В распределении простых чисел обнаружена дифракционная картина, примерно как у квазикристаллов

В марте 2016 года Роберт Дж. Лемке-Оливер и Каннан Соундарараджан из Стэнфордского университета открыли новый шаблон ^[1] в распределении простых чисел. Оказалось, что простые числа специфически распределяются по числовому пространству. Подробнее см. перевод статьи «Структура и случайность простых чисел» ^[2] на Хабре.

К изучению темы подключились специалисты из других областей, в том числе химии. И успешно. Профессор теоретической химии Сальваторе Торкуато ^[3] вместе с теоретиком чисел Мэтью де Курси-Айрлэнд ^[4] нашли новые шаблоны ^[5] в распределении простых чисел, о которых раньше не было известно. Оказалось, что распределение простых чисел образует фракталоподобную дифракционную картину, чем-то похожую на картину дифракции у экзотических квазикристаллов.

Профессор Торкуато специализируется на изучении закономерностей в структурах физических систем, таких как кристаллы и коллоиды. Стандартный способ изучения структуры — дифракция рентгеновских лучей. Беспорядочные молекулы в жидкостях или газе отражают лучи во всех направлениях, не создавая заметного рисунка. Но симметрично расположенные атомы в кристалле синхронно отражают световые волны, создавая периодические яркие пятна выраженной дифракции (пики Брэгга ^[6]). Анализ пиков Брэгга даёт возможность понять внутреннюю структуру кристалла или иного материала, который создаёт такую картину.

Так вот, в новых научных статьях Торкуато и других (1 ^[5], 2 ^[7], 3 ^[8]) показано, что обнаруженная упорядоченная структура в распределении простых чисел — ни что иное как фракталоподобная дифракционная картина, примерно как у квазикристаллов.

Картина пиков Брэгга на решётке из простых чисел похожа на квазикристаллы, но всё-таки отличается от них. Торкуато говорит ^[9], что простые числа как физическая система «являются совершенно новой категорией структур». Исследователи назвали этот новый фракталоподобный рисунок «эффективной предельной периодичностью» (effective limit-periodicity).

Рисунок состоит из периодической последовательности светлых вершин, которые отражают наиболее общие интервалы простых чисел: все они нечётные (кроме 2), многие рядом друг с другом. Самые яркие пики (пары, разделённые двумя цифрами) чередуются через равные промежутки времени с менее яркими пиками, отражая простые числа, разделённые шестью цифрами. Между ними ещё более тусклые пики, соответствующие более удаленным парам простых чисел и т. д. Всё это — бесконечное количество пиков Брэгга, помещённых друг внутрь друга.

Подобная структура пиков Брэгга наблюдалась и раньше — в дифракционных картинах квазикристаллов.

Беспорядочные молекулы в жидкостях или газе отражают лучи во всех направлениях, не создавая заметного рисунка. Но симметрично расположенные атомы в кристалле синхронно отражают световые волны, создавая периодические яркие пятна выраженной дифракции. Как выяснилось, шаблон распределения простых чисел образует фрактальную дифракционную картину, примерно как у квазикристаллов

Квазикристаллы ^[10] — странные материалы, обнаруженных в 1980-х годах. Они характеризуются симметрией, запрещённой в классической кристаллографии, и наличием дальнего порядка. Математической моделью квазикристаллов являются апериодичные мозаики типа известной мозаики Пенроуза ^[11]. В таких мозаиках отсутствует трансляционная симметрия, присутствует повторяемость и квазикристалличность (симметрия пятого порядка).

Фрагмент мозаики Пенроуза типа P1 (из плиток шести типов)

В случае простых чисел расстояния между пиками являются пропорциональными частями друг друга, в отличие от иррационально разнесённых пиков Брэгга квазикристаллов. «Простые числа фактически предполагают совершенно другое состояние позиций частиц, похожее на квазикристаллы, но не похожее на квазикристаллы», — сказал ^[9] Торкуато.

Открытие дифракционной картины нельзя назвать прорывным открытием для теории чисел, потому что основная часть этих шаблонов уже была описана ранее, только другими математическими методами (не через дифракцию квазикристаллов). Так, с помощью дифракционной картины возможно предсказание «двойников» типа 17 и 19 — это математический эквивалент первой гипотезы Харди — Литлвуда ^[12] относительно существования кортежей простых чисел на данном отрезке числовой прямой. Одно из правил запрещает триплеты из последовательных нечётных чисел после {3, 5, 7}. Это же объясняет, почему следующий по яркости пик Брэгга в дифракционной картине соответствует числам, разделённым шестью цифрами, а не четырьмя.

Новая научная работа — просто свежий взгляд на проблему равномерного распределения простых чисел и более простой способ вывести некий «единый закон» для них. Кроме того, это необычный способ анализа математической проблемы с точки зрения кристаллографии, а именно с точки зрения относительно молодой области исследований, называемой «апериодическим порядком», которая изучает неповторяющиеся модели и лежит на пересечении кристаллографии, динамических систем, гармонического анализа и дискретной геометрии. Эта отрасль науки выросла после открытия квазикристаллов, когда стало понятно, что старые методы тут не работают.

Распределение простых чисел напоминает особый апериодический порядок, известный с 1950-х годов. Он называется предельной периодичностью (limit periodicity). В таких системах периодические интервалы вложены в бесконечную иерархию, так что в любом интервале система содержит части шаблонов, которые повторяются только в большем интервале, как в плитке Тейлора-Соколара.

Плитка Тейлора-Соколара

Теоретические расчёты показывают, что предельно-периодические фазы вещества должны иметь возможность формироваться в природе, и такие системы могут иметь необычные свойства. Но никто не догадался связать предельную периодичность с простыми числами. Теперь мы знаем, что такая связь есть, причём простые числа демонстрируют новый вид предельной перодичности — «эффективную» предельную периодичность, потому что синхронность в расстояниях между простыми числами по всей системе соблюдается только статистически.

Возникает вопрос: как закономерности в распределении простых чисел могут сказаться на стойкости криптографических алгоритмов?

«Я получаю действительно много писем на эту тему. Хотя это интересное исследование, но оно не имеет отношения к криптографии, — написал ^[13] в своём блоге известный криптограф Брюс Шнайер. — Криптографам не интересен поиск простых чисел или даже их распределение. Стойкость алгоритмов криптографии с открытым ключом типа RSA связана со сложностью факторизации больших составных чисел, которые являются произведением простых чисел. А это совершенно другое дело».

Так что несмотря на прогресс в изучении распределения простых чисел, пока не стоит волноваться за стойкость криптошифров.

Автор: GlobalSign_admin

Источник ^[15]