- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Есть стопка стеклянных пластинок и захотелось нам построить для этой стопки частотную характеристику пропускания (или отражения) света. Вот как на рисунке: берем две стеклянные пластинки (отличаются показателем преломления) — строим; потом собираем стопочку из 10 пластин (те же два показателя преломления чередуются) — опять строим; а в конце делаем стопочку потолще (из 50 пластин) — и снова строим. Интересная же картинка: для толстой стопки есть интервал частот, которые совсем не проходят, Т=0, — вот эта стопка называется "одномерный фотонный кристалл [1]".
Ну а как строить-то такую характеристику? А если пластинки поглощающие? А вдруг они еще и анизотропные некоторые? А если не просто анизотропные, а прям холестерические, как в жидкокристаллических мониторах? А если все они вообще разные и каждая со своим дихроизмом [2]? Не беда!
Статья ориентирована на тех, кто захочет написать код функции, поэтому без математических выкладок — всё в стиле «делай, не думай».
Отрезок разделен на частей — «одномерных анизотропных пластин холестерического типа». Каждая пластина имеет свой собственный набор параметров: , , , , , , а также толщину . Номера пластин упорядочены в порядке следования одной за другой слева направо (вдоль возрастания координаты ). Слева и справа от стопки анизотропных пластин находятся изотропные среды с параметрами: при и при . Слева на стопку пластин падает плоская электромагнитная волна с частотой . Требуется найти коэффициент отражения и коэффициент пропускания .
Задача решается в безразмерных величинах. Параметр обезразмеривания выбирается исходя из удобства. Безразмерные величины выражаются через размерные в системе следующим образом:
При обезразмеривании вещественные части величин не изменяются.
Аргументы (уже обезразмеренные)
, — диэлектрическая и магнитная проницаемости крайней левой изотропной среды (не обязательно вакуум, индекс значит ),
, — диэлектрическая и магнитная проницаемости крайней правой изотропной среды (индекс: ),
— частота падающей волны,
Далее для каждого -слоя (всего слоев):
— толщина слоя,
— пространственная частота холестерической спирали (может принимать отрицательные значения),
— «начальный» (какой он был бы при , если спираль продолжить назад, — невзирая на истинную начальную координату -слоя) угол между осью и вектором-директором [3] (см рис. ниже),
, , , — в общем случае комплексные продольные и поперечные диэлектрические и магнитные проницаемости.
При этом мнимые части диэлектрических и магнитных проницаемостей отвечают за поглощение: , , , .
Возвращаемые значения
Всего рассматривается 4 типа падающих волн:
В соответствии с типом падающей волны, функция возвращает 4 коэффициента пропускания и 4 коэффициента отражения (всего 8 значений): .
Коэффициенты определяются как доли энергии (отраженной, пропущенной) от энергии падающей волны.
При желании, долю поглощенной энергии в стопке можно вычислить по формуле: , где индекс обозначает тип падающей волны: .
В основном действия состоят из вычисления и произведения комплексных матриц размерностью .
Для обозначения каждой матрицы используется открывающая скобка, буква и закрывающая скобка. Например:. Открывающая и закрывающая скобки не всегда одинаковы. Обратные матрицы обозначаются обратным порядком скобок, например: . Буквой в скобках подчеркивается зависимость марицы от координаты. Если матрица не зависит от координаты, то в скобках присутствует другая буква. Таким образом, при обозначении матрицы, значение имеет уникальный набор скобок и их порядок следования.
Обозначения используются для лаконичности записи произведения матриц и удобства проверки правильности записи, выражаемого мнемоническим правилом: соседние перемножаемые матрицы должны иметь одинаковые граничащие скобки, что имеет смысл при переходе из одного пространства в другое. Эти-то 4-мерные пространства и обозначаются скобками: — пространство «неподвижное декартово», — пространство «вращающееся декартово», — пространство «собственных векторов», — пространство «количеств и направлений волн». Произведение матрицы на вектор интерпретируется как новое представление вектора: или в другом 4-пространстве, но при той же координате (если скобки матрицы отличаются) или в другой координате, но в том же 4-пространстве (если открывающя и закрывающая скобки одинаковы).
Для каждого слоя вычисляются 4 собственных значения по формуле:
где
Здесь — мнимая единица.
Каждому собственному значению соответствует собственный вектор : , где
Если кратности 2, то в этой задаче ему соответствует два собственных вектора.
Для каждой -слоя вычисляется матрица . Нумерация слоев слева-направо, по возрастанию координаты . Формула для вычисления:
где
, , — координаты соответсвенно левой и правой границы -слоя: .
Формула для вычисления:
Формула для вычисления:
где
при , .
Предварительные вычисления. Если
то вычисляются:
Теперь векторы записываются:
Плоская поляризация Формулы для вычисления:
Здесь
при , .
Круговая поляризация Формулы для вычисления:
Вектор имеет структуру:
Плотность потока энергии определяется — вектором Пойнтинга, усредненным по периоду колебаний:
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение.
Используя эту формулу вычисляются
где принимает значения (падают волны плоской поляризации) либо (падают волны круговой поляризации).
Для нахождения коэффициента отражения и коэффициента прохождения используются формулы:
Ну вот. Теперь можно применять. Инструмент забавный. Всем добра.
Автор: FransuaMaryDelone
Источник [4]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/fizika/254460
Ссылки в тексте:
[1] одномерный фотонный кристалл: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB
[2] дихроизмом: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%BC
[3] вектором-директором: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D1%8B
[4] Источник: https://geektimes.ru/post/288891/
Нажмите здесь для печати.