Книга «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности»

Всем привет! У нас на складе появился второй тираж книги «Любовь и математика. Сердце скрытой реальности», которая была издана совместно с фондом «Династия» ^[1] Обзор книги уже был на Хабре ^[2]. Здесь мы опубликуем главу из книги «Покорение вершины»

^[3] «Моя цель не в том, чтобы вас чему-то научить. Я хочу дать вам возможность почувствовать, что существует целый мир, который от нас старательно скрывается, — мир математики. Это портал в неизведанную реальность, ключ к пониманию глубинных тайн Вселенной и нас самих. Математика не единственный портал, есть и другие. Но в некотором смысле он самый очевидный. И именно поэтому он так закамуфлирован, как будто бы на нем прибита доска с надписью: «Вам сюда не надо». А на самом деле надо. И когда мы входим в него, мы вспоминаем, кто мы: не маленькие винтики большой машины, не одинокие души, прозябающие на отшибе Вселенной. Мы — Творцы этого мира, способные дарить друг другу красоту и любовь». — Эдуард Френкель.

К лету я почувствовал, что готов поделиться своими находками с Фуксом. Я знал, что статья Вакимото заинтересует его не меньше меня. По традиции, я отправился на дачу к Фуксу. Однако, когда я прибыл туда, Фукс сообщил мне, что произошла небольшая накладка: он назначил встречу со мной и со своим коллегой и бывшим учеником Борисом Фейгиным на одно и то же время — по его словам, совершенно случайно, чему я, конечно, не поверил (и много позже Фукс подтвердил, что, действительно, сделал это намеренно).

Фукс представил меня Фейгину несколькими месяцами ранее. Это случилось перед одним из семинаров Гельфанда, вскоре после того, как я закончил свою статью о группах кос и приступил к чтению статьи Фейгина и Фукса. По совету Фукса я попросил Фейгина поре-комендовать дополнительную литературу, с которой мне стоило бы ознакомиться. Борису Львовичу — так я к нему тогда обращался — на тот момент было тридцать три года, но он уже считался одной из ярчайших звезд московского математического сообщества. Одетый в джинсы и пару поношенных кроссовок, он выглядел скромным, даже застенчивым человеком. На носу у него сидели толстые очки, и большую часть нашего разговора он смотрел в пол, избегая зрительного контакта. Само собой, я тоже был не слишком уверен в себе — всего лишь начинающий студент, которому выпала честь пообщаться со знаменитым математиком. В общем, это была не слишком увлекательная беседа. И все же время от времени Фейгин поднимал глаза и бросал на меня быстрый взгляд, сопровождая его широкой обезоруживающей улыбкой. Это растопило лед, и у меня не осталось сомнений в том, что в действительности он искренний и доброжелательный человек.

Однако первая рекомендация Фейгина меня поставила в тупик: он посоветовал мне прочитать книгу Ландау и Лифшица под названием «Статистическая физика». Такая перспектива меня по-настоящему встревожила — отчасти из-за сходства (по размеру и весу) между этим толстым томом и учебниками по истории Коммунистической партии, которые нам приходилось штудировать в институте.

В защиту Фейгина скажу, что совет оказался дельным. Это важная и полезная книга; более того, мои собственные исследования повернулись как раз в ту сторону (хотя к стыду своему должен признать, что книгу я все же так и не дочитал). Однако в тот момент идея ознакомиться с этим монументальным трудом меня нисколько не вдохновила, и, думаю, отчасти поэтому наша первая беседа довольно быстро заглохла. Фактически я больше не разговаривал с Фейгиным до того дня на даче Фукса, если не считать традици-онного «здравствуйте» при встрече на семинарах Гельфанда.

Вскоре после моего прибытия на дачу Фукса я увидел в окно Фейгина — он приехал на велосипеде, поскольку жил на даче неподалеку. Мы поздоровались, немного поговорили о том о сем и уселись за круглый стол на кухне. Фукс спросил меня:
— Итак, что нового?
— Ну… я нашел одну интересную статью японского математика Вакимото.
— Хммм… — Фукс повернулся к Фейгину: — Вы слышали об этом?
Фейгин отрицательно покачал головой, и Фукс снова обратился ко мне:
— Он всегда обо всем знает… Хорошо, что ему не попадалась эта статья — значит, ему тоже будет интересно тебя послушать.

Я принялся описывать все то, о чем узнал из работы Вакимото. Как я и думал, это очень заинтересовало их обоих. Тогда в первый раз нам с Фейгиным довелось побеседовать о математических концепциях, и я сразу же почувствовал, что мы настроены на одну волну. Он внимательно слушал и задавал правильные вопросы. Было совершенно очевидно, что он понимал важность этой информации, и, несмотря на то что с виду он оставался спокойным и расслабленным, услышанное его явно взволновало. Фукс по большей части просто наблюдал за нами и, подозреваю, про себя потирал руки от радости: его секретный план познакомить нас с Фейгиным поближе так чудесно сработал. Это был поистине вдохновляю-щий разговор. Я не сомневался, что нахожусь в одном шаге от какого-то чрезвычайно важного открытия.

Фукс явно разделял мою уверенность. Когда я уходил, он сказал мне:
— Молодец! Жаль, что не ты написал эту статью. Но, думаю, ты готов к тому, чтобы поднять эту работу на новый уровень.

По возвращении домой я продолжил думать о вопросах, поднятых в статье Вакимото. Поскольку Вакимото не давал никаких объясне-ний приведенным в работе формулам, мне пришлось выступить в роли своеобразного эксперта-криминалиста, чтобы отследить связь между этими формулами и общей картиной. Несколькими днями позже картина начала вырисовываться. Я в задумчивости мерил шагами свою комнату в общежитии, когда внезапно меня озарило: формулы Вакимото родом из геометрии! Это было удивительное и неожиданное открытие, ведь подход Вакимото был полностью алгебраическим — ни намека на геометрию.

Для того чтобы объяснить мою геометрическую интерпретацию, нам потребуется снова навестить группу Ли SO(3) симметрий сферы и ее группу петель. Как я объяснял в предыдущей главе, каждый элемент группы петель SO(3) представляет собой набор элементов SO(3), по одному элементу SO(3) на каждую точку петли. Каждый из элементов SO(3) действует на сфере как определенное вращение. Это подразумевает, что каждый элемент группы петель SO(3) порождает симметрию пространства петель сферы.

Я понял, что эту информацию можно использовать для поиска представления алгебры Каца — Муди, связанной с SO(3). Но это еще не давало нам формулы Вакимото. Для того чтобы получить их, необходимо было модифицировать формулы определенным весьма радикальным способом — проделать с ними операцию, аналогичную выворачиванию пальто наизнанку. Мы можем проделать это с любым пальто, но в большинстве случаев носить его после этого уже не получится — по крайней мере, на людях. Однако некоторые пальто специально шьются так, чтобы их можно было надевать любой стороной вверх. Как оказалось, это было справедливо и для формул Вакимото.

Вооружившись этой идеей, я немедленно попробовал распространить формулы Вакимото на другие, более сложные алгебры Каца — Муди. Первый, геометрический шаг мне удался без каких-либо сложностей — все было так же, как в случае с SO(3). Однако следующий этап — выворачивание формул «наизнанку» — дал какую-то ерунду. Результат попросту не имел смысла. Я принялся вертеть формулы и так, и эдак, но никакие ухищрения не помогали решить проблему. Я начал всерьез рассматривать возможность того, что данное построение работает только для SO(3), но не для алгебр Каца — Муди более общего вида. У меня не было никакой возможности узнать, решается ли эта задача в принципе, и если да, то можно ли прийти к решению, используя имеющиеся в нашем распоряжении инструменты. Мне оставалось только упорно трудиться и надеяться на лучшее.

Прошла неделя, и подошло время нашей очередной встречи с Фуксом. Я планировал продемонстрировать ему свои расчеты и попросить совета. Когда же я приехал на дачу, Фукс сказал, что его жене пришлось отправиться в Москву по каким-то срочным делам, и он дол-жен присматривать за их двумя маленькими дочками.

— Но знаешь что, — продолжил Фукс, — вчера здесь был Фейгин, и он в полном восторге от того, что ты нам рассказал на прошлой неделе. Почему бы тебе не съездить к нему? До его дачи всего пятнадцать минут. Я предупредил его, что отправлю тебя к нему, так что он тебя ждет.

Он объяснил мне дорогу, и я пошел на дачу к Фейгину. У Фейгина меня действительно ждали. Борис Львович тепло поприветствовал меня и познакомил со своей очаровательной женой Инной и тремя детьми: двумя бойкими мальчишками Ромой и Женей восьми и десяти лет и прелестной двухлетней дочуркой Лизой. Тогда я еще не знал, что с этой чудесной семьей меня на долгие годы свяжет самая теплая дружба.

Жена Фейгина предложила мне чашку чая и кусок пирога, и мы с ним устроились на веранде. Был прекрасный летний вечер, лучи солнца пробивались сквозь густую листву деревьев, щебетали птицы — настоящая идиллия. Однако, разумеется, наш разговор быстро перешел на построения Вакимото.

Фейгин признался, что он также немало времени посвятил размышлениям о них, и ход его мысли был аналогичен моему. С самого начала разговора мы то и дело заканчивали друг за друга предложения. Это было удивительно: он полностью понимал меня, а я — его.

Я принялся рассказывать о неудаче, которую потерпел при попытке распространить построение на другие алгебры Каца —Муди. Фейгин с большим вниманием выслушал меня, помолчал немного обдумывая проблему, и затем обратил мое внимание на одну важную вещь, которую я упустил. Один из шагов процесса обобщения построения Вакимото — это поиск подходящего обобщения сферы — многообразия, на котором SO(3) действует симметриями. В случае SO(3) выбор, по сути, однозначен. Однако для других групп может существовать намного больше вариантов. В своих расчетах я исходил из того, что естественными обобщениями сферы являются так называемые проективные пространства. Я принимал это как должное. Но вполне возможно, что я ошибался; не исключено, что у меня ничего не получалось именно вследствие неправильного выбора пространств.

Как я уже объяснял выше, в конечном счете, мне нужно было вывернуть формулы «наизнанку». Все мое построение основывалось на ожидании, что каким-то чудесным образом формулы, которые получатся в результате выворачивания, останутся в силе. У Вакимото для простейшей группы SO(3) все так и получилось. Мои расчеты показали, что для проективных пространств это не выполняется, и все же это не означало, что не существует другого, лучшего построения. Фейгин предложил мне попробовать рассмотреть так называемые флаговые многообразия.

Флаговое многообразие для группы SO(3) — это давно знакомая нам сфера, поэтому для других групп подобные пространства можно рассматривать как естественные заменители сферы. При этом флаговые многообразия богаче и разностороннее проективных пространств, так что можно было надеяться, что на них аналог построения Вакимото действительно сработает.

Темнело, и мне нужно было торопиться домой. Мы договорились встретиться еще раз через неделю, я попрощался с семьей Фейгина и пошел к железнодорожной станции.

На пути домой в пустом вагоне, сквозь открытые окна которого проникал теплый летний воздух, я продолжал размышлять о задаче. Я должен был попробовать решить ее — здесь и сейчас. Я вытащил ручку и блокнот и стал записывать формулы для простейшего флагового многообразия. Старый вагон электрички с шумом подпрыгивал на стыках рельсов и покачивался из стороны в сторону. Мне не удавалось держать ручку ровно, и формулы расползались по всей странице — я и сам с трудом мог разобрать свои записи. Однако посреди всего этого хаоса явно зарождалась какая-то система. В отличие от проективных пространств, которые я безуспешно пытался укротить всю неделю до этого, с флаговыми многообразиями у меня действительно начало что-то вырисовываться.

Еще несколько строк расчетов, и… Эврика! Получилось! «Вывернутые наизнанку» формулы работали так же четко и стройно, как в статье Вакимото. Построение было обобщено самым изящным образом. Меня переполнила радость: у меня получилось! Я решил задачу, я нашел новые реализации алгебр Каца — Муди на свободном поле!

Следующим утром я тщательно проверил свои расчеты. Все сходилось. На даче у Фейгина не было телефона, поэтому я не мог позвонить ему и немедленно рассказать о своих находках. Для начала я изложил все в форме письма, и рассказал Фейгину о новых результатах на следующей неделе, когда мы встретились снова. Так началась наша многолетняя совместная работа. Фейгин стал моим учителем, наставником, руководителем, другом. Поначалу я обращался к нему по имени и отчеству, Борис Львович. Но позже он настоял, чтобы я использовал более неформальное обращение — Боря.

В моей жизни мне невероятно повезло с учителями. Евгений Евгеньевич открыл мне красоту математики и помог мне влюбиться в нее. Он же научил меня основам. Фукс спас меня после катастрофы на вступительном экзамене в МГУ и обеспечил стремительный старт моей неуверенной до того момента математической карьеры. Он курировал меня на протяжении моего первого серьезного математического проекта, благодаря чему я поверил в свои силы, и подвел меня к восхитительной области исследований на стыке математики и физики. Наконец-то я был готов к большой игре. На этом этапе моего путешествия я не смог бы найти лучшего научного руководителя, чем Боря. Моя математическая карьера стала набирать обороты, словно подгоняемая мощью реактивного двигателя.

Без сомнения, Боря Фейгин — один из самых оригинальных и выдающихся математиков своего поколения во всем мире, провидец, обладающий врожденным чутьем к математике. Он стал моим проводником в удивительный мир современной математики, полный волшебной красоты и величественной гармонии.

Теперь, когда у меня появились свои ученики, я еще большеценю все то, что для меня сделал Боря (а также Евгений Евгеньевич и Фукс до него). Учить других совсем непросто! Наверное, во многих отношениях это схоже с родительским опытом. Вам приходится многим жертвовать, ничего не прося взамен. Разумеется, и награда может оказаться огромной! Однако как решить, какое направление указать студентам, когда стоит протянуть им руку помощи, а когда разумнее столкнуть их с лодки в озеро, чтобы научились выплывать самостоятельно? Это настоящее искусство. Никто не сможет научить этому.

Боря по-настоящему заботился обо мне и о моем развитии как математика. Он никогда не указывал мне, что делать, но общаясь с ним и учась у него, я всегда был уверен, в каком направлении следует двигаться дальше. Каким-то образом он делал так, что я всегда знал, чем надо заниматься. И, чувствуя, что он всегда рядом и всегда поддержит меня, я не сомневался, что выбрал правильный путь. Мне ужасно повезло, что моим учителем был такой потрясающий человек.

Начался осенний семестр 1987 года; это был мой четвертый год в Керосинке. Мне было девятнадцать, и моя жизнь никогда не была интересней и увлекательней. Я все так же жил в общежитии, встречался с друзьями, влюблялся… Но и не забывал об учебе. К тому времени я пропускал большинство занятий, а к экзаменам готовился самостоятельно (бывало и так, что за учебник я впервые брался всего лишь за пару дней до экзамена). По всем предметам у меня были только пятерки. Единственным исключением была четверка по марксистской политической экономии (позор мне).

Тот факт, что на самом деле у меня была «вторая жизнь» — математическая работа с Борей, занимавшая большую часть моего времени и требовавшая наибольших усилий, я от большинства людей в своем окружении скрывал.

Как правило, мы встречались с Борей дважды в неделю. Официально он занимал должность в Институте физики твердого тела, но там у него было не слишком много дел, поэтому ему было достаточно показываться в институте раз в неделю. В остальные дни он работал в квартире своей матери, до которой от его дома было десять минут пешком. До Керосинки и моего общежития было также недалеко. Это было наше традиционное место встречи. Я приходил поздним утром или сразу после полудня, и мы работали над нашими проек-тами, иногда засиживаясь до самой ночи. Мама Бори приходила с работы вечером и кормила нас ужином, и очень часто мы с Борей уходили вместе около девяти или десяти часов.

Первым делом мы составили краткую статью о наших результатах и отправили ее в журнал «Успехи математических наук». Она была опубликована примерно через год — довольно быстро по стандартам математических журналов.3 Разобравшись с этим вопросом, мы сфокусировались на дальнейшей разработке нашего проекта. Мы использовали полученные результаты для того, что-бы лучше понять представления алгебр Каца — Муди. Также наша работа позволила нам обнаружить реализацию двумерных квантовых моделей на свободном поле. Благодаря этому мы получили возможность выполнять в этих моделях вычисления, которые ранее были абсолютно недоступны. Вследствие этого к нашим исследованиям вскоре начали проявлять интерес и ученые-физики.

Это было потрясающее время. В те дни, когда я не встречался с Борей, я работал самостоятельно — на неделе в Москве, а по выход-ным дома. Я продолжал посещать Научную библиотеку и заглатывал все больше и больше книг и статей. Математика была моя жизнь, моя пища и вода. Я словно переселился в прекрасную параллельную Вселенную, и мне хотелось остаться там навсегда, погружаясь все глубже в этот сон. С каждым новым открытием, с каждой новой идеей этот волшебный мир становился мне все ближе и роднее.

Однако к осени 1988 года, когда начался пятый, последний год моего обучения в институте, мне пришлось вернуться к жестокой реальности. Я должен был задуматься о будущем. Несмотря на то что на курсе я был одним из лучших, перспективы меня ожидали совсем нерадостные. Антисемитизм царил не только в аспирантуре, но и во всех учреждениях, где выпускник мог бы получить хорошую работу. Усложняло дело еще и то, что у меня не было московской прописки. Близился день расплаты.

Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства ^[4]
Все книги из серии New Science находятся здесь ^[5]
Оглавление ^[6]
Отрывок ^[7]
Для читателей этого блага скидка 25% по купону — Френкель

Автор: Издательский дом «Питер»

Источник ^[8]