Что такое наблюдатель и при чём здесь фильтр Калмана

Прочитал на Хабр статью [1] ^[1], в которой автор простым языком даёт достаточно глубокое представление такого сложного и важного математического объекта как фильтр Калмана и захотел предложить читателям посмотреть на него (фильтр Калмана) несколько с другого ракурса. Сразу хочу предупредить, что перед чтением данной статьи хорошо бы прочесть статью [1] ^[1], так как даже формулы были специально взяты ровно оттуда, дабы данная статья базировалась на материале упомянутой работы [1] ^[1].

Представим, что у нас есть объект, работу которого необходимо отслеживать, но для этого нет прямой, а есть только косвенная информация. Например, мы имеем дело с погружным нефтяным насосом и необходима информация о его работе, в частности частота вращения двигателя данного насоса. В своём распоряжении мы имеем информацию лишь о напряжениях и токах его фаз и нам необходимо разработать виртуальный тахометр.

Общая идея такова: берём математическую модель двигателя и в режиме реального времени “запитываем” её показаниями датчиков напряжений фаз работающего двигателя насоса. Показания датчиков тока используем для того, чтобы в реальном времени втянуть виртуальную модель в такой режим, при котором виртуальные показания квазидатчиков тока математической модели станут равны показаниям реальных датчиков тока. То есть в этом случае мы получим виртуальную real time модель из которой можем взять любую информацию, которой она располагает, в частности частоту вращения электродвигателя.

А теперь, изложенную идею попробуем воплотить в виде математических абстракций.

$begin{align} & {{{hat{x}}}_{k}}={{F}_{k}}{{{hat{x}}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{{vec{u}}}_{k}} \ & {{P}_{k}}={{F}_{k}}{{P}_{k-1}}F_{k}^{T}+{{Q}_{k}} \ end{align} tag{1}$

Детально разберём модель (1):

${{F}_{k}}$

- матрица дискретной модели наблюдаемого объекта, в данном случае это двигатель погружного насоса;

${{hat{x}}_{k}}$

- случайный вектор пространства состояний фильтра Калмана с ковариационной матрицей

${{P}_{k}}=Cov({{hat{x}}_{k}}),$

характеризующей разброс

${{hat{x}}_{k}}$

вокруг его математического ожидания

$Mleft[ {{{hat{x}}}_{k}} right],$

в нашем случае

${{hat{x}}_{k}}$

-это вектор, состоящий из координат, характеризующих электрические и механические процессы в моделируемом двигателе погружного насоса, в частности одна из его координат является интересующей нас скоростью вращения ротора электродвигателя;

${{Q}_{k}}$

- ковариационная матрица шума внешних возмущающих воздействий на вектор пространства состояний

${{hat{x}}_{k}}$

математической модели электродвигателя, например неоднородность нефтяной фракции, закачиваемой погружным насосом, что стохастически воздействует на электромеханические процессы двигателя;

${{vec{u}}_{k}}$

- вектор детерминированных внешних воздействий с согласующей этот вектор с моделью двигателя матрицей

${{B}_{k}},$

в данном случае это реальные напряжения фаз двигателя погружного насоса.

Так же

${{vec{mu }}_{expected}}={{H}_{k}}{{hat{x}}_{k}}$

- случайный вектор показаний квазидатчиков токов фаз математической модели двигателя насоса, где

${{H}_{k}}$

- матрица согласования вектора пространства состояний

${{hat{x}}_{k}}$

с вектором показаний квазидатчиков

${{vec{mu }}_{expected}};$ $sum{_{expected}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}$

- ковариационная матрица случайного вектора показаний квазидатчиков

${{vec{mu }}_{expected}} ,$

характеризующая разброс этих показаний вокруг математического ожидания

$Mleft[ {{{vec{mu }}}_{expected}} right];$ ${{vec{z}}_{k}}$

- случайный вектор показаний реальных датчиков тока фаз двигателя с ковариационной матрицей

${{R}_{k}}=Cov({{vec{z}}_{k}}),$

характеризующей шумовой разброс показаний

${{vec{z}}_{k}}$

вокруг математического ожидания

$Mleft[ {{{vec{z}}}_{k}} right].$

Итак, мы имеем два случайных вектора

${{vec{mu }}_{expected}},{{vec{z}}_{k}}$

показаний виртуальных и реальных датчиков тока фаз электродвигателя и соответствующих им ковариационных матриц

$sum{_{expected}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} и { {R}_{k}}$

соответственно. Положим, надо объединить показания виртуальных квазидатчиков с показаниями реальных датчиков при помощи произведения двух случайных величин, в данном случае это

${{vec{mu }}_{expected }} и {{vec{z}}_{k}},$

и получить случайный вектор

${{hat{x}}_{k}}^{prime }.$

Новая случайная векторная величина

${{hat{x}}_{k}}^{prime }$

будет иметь вероятностную характеристику, представляющую собой компромисс между реальным измерением и виртуальным прогнозом.

Случайный вектор

${{vec{mu }}_{expected}}$

показаний квазидатчиков тока математической модели двигателя и его ковариационную матрицу

$sum{_{expected}}$

представим в виде :

$left( {{{vec{mu }}}_{0}},{{Sigma }_{0}} right)=left( {{{vec{mu }}}_{expected}},sum{_{expected}} right)=left( {{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}},{{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} right ) tag{2}$

Случайный вектор

${{vec{z}}_{k}}$

показаний реальных датчиков тока математической модели двигателя и его ковариационную матрицу

${{R}_{k}}$

представим в виде :

$left( {{{vec{mu }}}_{1}},{{Sigma }_{1}} right)=left( {{{vec{z}}}_{k}},{{R}_{k}} right) tag{3}$

В результате произведения

${{vec{mu }}_{expected}} , {{vec{z}}_{k}}$

получаем векторную случайную величину

и её ковариационную матрицу

которые можно выразить через

${{vec{mu }}_{expected}} , {{vec{z}}_{k}}$

и их ковариационные матрицы следующим образом:

$begin{align} & {vec{mu }}'={{{vec{mu }}}_{0}}+K({{{vec{mu }}}_{1}}-{{{vec{mu }}}_{0}}) \ & {Sigma }'={{Sigma }_{0}}-K{{Sigma }_{0}} \ end{align} где K={{Sigma }_{0}}{{left( {{Sigma }_{0}}+{{Sigma }_{1}} right)}^{-1}} tag{4}$

Причём

$begin{align} & {vec{mu }}'={{H}_{k}}{{{{hat{x}}'}}_{k}} \ & {Sigma }'={{H}_{k}}{{{{P}'}}_{k}}H_{k}^{T} \ end{align} tag{5}$

Исходя из (2),(3),(4),(5), получим:

$begin{align} & {vec{mu }}'={{H}_{k}}{{{{hat{x}}'}}_{k}}={{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}}+{{K}_{k}}left( {{{vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}} right) \ & {Sigma }'={{H}_{k}}{{{{P}'}}_{k}}H_{k}^{T}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}-{{K}_{k}}{{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T} \ end{align} tag{6}$

Исходя из (2),(3),(4) коэффициент усиления Калмана

${{K}_{k}}$

будет иметь вид

${{K}_{k}}={{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}{{left( {{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}+{{R}_{k}} right)}^{-1}} tag{7}$

Мы можем убрать

${{H}_{k}}$

из начала каждого члена в двух предыдущих уравнениях (6) (обратите внимание, что один скрывается в K ), а

$H_{k}^{T}$

убрать из конца всех членов второго уравнения системы (6).

Окончательно приходим к следующим выражениям:

$begin{align} & {{{{hat{x}}'}}_{k}}={{{hat{x}}}_{k}}+{{{{K}'}}_{k}}left( {{{vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}} right) \ & {{{{P}'}}_{k}}={{P}_{k}}-{{{{K}'}}_{k}}{{H}_{k}}{{P}_{k}} \ & {{{{K}'}}_{k}}={{P}_{k}}H_{k}^{T}{{left( {{H}_{k}}{{P}_{k}}H_{k}^{T}+{{R}_{k}} right)}^{-1}} \ end{align} tag{8}$

К которым добавим систему (1):

$begin{align} & {{{hat{x}}}_{k}}={{F}_{k}}{{{hat{x}}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{{vec{u}}}_{k}} \ & {{P}_{k}}={{F}_{k}}{{P}_{k-1}}F_{k}^{T}+{{Q}_{k}} \ end{align} tag{1}$ ${{{hat{x}}'}_{k}}$

— это новое наилучшее возможное значение, и мы можем дальше передавать его вместе с

${{{P}'}_{k}}$

на очередной этап вычислений, полагая

${{hat{x}}_{k-1}}={{{hat{x}}'}_{k}} , {{P}_{k-1}}={{{P}'}_{k}} .$

Ну и что? Скажете Вы, тот же фильтр Калмана, что и в [1] ^[1]. Но давайте в первое уравнение системы (8) вместо

${{hat{x}}_{k}}$

подставим первое уравнение системы (1), и получим

${{{hat{x}}'}_{k}}={{F}_{k}}{{hat{x}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{vec{u}}_{k}}+{{{K}}_{k}'}left( {{{vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}} right) tag{9}$

наблюдатель в каноническом виде, где

${{F}_{k}}{{hat{x}}_{k-1}}+{{B}_{k}}{{vec{u}}_{k}}$

- это часть, которая отвечает за математическую модель наблюдаемого объекта, в нашем случае это электродвигатель,

${{vec{u}}_{k}}$

- внешнее детерминированное воздействие, в нашем случае это напряжения фаз, измеренные реальными датчиками,

${{vec{z}}_{k}}$

- измеряемые величины, в нашем случае это показания датчиков тока двигателя насоса.

${{{K}}_{k}'}$

- матричный коэффициент усиления наблюдателя, который устроен так, что благодаря ему

$left( {{{vec{z}}}_{k}}-{{H}_{k}}{{{hat{x}}}_{k}} right)$

стремится к нулю, но так как

${{vec{z}}_{k}}$

- это показания датчиков реальных, а

${{vec{mu }}_{expected}}={{H}_{k}}{{hat{x}}_{k}}$

- показания квазидатчиков виртуальных, то это означает, что показания датчиков виртуальных станут равны показаниям датчиков реальных. То есть, математическая модель будет запитана тем же напряжением и будет выдавать те же токи, что и наблюдаемый объект, а это означает, что значения координат вектора

${{{hat{x}}}_{k}'}$

будут соответствовать реальным текущим значениям наблюдаемого объекта, а что касается нашего случая, то одна из координат

${{{hat{x}}}_{k}'}$

будет соответствовать реальному значению скорости вращения ротора электродвигателя погружного нефтяного насоса.

Тогда причём здесь фильтрация?

Задача наблюдения, сформулированная в стохастических терминах, именуется задачей фильтрации [2].

То есть фильтр Калмана – это оптимальный наблюдатель.

Объяснение фильтра Калмана в картинках ^[1]
К. Браммер Г. Зиффлинг Фильтр Калмана – Бьюси. Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация

Автор: boldyrev_igor

Источник ^[2]

Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru

Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/fil-tr-kalmana/448945

Ссылки в тексте:

[1] [1]: https://habr.com/ru/articles/594249/

[2] Источник: https://habr.com/ru/articles/1019716/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=1019716

Нажмите здесь для печати.