- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
В комментариях к моему посту [1], одним из пользователей был задан интересный вопрос [2]. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?
Нагрев и остывание подчиняются закону Нютона-Рихмана [3], решение уравнений которого имеет вид:
— температура окружающей среды;
— начальная температура;
— время;
— коэффициент, описанный ниже;
Давайте детально исследуем эту формулу:
Теперь несколько слов о коэффициенте :
— коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.
— площадь границы раздела;
— масса;
— удельная теплоемкость тела;
Если с (площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью и массой все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.
Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):
— температура горячей (Hot) воды;
— температура холодной (Cold) воды;
— температура смеси;
Горячая вода, охлаждаясь до отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:
Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время станет:
Далее смешиваем и получаем:
Смешиваем:
И через получаем:
Казалось бы разницы нет, но…
Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент можно записать как сумму:
, где
, ,
Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом и высотой , то:
, а
Можем записать:
Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:
А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.
Если рассматривать
и
можно сделать вывод что всегда будет меньше чем , а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.
Подвох состоит в значении относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.
Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:
Напомним что
Если обозначить:
, и
Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и , будет лежать между и :
На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Нютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.
Автор: viktorpanasiuk
Источник [4]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/fizika/87693
Ссылки в тексте:
[1] посту: http://geektimes.ru/post/246716/
[2] вопрос: http://geektimes.ru/post/246716/#comment_8311318
[3] Нютона-Рихмана: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
[4] Источник: http://geektimes.ru/post/248194/
Нажмите здесь для печати.