из скал.
На холме я один, мне легко и светло,
Орион, пригубим небес хмельное вино.

Орион, поделись со мной звёздной судьбою,
Орион, над чертою взметнись голубою.
На холме я парю, мне так вольно дышать,
Орион, дай небесный нектар пригубить.

Орион, подай знак своей звёздной системой,
Орион, поднимись над земной атмосферой.
Я стою на холме, созерцая полёт,
Орион, пусть нас небо хмельное влечёт.

Орион, подай знак своей звёздной судьбы,
Орион, поднимись над чертой высоты.
На холме я стою, мне так вольно сейчас,
Орион, пьём небес золотистый экстаз.

Несомненно - полет Ориона является огромным, выдающимся достижением человечества, и я рад, что имею возможность прикоснуться к этому событию хотя бы и таким умозрительным способом (т.е. построив предполагаемую траекторию полета), не выходя из дому